스틴로드 대수 문서 원본 보기

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[[대수적 위상수학]]에서 '''스틴로드 대수'''(Steenrod代數, {{llang|en|Steenrod algebra}})는 [[유한체]] 계수의 안정 [[코호몰로지 연산]]들로 구성되는 [[호프 대수]]이다.

== 정의 ==
[[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>에 대하여, '''스틴로드 대수'''는 안정 [[코호몰로지 연산]]으로 구성된, <math>\mathbb F_p</math> 위의 등급 [[호프 대수]]이다.

=== 홀수 표수 ===
홀수 소수 <math>p</math>에 대하여, <math>\mathbb F_p</math> 위의 스틴로드 대수는 다음과 같은 원소들로 생성된다.
:<math>\operatorname P^i \colon\operatorname H^n(X;\mathbb F_p) \to H^{n+2i(p-1)}(X;\mathbb F_p)</math>
:<math>\beta\colon\operatorname H^n(X;\mathbb F_p)\to\operatorname H^{H+1}(X;\mathbb F_p)</math>
<math>\operatorname P^i</math>는 <math>i</math>차 '''스틴로드 축소 거듭제곱'''({{llang|en|Steenrod reduced power}})이라고 한다. <math>\beta</math>는 [[아벨 군]] [[짧은 완전열]] <math>0\to\mathbb Z/p\to\mathbb Z/p^2\to\mathbb Z_p\to0</math>에 대응하는 [[복시테인 준동형]]이다.

이들은 다음 공리들로 유일하게 정의된다.
* <math>\operatorname P^i</math>는 [[자연 변환]] <math>\operatorname H^n(-;\mathbb F_p)\to\operatorname H^{n+2i(p-1)}(-;\mathbb F_p)</math>을 정의한다.
* <math>\operatorname P^0</math>은 항상 [[항등 함수]]이다.
* <math>\operatorname P^i|_{\operatorname H^{2i}(-;\mathbb F_p)}\colon\alpha\mapsto\alpha^{\smile p}</math>이다.
* 만약 <math>2i>n</math>이라면 <math>\operatorname P^i|_{\operatorname H^n(X;\mathbb F_p)}=0</math>이다.
* (카르탕 공식 {{llang|en|Cartan formula}}) <math>\operatorname P^n(\alpha\smile\beta)=\sum_{i+j=n}\operatorname P^i\alpha\smile\operatorname P^j\beta</math>이다.

=== 짝수 표수 ===
<math>\mathbb F_2</math> 위의 스틴로드 대수는 다음과 같은 원소들로 생성된다.
:<math>\operatorname{Sq}^i \colon\operatorname H^n(X;\mathbb F_2) \to H^{n+i}(X;\mathbb F_2)</math>
이를 <math>i</math>차 '''스틴로드 제곱'''({{llang|en|Steenrod square}})이라고 한다. (짝수 표수의 경우, <math>\operatorname P^i=\operatorname{Sq}^{2i}</math>이며 <math>\beta=\operatorname{Sq}^1</math>이다.)

이들은 다음 공리들로 유일하게 정의된다.
* <math>\operatorname{Sq}^i</math>는 [[자연 변환]] <math>\operatorname H^n(-;\mathbb F_p)\to\operatorname H^{n+2i(p-1)}(-;\mathbb F_p)</math>을 정의한다.
* <math>\operatorname{Sq}^0</math>은 항상 [[항등 함수]]이다.
* <math>\operatorname{Sq}^i|_{\operatorname H^i(-;\mathbb F_p)}\colon\alpha\mapsto\alpha^{\smile2}</math>이다.
* 만약 <math>i>n</math>이라면 <math>\operatorname{Sq}^i|_{\operatorname H^n(X;\mathbb F_p)}=0</math>이다.
* (카르탕 공식 {{llang|en|Cartan formula}}) <math>\operatorname{Sq}^n(\alpha\smile\beta)=\sum_{i+j=n}\operatorname{Sq}^i\alpha\smile\operatorname{Sq}^j\beta</math>이다.

