스펙트럼 (함수해석학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[함수해석학]]에서, [[유계 작용소]] 또는 [[바나흐 대수]]의 원소의 '''스펙트럼'''({{llang|en|spectrum}})은 그 [[고윳값]]의 집합을 일반화한 개념이다.

== 정의 ==
[[가환환]] <math>R</math> 위의 (항등원을 갖는) [[결합 대수]] <math>A</math>의 원소 <math>a\in A</math>의 '''분해 집합'''(分解集合, {{llang|en|resolvent set}})은 다음과 같은 집합이다.<ref name="Rudin"/>{{rp|252, Definition 10.10}}
:<math>\rho(a)=\left\{\lambda\in R\colon
\lambda-a\in\operatorname{Unit}(A)\right\}</math>
여기서 <math>\operatorname{Unit}(A)</math>는 <math>A</math>의 [[가역원군]]이다. 즉, <math>\lambda-a</math>가 [[가역원]]이 되는 스칼라 <math>\lambda</math>들의 집합이다. 분해 집합의 [[여집합]]을 <math>a</math>의 '''스펙트럼''' <math>\sigma(a)</math>라고 한다.<ref name="Rudin"/>{{rp|252, Definition 10.10; 104, Definition 4.17(c)}}
:<math>\sigma(a)=R\setminus\rho(a)
=\left\{\lambda\in R\colon\lambda-a\not\in\operatorname{Unit}(A)\right\}\subseteq R\qquad(a\in A)
</math>
이 경우, 원소 <math>(\lambda-a)^{-1}\in A</math>를 <math>a</math>의 <math>\lambda</math>에서의 '''분해식'''(分解式, {{llang|en|resolvent}})이라고 한다.

<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>가 [[실수체]] 또는 [[복소수체]]이며, <math>A</math>가 <math>\mathbb K</math>-[[결합 대수]]라고 하자. 이 경우, 원소 <math>a\in A</math>의 '''스펙트럼 반지름'''(spectrum半지름, {{llang|en|spectral radius}})은 그 스펙트럼의 절댓값의 [[상한]]이다.<ref name="Rudin"/>{{rp|253, Definition 10.10}}
:<math>\operatorname{spec\,rad}(a)=\sup_{\lambda\in\sigma(a)}|\lambda|</math>
만약 <math>A</math>가 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 대수]]라면, 그 원소의 스펙트럼은 항상 [[콤팩트 집합]]이므로, 이 경우 [[상한]]은 최댓값이 된다.

=== 유계 작용소의 스펙트럼 ===
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>가 [[실수체]] 또는 [[복소수체]]라고 하자. <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] <math>V</math> 위의 [[유계 작용소]]의 집합 <math>\operatorname B(V,V)</math>는 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 대수]]를 이루며, 이에 대하여 분해 집합과 스펙트럼의 개념을 정의할 수 있다. 일반적으로, [[열린 사상 정리 (함수해석학)|열린 사상 정리]]에 따라서 [[바나흐 공간]] 사이의 [[전단사]] [[유계 작용소]]의 [[역함수]]는 [[유계 작용소]]이다. 즉, <math>\operatorname B(V,V)</math>의 원소가 [[가역원]]인 것은 [[전단사 함수]]인 것과 [[동치]]이다.

바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼은 추상적인 [[바나흐 대수]]의 원소의 스펙트럼보다 더 구체적으로 분석될 수 있다. 즉, <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] <math>V</math> 위의 [[유계 작용소]] <math>T\colon V\to V</math>의 스펙트럼 <math>\sigma(T)</math>는 다음과 같은 [[분리합집합]]으로 분해된다.
:<math>\sigma(T)=\sigma_\text{p}(T)\sqcup\sigma_\text{r}(T)\sqcup\sigma_\text{c}(T)</math>
이 성분들은 각각
* '''점 스펙트럼'''(點spectrum, {{llang|en|point spectrum}}) <math>\sigma_\text{p}(T)</math>
* '''잔여 스펙트럼'''(殘餘spectrum, {{llang|en|residual spectrum}}) <math>\sigma_\text{r}(T)</math>
* '''연속 스펙트럼'''(連續spectrum, {{llang|en|continuous spectrum}}) <math>\sigma_\text{c}(T)</math>
이며, 다음과 같다.

