스코로호드 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Discrete probability distribution illustration.svg|섬네일|오른쪽|카들라그 함수의 예. 왼쪽 극한과 오른쪽 극한이 항상 존재하며, 불연속점에서 함수의 값은 오른쪽 극한과 일치한다.]]
[[확률론]]과 [[실해석학]]에서 '''스코로호드 공간'''(Скороход空間, {{llang|en|Skorokhod space}})은 실수 구간 위에 정의된, 왼쪽 극한을 가지며 오른쪽 연속인 함수들의 [[폴란드 공간]]이다.<ref name="Billingsley">{{서적 인용|제목=Convergence of probability measures|url=https://archive.org/details/convergenceofpro0000bill|이름=Patrick|성=Billingsley|날짜=1999|출판사=John Wiley and Sons|판=2|isbn=978-0-471-19745-4|총서=Wiley Series in Probability and Statistics|doi=10.1002/9780470316962|언어=en}}</ref>{{rp|Chapter 3}} 그 원소를 '''카들라그 함수'''(càdlàg函數, {{llang|en|càdlàg function}})라고 한다. 그 위의 위상인 '''스코로호드 위상'''(Скороход位相, {{llang|en|Skorokhod topology}})에서의 수렴은 시간의 측정(특히, 함수의 불연속점이 발생하는 시각)이 오차를 가질 수 있음을 반영한다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[분해 가능 공간|분해 가능]] [[완비 거리 공간]] <math>(X,d_X)</math>
* [[닫힌구간]] <math>[a,b] \subsetneq \mathbb R</math>
그렇다면, 함수 <math>f\colon[a,b]\to X</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''카들라그 함수'''라고 한다.<ref name="Billingsley"/>{{rp|121, Chapter 3}}
* <math>\forall s\in[a,b)\colon f(s) = \lim_{t \to s^+} f(t)</math>
* <math>\forall s\in(a,b]\colon \exists \lim_{t \to s^-} f(t)</math>
즉, 오른쪽 극한과 왼쪽 극한이 둘 다 존재하며, 실제 함수 값은 오른쪽 극한과 같아야 한다.

카들라드 함수들의 집합을 <math>\mathbb D([a,b],X)</math>라고 하자. 이 위에, 다음과 같은 [[거리 함수]]를 주자.<ref name="Billingsley"/>{{rp|125, (12.16)}}
:<math>d_{\mathbb D}(f,g) = \inf_{\theta \in \operatorname{Aut}([a,b])} \max\left\{\sup_{t\in[a,b]} d_X(f(t),g(\theta(t))),\;\sup_{a\le s< t\le b}\left|\ln\frac{\theta(t)-\theta(s)}{t-s}\right|\right\} </math>
여기서
* <math>\operatorname{Aut}([a,b])</math>는 <math>[a,b]\to[a,b]</math> [[전단사 함수|전단사]] [[증가 함수|증가]] [[연속 함수]]들의 [[군 (수학)|군]]이다.

그렇다면, 이는 [[분해 가능 공간|분해 가능]] [[완비 거리 공간]]을 이룬다.<ref name="Billingsley"/>{{rp|Theorem 12.2}} <math>(\mathbb D([a,b],X),d_{\mathbb D})</math>를 '''스코로호드 공간'''이라고 한다.

== 성질 ==
스코로호드 공간에 다음과 같은, 더 단순한 [[거리 함수]]를 줄 수도 있다.
:<math>d'_{\mathbb D}(f,g) = \inf_{\theta \in \operatorname{Aut}(E,E)} \max\left\{\sup_{t\in[a,b]} d_X(f(t),g(\theta(t))),\;\sup_{a\le s\le t\le b}|\theta(t)-s|\right\} </math>
이는 <math>d_{\mathbb D}</math>와 같은 위상을 정의하지만, 이는 일반적으로 [[완비 거리 공간]]을 정의하지 못한다.<ref name="Billingsley"/>{{rp|125, Example 12.2}}

임의의 <math>\theta\in\operatorname{Aut}([a,b])</math>에 대하여,
:<math>(\circ\theta) \colon D([a,b],X) \to\mathbb D([a,b],X)</math>
는 정의에 따라 [[전단사 함수|전단사]] [[등거리 변환]]을 이룬다.