== 구성 ==
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* 크기 <math>n</math>의 집합 위에 [[자유 작용|자유롭게 작용]]하는 [[유한군]] <math>G</math>
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>
그렇다면, <math>n</math>제곱 함수
:<math>\operatorname H^i(X)\to\operatorname H^{ni}(X)</math>
:<math>\alpha\mapsto\alpha^{\smile n}</math>
를 생각하자. (만약 코호몰로지가 소수 크기 [[유한체]] <math>\mathbb F_p</math> 계수이며 <math>n=p</math>라면 이는 [[프로베니우스 사상]]이며, <math>\mathbb F_p</math>-[[선형 변환]]을 이룬다. 그러나 일반적으로 이는 선형이 아니다.)
이는 다음과 같이 분해될 수 있다.
:<math>\begin{matrix}
\operatorname H^i(X)&\to&\operatorname H^{ni}(\operatorname EG\times_GX^n)&\to&\operatorname H^{ni}(X^n)\\
&&\downarrow&&\downarrow\\
&&\operatorname H^{ni}(\operatorname BG\times X)&\to&\operatorname H^{ni}(X)
\end{matrix}
</math>
여기서 각 사상은 다음과 같다.
* <math>\operatorname{diag}_X^*\colon\operatorname H^\bullet(X^n)\to\operatorname H^\bullet(X^n)</math>는 코호몰로지에 의한 <math>\operatorname{diag}_X\colon X\to X^n</math>의 [[당김 (코호몰로지)|당김]]이다.
* <math>\operatorname H^i(X)\to\operatorname H^{ni}(\operatorname EG\times_GX^n)=\operatorname H^{ni}_G(X^n)</math>: <math>\alpha\in\operatorname H^i(X)</math>에 대하여, <math>\alpha^{\times p}\in\operatorname H^{ni}(X^n)</math>을 정의하자. 이는 <math>G</math>의 <math>X^n</math> 위의 작용에 대하여 불변이므로, [[등변 코호몰로지]] <math>\operatorname H^{ni}_G(X^n)</math>에 속한다.
* <math>(\operatorname{id}_{\operatorname BG},\operatorname{diag}_X)^*\colon\operatorname H^\bullet(\operatorname EG\times_GX^n)\to\operatorname H^\bullet(\operatorname BG\times X)</math>는 코호몰로지에 의한 <math>(\operatorname{id}_{\operatorname BG},\operatorname{diag}_X)\colon\operatorname BG\times X\to\operatorname BG\times X^n</math>의 [[당김 (코호몰로지)|당김]]이다. <math>\operatorname{diag}_X(X)\subseteq X^n</math>는 <math>G</math>의 작용의 [[고정점]]으로 구성되므로, <math>\operatorname EG\times_G\operatorname{diag}_X(X^n)=\operatorname BG\times X</math>이다.
* <math>\operatorname H^\bullet(\operatorname EG\times_GX^n)\to\operatorname H^\bullet(\operatorname EG\times X^n)\cong\operatorname H^\bullet(X^n)</math>: [[몫공간]] 사상 <math>q\colon \operatorname EG\times X^n\twoheadrightarrow\operatorname EG\times_G X^n</math>의 코호몰로지에 의한 [[당김 (코호몰로지)|당김]]이다.
* <math>\operatorname H^\bullet(\operatorname BG\times X)\to\operatorname H^\bullet(X)</math>는 생성원 <math>\alpha\in\operatorname H_0(\operatorname BG)</math>와의 [[경사곱]]이다.

이제, <math>n=p</math>가 [[소수 (수론)|소수]]이며 <math>G=\operatorname{Cyc}(p)</math>가 [[순환군]]이라고 하자. 그렇다면
:<math>\operatorname B\operatorname{Cyc}(p)=\mathbb S^\infty/\operatorname{Cyc}(p)</math>
이다.