어떤 수 <math>\lambda\in\mathbb K</math>에 대하여  <math>\lambda\in\sigma(T)</math>이려면 <math>T-\lambda</math>가 [[전단사 함수]]이지 않아야 한다. 즉, 다음 "문제" 가운데 적어도 하나가 발생해야 한다.
* <math>T-\lambda</math>가 [[단사 함수]]가 아니다. 이러한 <math>\lambda</math>들의 집합을 '''점 스펙트럼''' <math>\sigma_\text{p}(T)</math>라고 한다. 이 경우 <math>\lambda</math>는 <math>T</math>의 '''[[고윳값]]'''이며, <math>Tv=\lambda v</math>인 '''[[고유 벡터]]''' <math>v\in V</math>가 존재한다.
* <math>T-\lambda</math>가 [[단사 함수]]이지만, [[전사 함수]]가 아니다.
** <math>T-\lambda</math>는 [[단사 함수]]이지만 그 [[상 (수학)|상]]이 [[조밀 집합]]이 아니다. 이러한 <math>\lambda</math>들의 집합을 '''잔여 스펙트럼''' <math>\sigma_\text{r}(T)</math>라고 한다.
** <math>T-\lambda</math>는 [[단사 함수]]이며 그 [[상 (수학)|상]]이 [[조밀 집합]]이지만 [[전사 함수]]가 아니다. 이러한 <math>\lambda</math>들의 집합을 '''연속 스펙트럼''' <math>\sigma_\text{c}(T)</math>라고 한다. 이 경우, <math>(T-\lambda)^{-1}\colon (T-\lambda)(V)\to V</math>는 <math>V</math>의 [[조밀 집합]] <math>(T-\lambda)(V)</math> 위에 정의되는, 비유계 작용소이다.

== 성질 ==
[[복소수 바나흐 대수]]의 원소의 스펙트럼은 [[공집합]]이 아니다.<ref name="Rudin"/>{{rp|253, Theorem 10.13(a)}}<ref name="Singh">{{저널 인용|제목=The spectrum in a Banach algebra|이름=Dinesh|성=Singh|저널=The American Mathematical Monthly|권=113|호=8|날짜=2006-10|쪽=756–758|jstor=27642038|doi=10.2307/27642038|issn=0002-9890|언어=en}}</ref>{{rp|756, Theorem 1}}
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''<ref name="Singh"/>
<div class="mw-collapsible-content">
[[복소수 바나흐 대수]] <math>A</math>의 원소 <math>a\in A</math>가 주어졌다고 하고, [[귀류법]]을 사용하여 <math>\sigma(a)=\varnothing</math>이라고 하자. 또한, [[연속 쌍대 공간]] <math>A'</math>의 임의의 원소 <math>f\in A'</math>를 고르자.

그렇다면, 이제 함수
:<math>h\colon\mathbb R^+\to\mathbb C</math>
:<math>h\colon r\mapsto\int_0^{2\mathrm\pi}f\left((r\exp(\mathrm i\theta)-a)^{-1}\right)\mathrm d\theta</math>
를 정의하자. 그렇다면,
:<math>
\begin{aligned}
\frac{\mathrm dh}{\mathrm dr}&=\int_0^{2\pi}
\frac\partial{\partial r}f\left((r\exp(\mathrm i\theta)-a)^{-1}\right)\mathrm d\theta\\
&=
\int_0^{2\pi}
f(a(r^2\exp(2\mathrm i\theta))\exp(\mathrm i\theta)\mathrm d\theta\\
&=
\frac1{\mathrm ir}
\int_0^{2\pi}
f(a(r^2\exp(2\mathrm i\theta))\mathrm ir\exp(\mathrm i\theta)\mathrm d\theta\\
&=
\frac1{\mathrm ir}
\int_0^{2\pi}
\frac\partial{\partial\theta}f\left((r\exp(\mathrm i\theta)-a)^{-1}\right)\mathrm d\theta\\
&=0
\end{aligned}
</math>
이다. (이는 피적분 함수가 <math>\mathcal C^1</math>이므로 가능하다.) 즉, <math>h</math>는 [[상수 함수]]이며, 그 값은
:<math>\lim_{r\to0}h(r)=-2\pi f(a^{-1})</math>
이다.