=== 포함 관계 ===
정의에 따라, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.
:<math>\mathcal C^0([a,b],X) \subsetneq \mathbb D([a,b],X)</math>
만약 <math>\mathcal C^0([a,b],X)</math>에 [[거리 함수]]
:<math>d(f,g) = \sup_{t\in[a,b]}d_X(f(t),g(t))</math>
를 부여할 경우, 이 포함 사상은 [[연속 함수]]이다. 또한, 연속 함수의 스코로호드 수렴은 이 거리 함수에서의 수렴과 [[동치]]이다. 따라서, <math>\mathcal C^0([a,b],X)</math>는 <math>\mathbb D([a,b],X)</math>의 [[닫힌집합]]을 이룬다.

=== 수렴 ===
스코로호드 위상에서, 카들라그 함수열
:<math>(f_i)_{i=0}^\infty \subseteq\mathbb D( [a,b], X)</math>
이
:<math>f\in\mathbb D([a,b],X)</math>
로 수렴할 [[필요 충분 조건]]은 다음과 같다.
:어떤 함수열 <math>(\theta_i)_{i=0}^\infty \subseteq\operatorname{Aut}([a,b])</math>에 대하여, <math>f_i\circ\theta_i</math>가 <math>f</math>로 [[균등 수렴]]하며, 또한 <math>\theta_i</math>가 [[항등 함수]] <math>\operatorname{id}_{[a,b]}</math>로 [[균등 수렴]]한다.

특히, 만약 함수열 <math>f_i</math>가 [[연속 함수]]만으로 구성된다면, 그 (스코호로트 위상에서의) 수렴은 <math>f_i</math>의 [[균등 수렴]]과 [[동치]]이다.<ref name="Billingsley"/>{{rp|124, §12}}

=== 다른 위상 ===
<math>\mathbb D([a,b],X)</math> 위에 L<sup>∞</sup> 노름
:<math>\|f\| = \sup_{t\in[a,b]}f(t)</math>
을 주면 이는 [[바나흐 공간]]을 이루지만, 이는 [[분해 가능 공간]]을 이루지 못한다. 이 때문에 이 위상은 확률론에서 잘 사용되지 않는다.

== 역사 ==
“카들라그 함수”({{llang|fr|fonction càdlàg}})라는 용어는 {{llang|fr|continue à droite, limite à gauche|콩티뉘 아 드루아트, 리미트 아 고슈}}(오른쪽에서 연속, 왼쪽에서 극한)의 머리글자를 딴 것이다.

카들라그 함수의 공간 위의 스코로호드 위상은 L<sup>∞</sup> 노름의 [[분해 가능 공간|분해 가능성]]의 실패를 고치기 위하여 아나톨리 볼로디미로비치 스코로호드({{llang|uk|Анато́лій Володи́мирович Скорохо́д}}, {{llang|ru|Анато́лий Влади́мирович Скорохо́д|아나톨리 블라디미로비치 스코로호트}}, 1930〜2011)가 1956년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=A. V.|성=Skorokhod|제목=Limit theorems for stochastic processes|저널=Theory of Probability and Applications | 권=1–3 | 날짜= 1956|쪽= 261–290 | doi=10.1137/1101022|언어=en}}</ref> 이 논문에서 스코로호드는 여러 개의 위상들(<math>M_1</math>, <Math>M_2</math>, <math>\mathbf J_1</math>, <math>\mathbf J_2</math>)을 정의하였는데, 그 가운데 오늘날 ‘스코로호드 위상’이라고 불리는 것은 <math>\mathbf J_1</math>이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Skorokhod topology}}
* {{eom|title=Skorokhod space}}
* {{매스월드|id=CadlagFunction|title=Cadlag function|이름=Agnieszka|성=Mazany}}
* {{서적 인용|장url=http://fbc.pionier.net.pl/id/oai:kpbc.umk.pl:39953 | 장=The Skorokhod space in functional convergence: a short introduction|이름=Adam|성=Jakubowski | 제목=International conference: Skorokhod Space. 50 years on, 17-23 June 2007, Kyiv, Ukraine. Part I|날짜=2007|쪽= 11-18 |언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:함수의 종류]]
[[분류:확률론]]
[[분류:확률 과정]]