슈티펠-휘트니 특성류 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수적 위상수학]]에서 '''슈티펠-휘트니 특성류'''(Stiefel-Whitney特性類, {{llang|en|Stiefel–Whitney class}})는 실수 [[벡터 다발]]을 분류하는 [[유한체]] <math>\mathbb F_2</math> 계수 [[특성류]]이다. 이는 복소수 [[벡터 다발]]이 [[천 특성류]]에 의하여 분류되는 것과 마찬가지다.

== 정의 ==
위상 공간 <math>X</math> 위의 [[실수]] 유한 차원 [[벡터 다발]] <math>E</math>의 '''슈티펠-휘트니 특성류'''
:<math>w(E)\in\operatorname H^\bullet(X;\mathbb F_2)</math>
는 다음 네 조건을 만족시키는 유일한 [[특성류]]이다.
* (직합의 분해) 임의의 벡터 다발 <math>E, E'\twoheadrightarrow X</math>에 대하여, <math>w(E\oplus E')=w(E)\smile w(E')</math>
* (당김) 임의의 [[연속 함수]] <math>X\to Y</math>에 대하여, <math>w(f^*E)=f^*w(E)</math>
* (계수) <math>w(E)\in\operatorname H^{\le\dim_{\mathbb R}E}(X)</math>이며, <math>w_0(E)=1</math>이다.
* (규격화) 실수 [[사영 직선]] <math>\mathbb{RP}^1</math>의 자명 선다발 <math>\mathcal O_{\mathbb{RP}^1}(-1)</math>의 슈티펠-휘트니 특성류는 자명하지 않다. 즉, <math>\mathbb{RP}^1</math>의 [[코호몰로지 환]]이 <math>\operatorname H^\bullet(\mathbb{RP}^1;\mathbb F_2)\cong\mathbb F_2[x]/(x^2)</math>, <math>\deg x=1</math>이라면 <math>w(\mathcal O_{\mathbb{RP}^1}(-1))=1+x</math>이다.
이 네 조건들을 모두 만족시키는 특성류는 유일하게 존재한다는 것을 보일 수 있다.

=== 정수 슈티펠-휘트니 특성류 ===
[[아벨 군]]의 [[짧은 완전열]]
:<math>0\to\mathbb Z\to\mathbb Z\to\mathbb Z/2\to0</math>
에 대한 [[복시테인 준동형]]
:<math>\beta\colon\operatorname H^\bullet(X;\mathbb F_2)\to\operatorname H^{\bullet+1}(X;\mathbb Z)</math>
를 생각하자. 유한 차원 실수 [[벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow X</math>의 '''정수 슈티펠-휘트니 특성류''' <math>\beta w</math>는 슈티펠-휘트니 특성류의, 이 [[복시테인 준동형]]에 대한 [[상 (수학)|상]]이다.
:<math>\beta w(E)\in \operatorname H^{\le\dim_{\mathbb R}E+1}(X;\mathbb Z)</math>

=== 우 특성류 ===
유한 차원 실수 [[벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow X</math>의 '''우 특성류'''([吳]特性類, {{llang|en|Wu class}}) <math>W(E)</math>는 그 총 [[스틴로드 제곱]]이 슈티펠-휘트니 특성류가 되는 코호몰로지류이다.
:<math>W(E)\in\operatorname H^\bullet(X;\mathbb F_2)</math>
:<math>w(E)=\operatorname{Sq}(W(E))=\sum_i\operatorname{Sq}^i(W(E))</math>

== 구성 ==
슈티펠-휘트니 특성류는 다음과 같이 여러 방법으로 구성할 수 있다.

=== 톰 동형을 통한 구성 ===
{{본문|톰 공간}}
슈티펠-휘트니 특성류는 [[톰 동형]]을 사용하여 다음과 같이 구성할 수 있다.<ref>{{저널 인용|이름=René|성=Thom|저자링크=르네 톰|제목=Quelques propriétés globales des variétés différentiables|저널=Commentarii Mathematici Helvetici|권=28|날짜=1954|쪽=17–86|doi=10.1007/BF02566923|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002056259|mr=0061823|issn=0010-2571|언어=fr|확인날짜=2016-01-24|보존url=https://web.archive.org/web/20160203062228/http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002056259|보존날짜=2016-02-03|url-status=dead}}</ref>