이제, 임의의 <math>r>\|a\|</math>에 대하여
:<math>2\pi|f(a^{-1})|=|h(r)|
\le \int_0^{2\pi}|f\left((r\exp(\mathrm i\theta)-a)^{-1}\right)\mathrm d\theta
\le 2\pi \frac{\|f\|}{r-\|a\|}</math>
가 되므로, 사실 <math>f(a^{-1})=0</math>이어야만 한다. 즉, 임의의 <math>f\in A'</math>에 대하여 <math>f(a^{-1})=0</math>이어야만 한다. 그런데 <math>a^{-1}\ne0</math>이므로 이는 참일 수 없으며, 모순이다.
</div></div>
[[복소수 바나흐 대수]] <math>A</math>의 원소 <math>a\in A</math>의 스펙트럼 반지름은 다음과 같은 '''겔판트 공식'''({{llang|en|Gelfand formula}})에 의하여 주어진다.<ref>{{서적 인용 | last=Lax| first = Peter D. |authorlink=럭스 페테르 | title = Functional analysis | url=https://archive.org/details/functionalanalys0000laxp| publisher = Wiley-Interscience | 날짜 = 2002
| isbn = 0-471-55604-1 | 언어=en}}</ref>{{rp|195–197}}
:<math>\operatorname{spec\,rad}(a)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\|a^n\|}</math>
(반면, 유한 또는 무한 차원 [[실수 바나흐 공간]] 위의 [[유계 작용소]]의 스펙트럼은 [[공집합]]일 수 있다.)

<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>에 대하여, <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] 위의 [[유계 작용소]] <math>T</math>의 스펙트럼은 항상 <math>\mathbb K</math> 속의 [[콤팩트 집합]]이다.<ref name="Rudin">{{서적 인용 | last=Rudin | first=Walter | authorlink=월터 루딘 | 제목=Functional analysis | url=https://archive.org/details/functionalanalys0000rudi | publisher=McGraw-Hill | isbn=978-0-07-054236-5 | 날짜=1991 | zbl=0867.46001 | 총서=International Series in Pure and Applied Mathematics|판=2판 |언어=en}}</ref>{{rp|253, Theorem 10.13(a)}} 특히
:<math>|\lambda|\le\|T\|\qquad(\forall\lambda\in\sigma(T))</math>
이다. 여기서 <math>\|T\|</math>는 [[작용소 노름]]이다.

=== 유한 차원 ===
<math>V=\mathbb K^n</math>가 유한 차원 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]]이라고 하자. 그렇다면, <math>\mathbb K</math>-[[선형 변환]] <math>V\to V</math>가 [[단사 함수]]이거나 [[전사 함수]]인 것은 [[전단사 함수]]인 것과 [[동치]]이다 ([[차원 정리]]). 이에 따라, 유한 차원 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] 위의 작용소의 경우 오직 점 스펙트럼만이 존재하고, 잔여·연속 스펙트럼은 존재하지 않는다.

특히, 선형 변환 <math>T\colon V\to V</math>(즉, [[행렬]])의 스펙트럼 반지름은 그 [[고윳값]]들의 [[절댓값]] 가운데 가장 큰 것이다.

