스테인하우스-모서 표기법 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{출처 필요|날짜=2018-02-28}}
[[수학]]에서 '''[[후고 스테인하우스|스테인하우스]]-[[레오 모서|모서]] 표기법'''({{llang|en|Steinhaus–Moser notation}})은 특정한 매우 [[큰 수]]를 표현하는 [[표기법]]으로, [[후고 스테인하우스|스테인하우스]]의 다각형 표기법의 확장판이다.

== 정의 ==
:[[파일:Triangle-n.svg|20px|삼각형 안에 n]] '''삼각형''' 안에 {{math|<VAR >n</VAR >}}을 쓴 수는 {{math|<VAR >n</VAR ><sup><VAR >n</VAR></sup>}}을 의미한다.

:[[파일:Square-n.svg|20px|사각형 안에 n]] '''사각형''' 안에 {{math|<VAR >n</VAR >}}을 쓴 수는 "중첩된 삼각형 {{math|<VAR >n</VAR >}}개 안에 {{math|<VAR >n</VAR >}}을 쓴 수"와 같다.

:[[파일:Pentagon-n.svg|20px|오각형 안에 n]] '''오각형''' 안에 {{math|<VAR >n</VAR >}}을 쓴 수는 "중첩된 사각형 {{math|<VAR >n</VAR >}}개 안에 {{math|<VAR >n</VAR >}}을 쓴 수"와 같다.

etc.: ({{math|<VAR >m</VAR > + 1}})각형 안에 {{math|<VAR >n</VAR >}}을 쓴 수는 "중첩된 {{math|<VAR >m</VAR >}}각형 {{math|<VAR >n</VAR >}}개 안에 {{math|<VAR >n</VAR >}}을 쓴 수"와 같다. 다각형이 여러 개 중첩되어 있을 때, [[:en:Association (mathematics)|associated]] inward이다. 삼각형 두 개 안에 {{math|<VAR >n</VAR >}}을 쓴 것은 삼각형 안에 {{math|<VAR >n</VAR ><sup><VAR >n</VAR ></sup>}}을 쓴 것과 같고, {{math|<VAR >n</VAR ><sup><VAR >n</VAR ></sup>}}의 {{math|<VAR >n</VAR ><sup><VAR >n</VAR ></sup>}}제곱과 같다.

스테인하우스는 삼각형, 사각형, 그리고 위에서 정의한 오각형과 동일한 '''원''' [[파일:Circle-n.svg|20px|원 안에 n]]만을 정의했다.

== 특수값 ==
스테인하우스는 다음을 정의했다:
*'''mega'''는 원 안에 2를 쓴 수이다: {{h:title|<nowiki>C(2) = S(S(2))</nowiki>|②}}
*'''megiston'''은 원 안에 10을 쓴 수이다: ⑩

'''모서 수'''({{llang|en|Moser's number}})는 "megagon 안에 2를 쓴 수"를 나타내고, '''megagon'''은 "mega"각형을 의미하며, [[백만각형]]({{llang|en|megagon}})과 혼동해서는 안된다.

다른 표기법:
*함수 square(x)와 triangle(x)를 사용한다
*{{math|M(<VAR >n</VAR >, <VAR >m</VAR >, <VAR >p</VAR >)}}를 중첩된 {{math|<VAR >p</VAR >}}각형 {{math|<VAR >m</VAR >}}개 안에 {{math|<VAR >n</VAR >}}을 쓴 수를 의미한다. 즉, 규칙은 다음과 같다:
**<math>M(n,1,3) = n^n</math>
**<math>M(n,1,p+1) = M(n,n,p)</math>
**<math>M(n,m+1,p) = M(M(n,1,p),m,p)</math>
* 그리고
**mega =&nbsp;<math>M(2,1,5)</math>
**megiston =&nbsp;<math>M(10,1,5)</math>
**moser =&nbsp;<math>M(2,1,M(2,1,5))</math>

==Mega==
mega (②)는 다음을 보면 알 수 있듯이 그 자체로도 매우 큰 수이다: ② =
square(square(2)) = square(triangle(triangle(2))) =
square(triangle(2<sup>2</sup>)) = 
square(triangle(4)) =
square(4<sup>4</sup>) =
square(256) =
triangle(triangle(triangle(...triangle(256)...)))  [256 triangles] =
triangle(triangle(triangle(...triangle(256<sup>256</sup>)...)))  [255 triangles] ~
triangle(triangle(triangle(...triangle(3.2 &times; 10<sup>616</sup>)...)))  [254 triangles] =
...