<math>n</math>차원 실수 [[벡터 다발]] <math>\pi\colon E\twoheadrightarrow X</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname H^i(E,E\setminus X;\mathbb F_2)=\begin{cases}
0&i<n\\
\operatorname H^{i-n}(X;\mathbb F_2)&i\ge n\end{cases}</math>
또한, <math>\operatorname H^n(E,E\setminus X;\mathbb F_2)</math> 속에 다음 조건을 만족시키는 유일한 코호몰로지류 <math>\Phi\in\operatorname H^n(E,E\setminus X;\mathbb F_2)</math>가 존재한다.
* 모든 <math>x\in X</math>에 대하여, 올 <math>\pi^{-1}(x)</math>에 국한한 코호몰로지류 <math>\Phi|_{(\pi^{-1}(x),\pi^{-1}(x)\setminus\{x\})}\in\operatorname H^n(\pi^{-1}(x),\pi^{-1}(x)\setminus\{x\};\mathbb F_2)\cong\operatorname H^n(\mathbb R^n,\mathbb R^n\setminus\{0\};\mathbb F_2)\cong\operatorname H^n(\mathbb S^n;\mathbb F_2)\cong\mathbb F_2</math>는 0이 아니다.
이를 '''[[톰 특성류]]'''라고 한다.

그렇다면, 각종 코호몰로지 공간 사이에 다음과 같은 사상들을 정의할 수 있다.
:<math>\operatorname H^\bullet(X;\mathbb F_2)\xrightarrow{\pi^*}\operatorname H^\bullet(E;\mathbb F_2)\xrightarrow{\smile\Phi}\operatorname H^{\bullet+n}(E,E\setminus X;\mathbb F_2)</math>
이 경우, <math>(\smile\Phi)\circ\pi^*</math>는 <math>\mathbb F_2</math> [[벡터 공간]]의 [[동형 사상]]이다. 이를 '''[[톰 동형]]'''이라고 한다.

기본 코호몰로지류 <math>\Phi</math>의 총 [[스틴로드 제곱]]
:<math>\operatorname{Sq}\Phi=\sum_i\operatorname{Sq}^i\Phi\in\operatorname H^{\ge n}(E,E\setminus X;\mathbb F_2)</math>
를 생각하자. 그렇다면, 슈티펠-휘트니 특성류는 [[톰 특성류]]의 총 스틴로드 제곱의 [[톰 동형]]에 대한 [[원상 (수학)|원상]]이다.
:<math>w(E)=\left((\smile\Phi)\circ\pi^*\right)^{-1}(\operatorname{Sq}\Phi)</math>

=== 무한 사영 공간을 통한 구성 ===
선다발의 슈티펠-휘트니 특성류는 무한 사영 공간을 사용하여 간단하게 정의할 수 있다.

<math>n</math>차원 실수 벡터 다발은 무한 [[그라스만 다양체]] <math>\operatorname{Gr}_n(\mathbb R^\infty)</math>에 의하여 분류된다. 특히, 실수 [[선다발]]은 무한 [[사영 공간]] <math>\operatorname{Gr}_1(\mathbb R^\infty)=\operatorname{RP}^\infty</math>에 의하여 분류된다. 무한 사영 공간은 [[에일렌베르크-매클레인 공간]]
:<math>\operatorname{RP}^\infty=K(\mathbb Z/2,1)</math>
이다.

실수 선다발 <math>L\twoheadrightarrow X</math>에 대응하는 [[연속 함수]]
:<math>f\colon X\to\operatorname{RP}^\infty</math>
를 생각하자. [[에일렌베르크-매클레인 공간]]의 성질에 따라,
:<math>\hom_{\operatorname{hTop}_\bullet}\left(X,\operatorname{RP}^\infty\right)\cong\operatorname H^1(X;\mathbb F_2)</math>
이다. 그렇다면, 실수 선다발 <math>L</math>의 '''슈티펠-휘트니 특성류''' <math>w(L)=1+w_1(L)</math>는 다음과 같다.
:<math>w_1(L)=[f]\in \operatorname H^1(X;\mathbb F_2)</math>
여기서 <math>[f]</math>는 <math>f</math>의 [[호모토피류]]를 뜻한다.

== 성질 ==
일반적으로 [[특성류]]는 [[매끄러움 구조]] 또는 [[복소구조]]에 의존한다. [[유리수]] 계수 [[폰트랴긴 특성류]]는 (위상) [[다양체]]의 불변량이다. 즉, [[매끄러움 구조]]에 의존하지 않는다. 그러나 이는 [[호모토피 동치]]에 대한 불변량이 아니다. '''우 정리'''([吳]定理, {{llang|en|Wu’s theorem}})에 따르면, 슈티펠-휘트니 특성류는 [[호모토피 동치]]에 대한 불변량이다.