=== 콤팩트 작용소 ===
[[복소수 바나흐 공간]] <math>V</math> 위의 [[콤팩트 작용소]] <math>T\colon V\to V</math>의 경우, 다음이 성립한다.
* 연속 스펙트럼은 항상 [[공집합]] 또는 <math>\{0\}</math>이다.
* 잔여 스펙트럼은 항상 [[공집합]] 또는 <math>\{0\}</math>이다.
즉, 스펙트럼은 0을 제외하고는 모두 점 스펙트럼([[고윳값]])으로 구성된다.

=== 정규 작용소 ===
[[복소수 힐베르트 공간]] 위의 [[정규 작용소]]의 잔여 스펙트럼은 [[공집합]]이다.

[[복소수 힐베르트 공간]] <math>V</math> 위의 [[정규 작용소]] <math>T\colon V\to V</math>의 스펙트럼 반지름은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{spec\,rad}(T)=\sup_{v\in V\setminus\{0\}}\frac{|\langle v,Tv\rangle|}{\langle v,v\rangle}</math>
보다 일반적으로, 위 등식의 우변을 [[유계 작용소]]의 '''수치 반지름'''(數値半지름, {{llang|en|numerical radius}})이라고 하며, 스펙트럼 반지름이 수치 반지름과 일치하는 [[유계 작용소]]를 '''스펙트럼형 작용소'''(spectrum型作用素, {{llang|en|spectraloid operator}})라고 한다.

=== 분해식 ===
<math>\mathbb K</math>-[[바나흐 대수]] <math>A</math>의 원소 <math>a\in A</math> 및 <math>z\in\rho(a)</math>에 대하여, 만약 <math>\|a\|<|z|</math>라면, 분해식의 다음과 같은 '''노이만 급수'''(Neumann級數, {{llang|en|Neumann series}})가 ([[노름]]으로 정의되는 [[거리 위상]]에서) 수렴한다.<ref name="Rudin"/>{{rp|250, Chapter 10}}
:<math>\frac1{z-a}=\frac1z\sum_{n=0}^\infty (a/z)^n</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
위 급수는 당연히 [[코시 열]]이며, <math>A</math>가 [[바나흐 대수]](즉, [[완비 거리 공간]])이므로 이는 수렴한다.
</div></div>

== 예 ==
=== 행렬 ===
실수 행렬
:<math>\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}</math>
는 <math>\mathbb R^2</math> 위의 작용소로서 스펙트럼이 [[공집합]]이다. 그러나 이는 <Math>\mathbb C^2</math> 위의 작용소로서 점 스펙트럼 <math>\{\pm\mathrm i\}</math>를 갖는다.

=== 시프트 ===
[[복소수 힐베르트 공간]] <math>V=\ell^2(\mathbb C)</math>를 생각하자. 그렇다면 사상
:<math>T\colon(x_1,x_2,\dots)\mapsto(0,x_1,x_2,\dots)</math>
은 [[유계 작용소]]이며, 사실 [[콤팩트 작용소]]이다. <math>T</math>는 [[고윳값]]을 가지지 않지만, <math>T</math>는 [[전사 함수]]가 아니므로 <math>T</math>의 스펙트럼은 <math>\{0\}</math>이다. 이 경우, <math>T</math>의 [[상 (수학)|상]]은 사실 [[조밀 집합]]조차 아니므로, 이 0은 잔여 스펙트럼에 속한다.

