스칼라 행렬 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[선형대수학]]에서 '''스칼라 행렬'''(-行列, {{llang|en|scalar matrix}})은 모든 [[주대각선]] 성분이 같은 [[대각 행렬]]이다. 즉, [[단위 행렬]]의 어떤 스칼라에 대한 배수가 되는 [[행렬]]이다.

== 정의 ==
[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 <math>n\times n</math> '''스칼라 행렬'''(-行列, {{llang|en|scalar matrix}})은 모든 대각 성분이 같은 [[대각 행렬]]이다. [[단위 행렬]]을 <math>1_{n\times n}</math>로 쓸 때, 대각 성분이 <math>r\in R</math>인 스칼라 행렬은 다음과 같다.
:<math>r1_{n\times n}=\operatorname{diag}(\underbrace{r,\dots,r}_n)=
\begin{pmatrix}
r \\
& r \\
& & \ddots \\
& & & r
\end{pmatrix}_{n\times n}
</math>

== 성질 ==
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>와 그 행렬환 사이에는 다음과 같은 자연스러운 [[단사 함수|단사]] [[환 준동형]]이 존재하며, 이에 따라 스칼라 행렬들은 원래 환 <math>R</math>와 [[동형]]인 환을 이룬다.<ref name="Lang">{{서적 인용
|성=Lang
|이름=Serge
|저자링크=서지 랭
|제목=Algebra
|언어=en
|판=개정 3
|총서=Graduate Texts in Mathematics
|권=211
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2002
|issn=0072-5285
|isbn=978-1-4612-6551-1
|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0
|zbl=0984.00001
|mr=1878556
}}</ref>{{rp|504, §XIII.1}}
:<math>R\hookrightarrow\operatorname{Mat}(n;R)</math>
:<math>r\mapsto r1_{n\times n}</math>

=== 가환성 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[벡터 공간]] <math>V</math> 위의 [[선형 변환]] <math>T\colon V\to V</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* 모든 [[선형 변환]]과 가환한다. 즉, 임의의 선형 변환 <math>U\colon V\to V</math>에 대하여, <math>TU=UT</math>이다.
* 모든 [[전단사 함수|전단사]] [[선형 변환]]과 가환한다.
* 모든 [[사영 작용소]]와 가환한다.
* [[항등 함수]]의 스칼라배 <math>T=a\operatorname{id}_V</math> (<math>a\in K</math>)이다.

특히, [[일반 선형군]] <math>\operatorname{GL}(n;K)</math>의 [[중심 (대수학)|중심]]은 0이 아닌 스칼라 행렬들이다.

== 예 ==
[[단위 행렬]]은 스칼라 행렬이다. [[영행렬]]은 스칼라 행렬이다.

작은 크기의 스칼라 행렬들은 다음과 같다.
:<math>r 1_{1\times 1}=
\begin{pmatrix}
r
\end{pmatrix}
</math>
:<math>r 1_{2\times 2}=
\begin{pmatrix}
r & 0 \\
0 & r
\end{pmatrix}
</math>
:<math>r 1_{3\times 3}=
\begin{pmatrix}
r & 0 & 0 \\
0 & r & 0 \\
0 & 0 & r
\end{pmatrix}
</math>
:<math>r 1_{4\times 4}=
\begin{pmatrix}
r & 0 & 0 & 0 \\
0 & r & 0 & 0 \\
0 & 0 & r & 0 \\
0 & 0 & 0 & r
\end{pmatrix}
</math>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=ScalarMatrix|제목=Scalar matrix}}

[[분류:행렬]]