=== 방해물 이론 ===
처음 몇 개의 슈티펠-휘트니 특성류는 다음과 같은 구조의 존재에 대한 방해물을 이룬다.

[[매끄러운 다양체]] 위의 유한 차원 실수 벡터 다발에 대하여, 다음 두 조건이 [[동치]]이다.
* [[방향 (다양체)|가향 벡터 다발]]이다.
* 1차 슈티펠-휘트니 특성류가 0이다.
특히, 다양체 <math>M</math>이 [[가향 다양체]]일 [[필요충분조건]]은 그 [[접다발]]의 1차 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다.

[[매끄러운 다양체]] 위의 유한 차원 실수 벡터 다발에 대하여, 다음 두 조건이 [[동치]]이다.
* [[스핀 구조]]를 갖는다.
* 1차 및 2차 슈티펠-휘트니 특성류가 0이다.
특히, 다양체 <math>M</math>이 [[스핀 다양체]]가 될 수 있는 [[필요충분조건]]은 그 [[접다발]]의 1차 및 2차 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다.

[[매끄러운 다양체]] <Math>M</math>위의 유한 차원 실수 벡터 다발 <math>E</math>에 대하여, 다음 두 조건이 [[동치]]이다.
* [[스핀C 구조]]를 갖는다.
* 1차 슈티펠-휘트니 특성류 <math>w_1(E)\in\operatorname H(M;\mathbb F_2)</math>가 0이고, 3차 정수 슈티펠-휘트니 특성류 <math>\beta w_2(E)\in\operatorname H^3(X;\mathbb Z)</math>가 0이다.
특히, 다양체 <math>M</math>이 [[스핀C 다양체]]가 될 수 있는 [[필요충분조건]]은 [[가향 다양체]]이며 [[접다발]]의 3차 정수 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다.

== 역사 ==
에두아르트 슈티펠({{llang|de|Eduard Stiefel}})<ref>{{저널 인용|이름=Eduard|성=Stiefel|제목=Richtungsfelder und Fernparallelismus in <math>n</math>-dimensionalen Mannigfaltigkeiten|저널=Commentarii Mathematici Helvetici|권=8|호=1|날짜=1935|쪽=305–353|doi=10.1007/BF01199559|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002052075|issn=0010-2571|언어=de}}</ref>과 [[해슬러 휘트니]]<ref>{{저널 인용|이름=Hassler|성=Whitney|저자링크=해슬러 휘트니|제목=Topological properties of differentiable manifolds|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권= 43|날짜=1937|쪽= 785–805|mr=1563640|zbl=0018.23902|doi=10.1090/S0002-9904-1937-06642-0|issn=0273-0979|언어=en}}</ref>가 발견하였다.

우 특성류는 우원쥔({{zh|t=吳文俊|s=吴文俊|p=Wú Wénjùn|hanja=오문준}})이 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Wen-Tsun |성=Wu|제목=On Pontrjagin classes II|저널=Scientia Sinica|권=4|날짜=1955|쪽=455-490|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[특성류]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Stiefel-Whitney class}}
* {{eom|title=Stiefel number}}
* {{매스월드|id=Stiefel-WhitneyClass|title=Stiefel-Whitney class}}
* {{매스월드|id=Stiefel-WhitneyNumber|title=Stiefel-Whitney number}}
* {{nlab|id=Stiefel-Whitney class}}
* {{nlab|id=integral Stiefel-Whitney class|title=Integral Stiefel-Whitney class}}
* {{nlab|id=Wu class}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2010/12/16/stiefel-whitney-classes/|제목=Stiefel-Whitney classes|이름=Akhil|성=Mathew|날짜=2010-12-16|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2010/12/17/the-stiefel-whitney-classes-of-projective-space/|제목=The Stiefel-Whitney classes of projective space|이름=Akhil|성=Mathew|날짜=2010-12-17|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2011/10/18/thoms-construction-of-the-stiefel-whitney-classes/|제목=Thom’s construction of the Stiefel-Whitney classes|이름=Akhil|성=Mathew|날짜=2011-10-18|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2011/12/27/wus-theorem-on-the-stiefel-whitney-classes-of-a-manifold/|제목=Wu’s theorem on the Stiefel-Whitney classes of a manifold |이름=Akhil|성=Mathew|날짜=2011-12-27|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|언어=en}}

[[분류:특성류]]