=== 곱셈 ===
임의의 <math>1\le p\le\infty</math>에 대하여, [[측도 공간]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math> 위의 [[르베그 공간]]
:<math>V=\operatorname L^p(X,\Sigma,\mu;\mathbb K)</math>
는 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]]을 이룬다. 그 위의 [[가측 함수]]
:<math>f\colon (X,\Sigma)\to (\mathbb K,\mathcal B(\mathbb K))</math>
의 [[상 (수학)|상]]이 [[유계 집합]]이라고 하자. (물론, 어떤 [[영집합]] <math>N\subseteq X</math>에 대하여 <math>f\restriction(X\setminus N)</math>의 상이 [[유계 집합]]인 것만으로도 족하다.) 여기서 <math>\mathcal B(\mathbb K)</math>는 [[보렐 시그마 대수]]이다. 그렇다면, 점별 곱셈으로 정의되는 작용소
:<math>T_f\colon V\to V</math>
:<math>T_f\colon g\mapsto fg</math>
는 <math>\mathbb K</math>-[[유계 작용소]]이다.

이제, 집합
:<math>\operatorname{ess\,ran}f\subseteq\mathbb K</math>
를 다음과 같이 정의하자.
:<math>
\lambda\in\operatorname{ess\,ran}f
\overset{\text{def}}\iff
\forall\epsilon\in\mathbb R^+\colon \mu\left(f^{-1}(\operatorname{ball}_{\mathbb K}(\lambda,\epsilon))\right)>0</math>
그렇다면, <math>\operatorname{ess\,ran}f=\sigma(T_f)</math>이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명 (<math>\operatorname{ess\,ran}f\supseteq\sigma(T_f)</math>):'''
<div class="mw-collapsible-content">
임의의 <math>\lambda\in\mathbb K\setminus\operatorname{ess\,ran}f</math>가 주어졌다고 하자. 즉, 정의에 따라
:<math>\mu\left(f^{-1}(\operatorname{ball}_{\mathbb K}(\lambda,\epsilon))\right)=0</math>
인 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>이 존재한다.

그렇다면, [[가측 함수]]
:<math>g\colon(X,\Sigma)\to(\mathbb K,\mathcal B(\mathbb K))</math>
:<math>g\colon x\mapsto \frac1{\lambda-f(x)}</math>
를 생각하자. 그렇다면,
:<math>T_g\circ(\lambda-T_f)=1</math>
이다. 따라서 <math>\lambda\in\rho(T_f)</math>이다.
</div></div>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명 (<math>\operatorname{ess\,ran}f\subseteq\sigma(T_f)</math>, <math>p<\infty</math>):'''
<div class="mw-collapsible-content">
임의의 <math>\lambda\in\operatorname{ess\,ran}f</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[가측 함수]]의 열
:<math>g_n=\frac1{{\mu\left(f^{-1}\left(\operatorname{ball}_{\mathbb K}(\lambda,1/n)\right)\right)}^{1/p}}\chi_{f^{-1}\left(\operatorname{ball}_{\mathbb K}(\lambda,1/n)\right)}\in\operatorname L^p(X,\Sigma,\mu;\mathbb K)\qquad(n\in\mathbb Z^+)</math>
을 정의하자. (여기서 <math>\chi</math>는 [[지시 함수]]이다.)

그렇다면,
:<math>\left(\|(\lambda-T_f)g_n\|_{\operatorname L^p}\right)^p
=\frac1{\mu\left(f^{-1}\left(\operatorname{ball}_{\mathbb K}(\lambda,1/n)\right)\right)}
\int_{f^{-1}\left(\operatorname{ball}_{\mathbb K}(\lambda,1/n)\right)}
|\lambda-f|^p\mathrm d\mu
\le\frac1{n^p}
</math>
이므로, 특히
:<math>\lim_{n\to\infty}\|(\lambda-T_f)g_n\|_{\operatorname L^p}=0</math>
이다. 이에 따라, <math>\lambda-T_f</math>의 역함수는 [[유계 작용소]]일 수 없다.
</div></div>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명 (<math>\operatorname{ess\,ran}f\subseteq\sigma(T_f)</math>, <math>p=\infty</math>):'''
<div class="mw-collapsible-content">
임의의 <math>\lambda\in\operatorname{ess\,ran}f</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[가측 함수]]의 열
:<math>g_n=\chi_{f^{-1}\left(\operatorname{ball}_{\mathbb K}(\lambda,1/n)\right)}\in\operatorname L^\infty(X,\Sigma,\mu;\mathbb K)\qquad(n\in\mathbb Z^+)</math>
을 정의하자. (여기서 <math>\chi</math>는 [[지시 함수]]이다.)

