스티븐스 상수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''스티븐스 상수'''(Stephens' Constant)에 대한 설명이다.
:<math> \prod_{p} \left(1 - {{p}\over{p^3-1}} \right) = 0.57595996889294543964316337549249669... </math>{{OEIS|A065478}}

스티븐스상수는 [[소수 (수론)|소수]] 및 [[오일러의 곱셈 공식]]과 관련하여 소수 분포 밀도에대한 [[수학 상수]]이다.

스티븐스(Stephens, P. J.)는 일반화된 [[리만 가설]]을 가정하고서, 소수에 대한 [[집합]]의 밀도를 표현해 보였다.<ref>(Stephen 1976)Stephens, P. J. "Prime Divisor of Second-Order Linear Recurrences, I." J. Number Th. 8, 313-332, 1976.</ref>

== 알틴상수와 스티븐스 상수<ref>Mathematical Constants (공)저: Steven R. Finch -StephensConstant,with Artin's Constant(2.4)</ref> ==
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1차시도
:<math>C_{S}= \prod_{p} \left(1 - {{p}\over{p^3-1}} \right)</math>
:<math>\;\;\;= \prod_{p} \left({{(p^3-1)}\over{(p^3-1)}} -{{p}\over{p^3-1}} \right)</math>

:<math>\;\;\;= \prod_{p} \left( {{p^3-p-1}\over{p^3-1}} \right)</math>
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<!-- 2차시도
:<math>C_{S}= \prod_{p} \left(1 - {{p}\over{p^3-1}} \right)</math>
:<math>\;\;\;= \prod_{p} \left(1 - {  {{p}\over{p} }\over{ {{p^3}\over{p}}-{{1}\over{p}} } } \right)</math>
:<math>\;\;\;= \prod_{p} \left(1 - {{1}\over{p^2- {{1}\over{p}}  }} \right)</math>
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:<math>C_{S}= \prod_{p} \left(1 - {{p}\over{p^3-1}} \right)</math>
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'''과정''':
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:<math>\;\;\;= \prod_{p} \left(1 - {{p}\over{((p+1)^2(p-1))-p^2+p}} \right)</math>
:<math>\;\;\;= \prod_{p} \left({{((p+1)^2(p-1))-p^2+p-p}\over{((p+1)^2(p-1))-p^2+p}} \right)</math>
:<math>\;\;\;= \prod_{p} \left({{((p+1)^2(p-1))-p^2}\over{((p+1)^2(p-1))-p^2+p}} \right)</math>
:<math>\;\;\;= \prod_{p} \left({{p^3-p-1}\over{p^3 - 1}} \right)</math>
:<math>\;\;\;= \prod_{p} \left({{(p(p^2-1))-1}\over{(p(p^2-1))+p-1}} \right)</math>

:<math>\;\;\;= \prod_{p} \left({{(p(p^2-1))-1}\over{((p+1)^2(p-1))-p^2+p}} \right)</math>
:<math>\;\;\;= \prod_{p} \left({{(p(p^2-1))-1}\over{((p+1)^2(p-1))-p(p-1)}} \right)</math>
:<math>\;\;\;= \prod_{p} \left({{p(p^2-1)-1}\over{((p+1)^2 -p)(p-1)}} \right)</math>
:<math>\;\;\;= \prod_{p} \left({{p(p^2-1)-{1}}\over{(p-1)}} \right) \left({{1}\over{((p+1)^2 -p)}} \right)</math>
:<math>\;\;\;= \prod_{p} \left({{p\left((p^2-1)-{{1}\over{p}}\right)}\over{(p-1)}} \right) \left({{1}\over{p^2+2p+1 -p}} \right)</math>

