슈필라인 확장정리 문서 원본 보기

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'''슈필라인 확장정리'''({{llang|en|Szpilrajn extension theorem}}) 또는 '''마르체프스키 확장정리'''(Marczewski extension theorem)는 [[집합론]]의 [[정리]]로, [[선택 공리]]의 많은 응용 사례 중 하나이다.

== 정의 ==
임의의 집합 <math>X</math> 및 [[이항 관계]] <math>R\subset X^2</math>에 대하여, 다음 두 조건들이 성립한다고 하자.
* ([[추이관계]]) 임의의 <math>x,y,z\in X</math>에 대하여, <math>xRy</math>이며 <math>yRz</math>라면 <math>xRz</math>
* (비반사 관계) 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\lnot(xRx)</math>
'''슈필라인 확장정리'''에 따르면, 다음 네 조건들을 만족시키는 [[이항 관계]] <math>\tilde R\subset X^2</math>가 존재한다.
* ([[추이관계]]) 임의의 <math>x,y,z\in X</math>에 대하여, <math>x\tilde Ry</math>이며 <math>y\tilde Rz</math>라면 <math>x\tilde Rz</math>
* (비반사 관계) 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\lnot(x\tilde Rx)</math>
* (확장성) 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>xRy</math>라면 <math>x\tilde Ry</math>
* (완전 관계) 임의 <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>x\tilde Ry</math>이거나 <math>y\tilde Rx</math>

== 예 ==
예를 들어,
:<math>X = \{1, 2, 3\}</math>
:<math>R = \{(1, 2), (2, 3), (1, 3)\}</math>
이라면, <math>R</math>는 이미 비반사 추이 완전 관계이므로, 슈필라인 확장 정리는 자명하게 성립한다.

다른 예로
:<math>X = \{1, 2, 3, 4\}</math>
:<math>R = \{(1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 4)\}</math>
라 하자. 이는 비반사 추이 관계이나, 완전 관계가 아니다. 그렇다면 슈필라인 확장 정리에 따라서 이 관계의 비반사 추이 완전 확장이 존재한다. 이러한 확장은 유일하지 않으며, 아래의 <math>\tilde R</math>와 <math>\tilde R'</math> 둘 다 이 조건을 만족시킨다.
:<math>\tilde R=\{(1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 4), (2, 4), (3, 4)\}</math>
:<math>\tilde R'= \{(1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 4), (4, 2), (4, 3)\}</math>

== 역사 ==
[[바르샤바 학파 (수학)|바르샤바 학파]]에 속하는 [[폴란드인]] [[수학자]] [[에드바르트 마르체프스키]](Edward Marczewski, [[1907년]] - [[1976년]])가 입안하였다.<ref>Szpilrajn, E. (1930), [http://matwbn.icm.edu.pl/tresc.php?wyd=1&tom=16 "Sur l'extension de l'ordre partiel"] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20120206212459/http://matwbn.icm.edu.pl/tresc.php?wyd=1&tom=16}}, ''Fundamenta Mathematicae'' '''16''': 386–389, ISSN [http://www.worldcat.org/issn/0016-2736 0016-2736]</ref> '슈필라인'이라는 이름이 붙은 것은 [[1940년]]까지 마르체프스키의 성이 슈필라인이었는데, 이 시기인 [[1930년]]에 정리가 출판되었기 때문이다.

== 각주 ==
{{각주}}

{{집합론}}

[[분류:수학기초론 정리]]
[[분류:집합론]]
[[분류:선택 공리]]