그렇다면,
:<math>\|(\lambda-T_f)g_n\|_{\operatorname L^\infty}
=\operatorname{ess\,sup}\left(|\lambda-f|\restriction f^{-1}\left(\operatorname{ball}_{\mathbb K}(\lambda,1/n)\right)\right)
\le 1/n</math>
이므로, 특히
:<math>\lim_{n\to\infty}\|(\lambda-T_f)g_n\|_{\operatorname L^\infty}=0</math>
이다. 이에 따라, <math>\lambda-T_f</math>의 역함수는 [[유계 작용소]]일 수 없다.
</div></div>
그 스펙트럼의 분해는 다음과 같다.
:임의의 <math>\lambda\in\operatorname{ess\,ran}f</math>에 대하여, 만약 <math>\mu^{-1}(\{\lambda\})>0</math>이라면, <math>\lambda\in\sigma_{\text{p}}(T_f)</math>이며, 만약 그렇지 않다면 <math>\lambda\in\sigma_{\text{c}}(T_f)</math>이다. 특히, <math>T_f</math>는 잔여 스펙트럼을 갖지 않는다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명 (<math>\mu(f^{-1}(\{\lambda\}))>0\implies\lambda\in\sigma_{\text{p}}(T_f)</math>):'''
<div class="mw-collapsible-content">
[[지시 함수]] <math>\chi_{f^{-1}(\{\lambda\})}</math>는 <math>\lambda</math>의 [[고유 벡터]]이다.
</div></div>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명 (<math>\mu(f^{-1}(\{\lambda\}))=0\implies\lambda\in\sigma_{\text{c}}(T_f)</math>):'''
<div class="mw-collapsible-content">
임의의
:<math>g\in\operatorname L^p(X,\Sigma,\mu;\mathbb K)</math>
에 대하여, 다음과 같은 [[가측 함수]]의 열을 정의하자.
:<math>h_n=\frac g{\lambda-f}\chi_{X\setminus f^{-1}(\operatorname{ball}_{\mathbb K}(\lambda,1/n))}
\qquad(n\in\mathbb Z^+)
</math>
여기서 <math>\chi</math>는 [[지시 함수]]이다.

그렇다면, [[지배 수렴 정리]]에 따라
:<math>(\lambda-T_f)h_n\,\overset{\operatorname L^p}\to\, g</math>
이다. 즉, <math>\lambda-T_f</math>의 [[상 (수학)|상]]은 항상 [[조밀 집합]]이다.
</div></div>

=== 결합 대수 ===
[[가환환]] <math>R</math>를 스스로 위의 [[결합 대수]]로 간주하였을 때, 원소 <math>r\in R</math>의 스펙트럼은
:<math>\sigma(r)=R\setminus(r+\operatorname{Unit}(R))</math>
이다. (여기서 <math>\operatorname{Unit}(R)=\{r\in R\colon\exists r^{-1}\}</math>는 [[가역원군]]이다.)

[[사원수 대수]] <Math>\mathbb H</math>는 [[실수 바나흐 대수]]를 이루며, 사원수 <math>a\in\mathbb H</math>의 스펙트럼은 다음과 같다.
:<math>\sigma(a;\mathbb R)=\mathbb R\cap\{a\}</math>
(특히, 만약 <math>a\not\in\mathbb R\subseteq\mathbb H</math>이라면 <math>\sigma(a)=\varnothing</math>이다.)