특히, <math>p=2</math>인 경우 [[분류 공간]]은 무한 [[실수 사영 공간]]
:<math>\operatorname B\operatorname{Cyc}(2)=\mathbb S^\infty/\operatorname{Cyc}(2)=\mathbb{RP}^\infty</math>
이며, 그 <math>\mathbb F_2</math> 계수 코호몰로지는
:<math>\operatorname H^\bullet(\mathbb{RP}^\infty;\mathbb F_2)=\mathbb F_2[w_1],\;\deg w_1=1</math>
이다. (여기서 <math>w_1</math>은 자명한 실수 선다발의 [[슈티펠-휘트니 특성류]]이다.) 체 계수의 [[퀴네트 정리]]에 따라서
:<math>\operatorname H^\bullet(\operatorname BG\times X;\mathbb F_p)=\operatorname H^\bullet(X;\mathbb F_p)[w_1]\quad(\deg w_1=1)</math>
이다. 따라서, 합성
:<math>\operatorname{Sq}\colon\operatorname H^i(X;\mathbb F_2)\to\operatorname H^{2i}(\mathbb{RP}^\infty\times X;\mathbb F_2)</math>
을
:<math>\operatorname{Sq}=\sum_{k=0}^i\operatorname{Sq}^kw_1^{i-k}</math>
로 전개한다면 스틴로드 제곱
:<math>\operatorname{Sq}^k\colon\operatorname H^i(X;\mathbb F_p)\to\operatorname H^{i+k}(X;\mathbb F_p)</math>
을 얻는다.

마찬가지로, <math>p</math>가 홀수 소수일 경우를 생각하면 스틴로드 축소 거듭제곱을 얻는다.

== 성질 ==
=== 아뎀 관계 ===
스틴로드 대수는 '''아뎀 관계'''({{llang|en|Ádem relation}})라는 관계들을 만족시킨다.<ref name="Adem">{{저널 인용|성=Adem|이름=José|날짜=1952|제목=The iteration of the Steenrod squares in algebraic topology|저널=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|권=38|쪽=720–726|doi=10.1073/pnas.38.8.720|issn=0027-8424|jstor=88494|mr=0050278|언어=en}}</ref>

이들은 다음과 같다.<ref>{{저널 인용 | last1=Bullett | first1=S. R. | last2=Macdonald | first2=Ian G.  | title=On the Adem relations | doi=10.1016/0040-9383(82)90015-5 | mr=649764 | year=1982 | journal=Topology | issn=0040-9383 | volume=21 | issue=3 | pages=329–332|언어=en}}</ref> <math>p=2</math>일 경우, 다음과 같은 [[생성 함수 (수학)|생성 함수]]를 정의하자.
:<math>\operatorname{Sq}(t)=\sum_{i=0}^\infty t^i\operatorname{Sq}^i</math>
그렇다면, '''아뎀 관계'''는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Sq}(s^2+st)\operatorname{Sq}(t^2)=\cdots[s\leftrightarrow t]</math>
여기서 우변은 좌변과 같지만, <math>s</math>와 <math>t</math>를 서로 바꾼 것이다.

<math>p>2</math>일 경우, 다음과 같은 [[생성 함수 (수학)|생성 함수]]를 정의하자.
:<math>\operatorname P(t)=\sum_{i=0}^\infty t^i\operatorname P^i</math>
그렇다면, '''아뎀 관계'''는 다음과 같다.
:<math>(1+s\operatorname{Ad}\beta)\operatorname P(t^p+t^{p-1}s+\cdots+ts^{p-1})\operatorname P(s^p)=\cdots[s\leftrightarrow t]</math>
여기서 <math>(\operatorname{Ad}\beta)\operatorname P=\beta\operatorname P-\operatorname P\beta</math>이며, 우변은 좌변과 같지만, <math>s</math>와 <math>t</math>를 서로 바꾼 것이다.

