스콧 위상 문서 원본 보기

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[[일반위상수학]] 및 [[순서론]]에서 '''스콧 위상'''({{llang|en|Scott topology}})은 임의의 [[원순서 집합]] 위에 정의할 수 있는 [[위상 공간 (수학)|위상]]의 하나이다.

== 정의 ==
[[원순서 집합]] <math>(P,\lesssim)</math>의 [[부분 집합]] <math>U\subseteq P</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 '''스콧 열린집합'''({{llang|en|Scott-open set}})이라고 한다.
* 다음 두 조건을 만족시킨다.
** <math>U</math>는 [[상집합]]이다.
** 임의의 [[상향 집합]] <math>D\subseteq P</math>에 대하여, 만약 <math>\sup D\in U</math>라면, <math>D\cap U\ne\varnothing</math>이다. (<math>U</math>가 [[상집합]]이므로, <math>\sup D\in U</math>인지 여부는 [[상한]]의 선택과 무관하다.)
* 스콧 닫힌집합의 [[여집합]]이다.
마찬가지로, [[원순서 집합]] <math>(P,\lesssim)</math>의 [[부분 집합]] <math>F\subseteq P</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 '''스콧 닫힌집합'''({{llang|en|Scott-closed set}})이라고 한다.
* 다음 두 조건을 만족시킨다.
** <math>U</math>는 [[하집합]]이다.
** 임의의 [[상향 집합]] <math>D\subseteq P</math>에 대하여, 만약 <math>D\subseteq F</math>이며, <math>\sup D</math>가 존재한다면, <math>\sup D\in F</math>이다. (<math>F</math>가 [[하집합]]이므로, <math>\sup D\in F</math>인지 여부는 [[상한]]의 선택과 무관하다.)
* 스콧 열린집합의 [[여집합]]이다.
[[원순서 집합]] <math>(P,\lesssim)</math>의 스콧 열린집합들의 집합은 <math>P</math> 위의 위상을 이룬다. 이를 <math>P</math>의 '''스콧 위상'''이라고 한다.

== 성질 ==
=== 스콧 위상에 대한 연속 함수 ===
두 [[원순서 집합]] <math>(P,\lesssim_P)</math>, <math>(Q,\lesssim_Q)</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon P\to Q</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>f</math>를 '''스콧 연속 함수'''({{llang|en|Scott-continuous function}})라고 한다.
* [[정의역]]과 [[공역]] 위에 스콧 위상을 부여하였을 때, [[연속 함수]]이다.
* ([[상향 집합]]의 [[상한]]의 보존) 임의의 [[상향 집합]] <math>D\subseteq P</math>에 대하여, 만약 <math>\sup D</math>가 존재한다면, <math>f(\sup D)=\sup f(D)</math>
스콧 연속 함수는 항상 [[증가함수]]이다.

=== 함자성 ===
스콧 위상은 [[원순서 집합]]과 스콧 연속 함수의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C\subset\operatorname{Proset}</math>와 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Top}</math> 사이의 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\Sigma\colon\mathcal C\to\operatorname{Top}</math>
를 정의한다.

=== 곱과의 호환 ===
위 함자는 [[연속 원순서 집합|연속]] [[dcpo]]의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{ContDcpo}</math>와 [[콜모고로프 공간]]의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Kolm}</math> 사이로 제한시켰을 때, 유한 [[곱 (범주론)|곱]]을 보존한다. 보다 일반적으로, 임의의 [[dcpo]] <math>(P,\le_P)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Gierz">{{서적 인용
|이름1=Gerhard
|성1=Gierz
|이름2=Karl
|성2=Hofmann
|이름3=Klaus
|성3=Keimel
|이름4=Jimmie
|성4=Lawson
|이름5=Michael
|성5=Mislove
|이름6=Dana S.
|성6=Scott
|저자링크6=데이나 스콧
|제목=Continuous lattices and domains
|언어=en
|총서=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications
|권=93
|출판사=Cambridge University Press
|위치=Cambridge
|날짜=2003
|isbn=978-0-521-80338-0
|doi=10.1017/CBO9780511542725
|mr=1975381
|zbl=1088.06001
}}</ref>{{rp|197, Theorem II-4.13}}
* 임의의 [[dcpo]] <math>(Q,\le_Q)</math>에 대하여, 다음 두 위상이 일치한다.
** <math>P</math>와 <math>Q</math>의 [[직접곱]] <math>P\times Q</math>의 스콧 위상
** <math>P</math>와 <math>Q</math>의 스콧 위상의 [[곱위상]]
* <math>P</math>의 스콧 열린집합들의 [[완비 헤이팅 대수]]는 [[연속 원순서 집합|연속]] [[완비 헤이팅 대수]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[상위상]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Scott topology}}

[[분류:일반위상수학]]
[[분류:순서론]]