마찬가지로, 복소수체 <Math>\mathbb C</math>를 [[실수 바나흐 대수]]로 간주하였을 때, <Math>z\in\mathbb C</math>의 스펙트럼은 다음과 같다.
:<math>\sigma(z;\mathbb R)=\mathbb R\cap\{z\}</math>
(특히, 만약 <math>z\not\in\mathbb R\subseteq\mathbb H</math>이라면 <math>\sigma(z)=\varnothing</math>이다.) 물론, <math>\mathbb C</math>를 [[복소수 바나흐 대수]]로 간주하였을 때, <math>\sigma(z;\mathbb C)=\{z\}</math>이다.

=== 연속 함수 대수 ===
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math> 위의 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 대수]] <Math>\mathcal C^0(X,\mathbb K)</math>의 원소 <math>f\in\mathcal C^0(X,\mathbb K)</math>의 스펙트럼은 그 [[상 (수학)|상]]이다.
:<math>\sigma(f)=\{f(x)\colon x\in X\}\subseteq\mathbb K</math>

== 역사 ==
유계 작용소의 분해식의 노이만 급수는 [[에리크 이바르 프레드홀름]]이 1903년에 최초로 사용하였다.<ref>{{저널 인용|first=E. I. |last=Fredholm |저자링크=에리크 이바르 프레드홀름 | title=Sur une classe d’equations fonctionnelles |journal=Acta Mathematica |volume=27 |날짜=1903 |pages=365–390 |doi=10.1007/bf02421317|언어=fr}}</ref>

"스펙트럼"({{llang|de|Spektrum|슈펙트룸}})과 "분해식"({{llang|de|Resolvente|레졸벤테}})이라는 용어는 [[다비트 힐베르트]]가 도입하였다. "스펙트럼"이라는 용어는 작용소의 스펙트럼을 물리학의 [[스펙트럼|원자 스펙트럼]] 등에 비유한 것이다.

== 응용 ==
[[양자역학]]에서, [[복소수 힐베르트 공간]]
:<math>\mathcal H=\mathcal L^2(\mathbb R;\mathbb C)</math>
위에 [[매끄러운 함수]]인 퍼텐셜
:<math>V\colon \mathbb R\to\mathbb R</math>
이 주어졌으며,
:<math>\inf_{x\in\mathbb R}V(x)>\infty</math>
이라고 하자. 이 경우, [[해밀토니언 연산자]]
:<math>H=-\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}+V(x)</math>
를 <math>\mathcal H</math>의 [[조밀 집합]] 위에 정의할 수 있으며, 이에 따라 임의의 양이 아닌 실수 성분을 갖는 복소수
:<Math>\alpha\in\mathbb C,\;\Re(\alpha)\le0</math>
에 대하여 [[유계 작용소]]
:<math>\exp(\alpha H)\colon\mathcal H\to\mathcal H</math>
를 정의할 수 있다. 이는 [[정규 작용소]]이며, 따라서 잔여 스펙트럼을 갖지 않는다. 또한, 그 스펙트럼은 항상
:<math>\sigma(\exp(\alpha H))=\{\exp(\alpha E)\colon E\in\mathbb R\}</math>
의 꼴이다. 이에 따라, <math>E</math>를 <math>H</math>의 스펙트럼으로 여길 수 있다.

<math>\Re(\alpha)<0</math>의 경우, <math>\exp(\alpha H)</math>의 점 스펙트럼은 대략 퍼텐셜에 대한 속박 상태를 나타내고, 연속 스펙트럼은 자유 상태를 나타낸다.

== 같이 보기 ==
* [[자기 수반 작용소]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Spectrum of an operator}}
* {{eom|title=Resolvent set}}
* {{매스월드|id=OperatorSpectrum|title=Operator spectrum}}
* {{매스월드|id=SpectralRadius|title=Spectral radius}}
* {{nlab|id=spectrum of an operator|title=Spectrum of an operator}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/9125/what-is-the-origin-of-the-term-spectrum-in-mathematics|제목=What is the origin of the term “spectrum” in mathematics?|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:스펙트럼 이론]]