=== 애덤스 스펙트럼 열 ===
유한 차원 [[CW 복합체]] <math>X</math>, <math>Y</math>가 주어졌을 때, <math>\mathbb F_p</math> 계수의 [[코호몰로지 군]]은 스틴로드 대수 <math>A_p</math> 위의 [[가군]]을 이룬다. 이 경우, '''애덤스 스펙트럼 열'''({{llang|en|Adams spectral sequence}})은 다음과 같은 [[스펙트럼 열]]이다.<ref name="Adams">{{저널 인용 | last1=Adams | first1=J. Frank | 저자링크=존 프랭크 애덤스 | title=On the structure and applications of the Steenrod algebra | doi=10.1007/BF02564578 | mr=0096219 | year=1958 | journal=Commentarii Mathematici Helvetici | issn=0010-2571 | volume=32 | issue=1 | pages=180–214 | 언어=en}}</ref>
:<math>E_2^{p,q}=\operatorname{Ext}^{p,q}_{A_p}\left(\operatorname H^\bullet(Y;\mathbb F_p),\operatorname H^\bullet(X;\mathbb F_p)\right)</math>
이는 [[호모토피 군]] <math>[X,Y]</math>의 <math>p</math>차 [[꼬임 부분군]]으로 수렴한다.

특히, <math>X</math>와 <math>Y</math>가 [[초구]]일 때, 애덤스 스펙트럼 열은 [[초구]]의 [[호모토피 군]]을 계산한다.

== 역사 ==
<math>p=2</math>의 경우는 [[노먼 스틴로드]]가 1947년에 도입하였고,<ref>{{저널 인용|성=Steenrod|이름=N. E.|저자링크=노먼 스틴로드|날짜=1947|제목=Products of cocycles and extensions of mappings|저널=Annals of Mathematics|권=48|쪽=290–320|issn= 0003-486X|jstor=1969172|mr=0022071|언어=en}}</ref> <math>p>2</math>인 경우는 [[노먼 스틴로드]]가 1953년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|성=Steenrod|이름=N. E.|저자링크=노먼 스틴로드|날짜=1953|제목=Homology groups of symmetric groups and reduced power operations|저널=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|권=39|쪽=213–217|doi=10.1073/pnas.39.3.213|issn=0027-8424|jstor=88780|mr=0054964|언어=en}}</ref>

아뎀 관계는 [[멕시코]]의 수학자 호세 아뎀 차인({{llang|es|José Ádem Chaín}}, 1921~1991)이 1952년에 도입하였다.<ref name="Adem"/> 애덤스 스펙트럼 열은 1958년에 [[존 프랭크 애덤스]]가 도입하였다.<ref name="Adams"/>

== 같이 보기 ==
* [[코호몰로지 연산]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | arxiv=0903.4997 | 장=An algebraic introduction to the Steenrod algebra | 이름=Larry | 성=Smith | 제목=Proceedings of the School and Conference in Algebraic Topology (The Vietnam National University, Hanoi, 9–20 August 2004) |편집자=John Hubbuck, Nguyễn H. V. Hưng, Lionel Schwartz|총서=Geometry and Topology Monographs|권=11|날짜=2007|쪽=327–348|doi=10.2140/gtm.2007.11.327|장url=http://msp.org/gtm/2007/11/p015.xhtml|issn=1464-8989|출판사=Mathematical Sciences Publishers|bibcode=2009arXiv0903.4997S|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Steenrod algebra}}
* {{eom|title=Steenrod operation}}
* {{eom|title=Steenrod square}}
* {{eom|title=Steenrod reduced power}}
* {{nlab|id=Steenrod algebra}}
* {{nlab|id=Steenrod square}}
* {{nlab|id=Adams spectral sequence}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2011/11/16/the-steenrod-algebra-and-its-dual/|제목=The Steenrod algebra and its dual|날짜=2011-11-16|이름=Akhil|성=Mathew|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2011/11/21/the-dual-steenrod-algebra/|제목=The structure of the dual Steenrod algebra|날짜=2011-11-16|이름=Akhil|성=Mathew|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2011/11/19/the-steenrod-operations-via-homological-algebra/|제목=The Steenrod operations via homological algebra|날짜=2011-11-16|이름=Akhil|성=Mathew|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|언어=en}}
* {{웹 인용 | url = http://mathoverflow.net/questions/461/understanding-steenrod-squares | 제목=
Understanding Steenrod squares | 출판사=Math Overflow | 언어=en}}
* {{웹 인용 | url = http://mathoverflow.net/questions/67688/why-does-one-consider-the-dual-of-the-steenrod-algebra | 제목=
Why does one consider the dual of the Steenrod algebra? | 출판사=Math Overflow | 언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수적 위상수학]]