:<math>\;\;\;= \prod_{p} \left({{(p^2-1)-{{1}\over{p}}}\over{(p-1)}} \right) \left({{p}\over{p^2+p+1}} \right)</math>
:<math>\;\;\;= \prod_{p} \left({{(p^2-1)-{{1}\over{p}}}\over{(p-1)}} \right) \left({{p}\over{p(p+1+{{1}\over{p}})}} \right)</math>
:<math>\;\;\;= \prod_{p} \left({{(p^2-1)-{{1}\over{p}}}\over{p(p-1)}} \right) \left({{p}\over{(p+1+{{1}\over{p}})}} \right)</math>
:<math>\;\;\;= \prod_{p} \left( \left({{(p^2-1)}\over{p(p-1)}} \right)- 
\left({{{{1}\over{p}}}\over{p(p-1)}} \right) \right)
\left({{p}\over{(p+1+{{1}\over{p}})}} \right)</math>
:<math>\;\;\;= \prod_{p} \left( \left({{(p^2-1)}\over{p(p-1)}} \right)- 
\left({{1}\over{p^2(p-1)}} \right) \right)
\left({{p}\over{(p+1+{{1}\over{p}})}} \right)</math>

:<math>\;\;\;= \prod_{p} \left( \left({{(p^2-1)}\over{p(p-1)}} \right)- 
\left({{1}\over{(p-1)}} \right) + \left( {{p-1-p^2(p-1)}\over{p^2(p-1)^2}}\right)    \right)
\left({{p}\over{(p+1+{{1}\over{p}})}} \right)</math>

</div>
</div>

:<math>\;\;\;= \prod_{p} \left( C_A + \left( {{(p-1)-p^2(p-1)}\over{p^2(p-1)^2}}\right)    \right)
\left({{p}\over{(p+1+{{1}\over{p}})}} \right)</math>
:<math>C_A</math>는 [[알틴 상수]]

:<math>\;\;\;= \prod_{p} \left( C_A + \left( {{1-p^2}\over{p^2(p-1)}}\right)    \right)
\left({{p}\over{(p+1+{{1}\over{p}})}} \right)</math>


== 란다우 토션트 상수 및 토션트 상수의 스트븐스 상수 표현 ==
:<math>C_S= \prod_{p} \left( \left({{(p^2-1)}\over{p(p-1)}} \right)- 
\left({{1}\over{(p-1)}} \right) + \left( {{1-p^2}\over{p^2(p-1)}}\right)    \right)
\left({{p}\over{(p+1+{{1}\over{p}})}} \right)</math>
:<math>C_S= \prod_{p} \left(  C_{Lt} -  \left({{1}\over{p^2-p} } \right) -  \left({{1}\over{p^2-p} } \right) +  \left( {{1-p^2}\over{p^2(p-1)}}\right)     \right)
\left({{p}\over{(p+1+{{1}\over{p}})}} \right)</math>

:<math>C_S= \prod_{p} \left(  C_{Lt} -  \left({{1}\over{p^2-p} } \right) -  \left({{1}\over{p^2-p} } \right) + C_t - \left( {{p}\over{p-1}} \right)    \right)
\left({{p}\over{(p+1+{{1}\over{p}})}} \right)</math>

:<math>C_{Lt} = </math> [[란다우 토션트 상수]]
:<math>C_{Lt} = \prod_{p} \left(1 + {{1}\over{p(p-1)} } \right)</math>
:<math>C_{t} = </math> [[토션트 상수]]
:<math>C_t=\prod_{p}^{} \left( 1+{{1}\over{p^2(p-1)}} \right)</math>

== 같이 보기 ==
* [[토션트 상수]]
* [[쌍둥이 소수 상수]]

== 각주 ==
{{각주}}
* (Binary strings without zigzags
Emanuele Munarini - Norma Zagaglia Salvi,S´eminaire Lotharingien de Combinatoire 49 (2004), Article B49h)http://www.mat.univie.ac.at/~slc/wpapers/s49zagaglia.pdf (http://www.mat.univie.ac.at/~slc/wpapers/s49zagaglia.html)
* (매스월드)http://mathworld.wolfram.com/StephensConstant.html
* (OEIS)https://oeis.org/A078079
* (OEIS)http://oeis.org/A065478
* (OEIS)Sequence in context: A136644 A111963 A206923 * A176982 A079728 A181801
* (Stephens' constant)Stephens, P. J. "Prime Divisor of Second-Order Linear Recurrences, I." J. Number Th. 8, 313-332, 1976.

[[분류:수학 상수]]
[[분류:대수적 수론]]