다른 표기법을 사용하면:

mega = M(2,1,5) = M(256,256,3)

함수 <math>f(x)=x^x</math>를 사용하면 mega = <math>f^{256}(256)  = f^{258}(2)</math>이고, 이 때 지수는 대수적인 거듭제곱이 아닌 [[함수의 합성|함수의 거듭제곱]]을 의미한다.

우리는 다음을 알고 있다(거듭제곱이 오른쪽에서 왼쪽으로 계산하는 관습을 주목하라):
*M(256,2,3) = <math>(256^{\,\!256})^{256^{256}}=256^{256^{257}}</math>
*M(256,3,3) = <math>(256^{\,\!256^{257}})^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}</math>≈<math>256^{\,\!256^{256^{257}}}</math>
유사하게:
*M(256,4,3) ≈ <math>{\,\!256^{256^{256^{256^{257}}}}}</math>
*M(256,5,3) ≈ <math>{\,\!256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}</math>
etc.

따라서:
*mega = <math>M(256,256,3)\approx(256\uparrow)^{256}257</math>이고, 이 때 <math>(256\uparrow)^{256}</math>는 함수 <math>f(n)=256^n</math>의 함수 거듭제곱을 의미한다.

더 근사하면 (끝의 257을 256으로 바꾸면), [[커누스 윗화살표 표기법]]으로 mega ≈ <math>256\uparrow\uparrow 257</math>을 얻을 수 있다.

처음 몇 단계 이후 <math>n^n</math>의 값은 근사적으로 <math>256^n</math>과 같아진다. 사실은 <math>10^n</math>과도 같아진다 ([[대수#매우 큰 수에 대한 근사적 산술|매우 큰 수에 대한 근사적 산술]]을 보라). 십진법을 사용하면 다음을 얻을 수 있다:
*<math>M(256,1,3)\approx 3.23\times 10^{616}</math>
*<math>M(256,2,3)\approx10^{\,\!1.99\times 10^{619}}</math> (<math>\log _{10} 616</math>을 616에 더한 값이다)
*<math>M(256,3,3)\approx10^{\,\!10^{1.99\times 10^{619}}}</math> (<math>619</math>가 <math>1.99\times 10^{619}</math>에 더해졌지만 무시할 수 있기 때문에 단순히 아래에 10이 더 생겼다)
*<math>M(256,4,3)\approx10^{\,\!10^{10^{1.99\times 10^{619}}}}</math>
...
*mega = <math>M(256,256,3)\approx(10\uparrow)^{255}1.99\times 10^{619}</math>, 이 때 <math>(10\uparrow)^{255}</math>는 함수 <math>f(n)=10^n</math>의 함수적 거듭제곱을 의미한다. 따라서 <math>10\uparrow\uparrow 257 < \text{mega} < 10\uparrow\uparrow 258</math>이다.

==모서 수<!--This section is linked from [[Moser's number]]-->==

모서 수는 그 크기가 [[콘웨이 연쇄 화살표 표기법]]으로 증명되었다.

:<math>\mathrm{moser} < 3\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 2</math>

그리고 [[커누스 윗화살표 표기법]]으로도 증명되었다.

:<math>\mathrm{moser} < f^{3}(4) = f(f(f(4))), \text{ where } f(n) = 3 \uparrow^n 3</math>

따라서 모서 수는 이해하기 어려울 정도로 크지만 [[그레이엄 수]]에 비해서는 없는 것이나 마찬가지로 작다:

:<math>\mathrm{moser} \ll  3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2 < f^{64}(4) = \text{Graham's number}.</math>

== 같이 보기 ==
* [[아커만 함수]]

== 외부 링크 ==
* [http://www.mrob.com/pub/math/largenum.html Robert Munafo's Large Numbers]
* [http://www-users.cs.york.ac.uk/~susan/cyc/b/big.htm Factoid on Big Numbers]
* [http://mathworld.wolfram.com/Megistron.html Megistron at mathworld.wolfram.com] (Note that Steinhaus referred to this number as "megiston" with no "r".)
* [http://mathworld.wolfram.com/CircleNotation.html Circle notation at mathworld.wolfram.com]

{{큰 수}}

[[분류:수학 표기법]]
[[분류:대수]]