슈톨츠-체사로 정리 문서 원본 보기

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[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''슈톨츠-체사로 정리'''({{llang|en|Stolz–Cesàro theorem}})는 두 [[수열]]의 비가 [[수렴]]할 충분조건을 제시하는 정리이다. [[체사로 평균]]의 일반화로 볼 수 있다. 또한 이는 [[로피탈의 정리]]의 이산적인 형태로 볼 수 있는데, [[도함수]]의 개념 대신 [[계차수열]]의 개념을 사용한다.

== 정의 ==
두 [[실수]]열 <math>(a_n)_{n\in\N}</math>, <math>(b_n)_{n\in\N}</math>이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
* 분모 수열이 다음 세 조건 가운데 하나를 만족시킨다.
** (0에 수렴하는 [[순단조수열]]) <math>b_1<b_2<\cdots</math>이거나 <math>b_1>b_2>\cdots</math>이며, 또한 <math>\lim_{n\to\infty}b_n=0</math>
** (양의 무한대에 수렴하는 [[순증가수열]]) <math>b_1<b_2<\cdots</math>이며, <math>\lim_{n\to\infty}b_n=+\infty</math> (이는 [[무계 수열|무계]] 순증가수열과 동치이다.)<ref name="wusj">{{서적 인용
|저자=伍胜健
|제목=数学分析. 第一册
|언어=zh
|출판사=北京大学出版社
|위치=北京
|날짜=2009-08
|isbn=978-7-301-15685-8
}}</ref>
** (음의 무한대에 수렴하는 [[순감소수열]]) <math>b_1>b_2>\cdots</math>이며, <math>\lim_{n\to\infty}b_n=-\infty</math> (이는 [[무계 수열|무계]] 순감소수열과 동치이다.)
* ([[계차수열]]의 비의 넓은 의미 수렴) <math>\lim_{n\to\infty}\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}\in\mathbb R\sqcup\{\pm\infty\}</math>
그렇다면, '''슈톨츠-체사로 정리'''에 따르면 다음이 성립한다.
* <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}\in\mathbb R\sqcup\{\pm\infty\}</math>

== 증명 ==
가장 기본적인, <math>(b_n)_{n\in\mathbb N}</math>이 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이고, 비의 극한이 실수에 수렴하는 경우를 증명하자. 우선 다음과 같이 정의하자.
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}=\ell</math>
그렇다면, <math>(b_n)_{n\in\mathbb N}</math>이 순증가수열임을 같이 고려하면, 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>N\in\mathbb N</math>이 존재하여, 임의의 <math>n\ge N</math>에 대하여 다음이 성립한다.
:<math>(\ell-\epsilon)\Delta b_n<\Delta a_n<(\ell+\epsilon)\Delta b_n</math>
이를 <math>n</math>에 <math>N,N+1,\dots,n</math>를 대입하여 합을 구하면
:<math>(\ell-\epsilon)(b_n-b_N)<a_n-a_N<(\ell+\epsilon)(b_n-b_N)</math>
이다. 또한 <math>(b_n)_{n\in\mathbb N}</math>의 모든 항이 0보다 크다 가정할 수 있으므로,
:<math>(\ell-\epsilon)\left(1-\frac{b_N}{b_n}\right)<\frac{a_n}{b_n}-\frac{a_N}{b_n}<(\ell+\epsilon)\left(1-\frac{b_N}{b_n}\right)</math>
이다. 여기서 <math>\lim_{n\to\infty}b_n=+\infty</math>이므로, <math>N'\in\mathbb N</math>이 존재하여, 임의의 <math>n\ge N'</math>에 대하여,
:<math>\ell-2\epsilon<\frac{a_n}{b_n}<\ell+2\epsilon</math>
이다. 즉,
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\ell</math>

== 관련 명제 ==
=== 부분적 역 ===
슈톨츠-체사로 정리의 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 두 수열
:<math>(a_n)=(10,10,100,100,1000,1000,\ldots)</math>
:<math>(b_n)=(10,11,100,101,1000,1001,\ldots)</math>
을 정의하였을 때, <math>(b_n)_{n\in\mathbb N}</math>은 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이고, <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1</math>이지만, <math>\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}</math>의 극한은 존재하지 않는다. 그러나 그 부분적 역인 다음 명제는 참이다. 두 실수열 <math>(a_n)_{n\in\N}</math>, <math>(b_n)_{n\in\N}</math>이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* <math>b_n,\Delta b_n\ne0\qquad\forall n\in\mathbb N</math>
* <math>\left({b_n \over \Delta b_n}\right){}_{n\in\mathbb N}</math>은 유계 수열이다.
* <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\in\mathbb R\sqcup\{\pm\infty\}</math>
그렇다면, 다음이 성립한다.
* <math>\lim_{n\to\infty}\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\in\mathbb R\sqcup\{\pm\infty\}</math>

=== 한 가지 변형 ===
슈톨츠-체사로 정리의 한 가지 변형은 다음과 같다. 두 실수열 <math>(a_n)_{n\in\N}</math>, <math>(b_n)_{n\in\N}</math>이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* <math>a_n,b_n>0\qquad\forall n\in\mathbb N</math>
* <math>(b_n)_{n\in\mathbb N}</math>은 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이다.
* <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[b_{n+1}-b_n]{\frac{a_{n+1}}{a_n}}\in\mathbb R\sqcup\{\pm\infty\}</math>
그렇다면, 다음이 성립한다.
* <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[b_n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[b_{n+1}-b_n]{\frac{a_{n+1}}{a_n}}\in\mathbb R\sqcup\{\pm\infty\}</math>

=== 일반화 ===
슈톨츠-체사로 정리의 일반화된 형식은 다음과 같다.<ref>{{웹 인용
|url=http://www.imomath.com/index.php?options=686
|제목=L’Hopital’s Theorem
|웹사이트=IMOmath
|언어=en
|확인날짜=2015-08-28
|archive-date=2021-05-06
|archive-url=https://web.archive.org/web/20210506185424/https://www.imomath.com/index.php?options=686
|url-status=
}}</ref> 실수열 <math>(a_n)_{n\in\N}</math>과, 양의 무한대에 수렴하는 순증가 실수열 <math>(b_n)_{n\in\N}</math>에 대하여 다음이 성립한다.
:<math>\liminf_{n\to\infty}\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}\le\liminf_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
\le\limsup_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\le\limsup_{n\to\infty}\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n}</math>

== 예 ==
슈톨츠-체사로 정리를 사용하여 다음과 같은 극한을 구해보자.
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{1+2^k+\cdots+n^k}{n^{k+1}}=\frac{1}{k+1}\qquad(k\in\mathbb N)</math>
분모는 정리의 전제를 만족시킨다. 즉, <math>(n^{k+1})_{n\in\mathbb N}\qquad(k\in\mathbb N)</math>는 양의 무한대에 수렴하는 증가수열이다. 이에 따라, 이 극한은 계차수열의 비의 극한과 같다.
:<math>\begin{align}\lim_{n\to\infty}\frac{1+2^k+\cdots+n^k}{n^{k+1}}
&=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^k}{(n+1)^{k+1}-n^{k+1}}\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{n^k+kn^{k-1}+\cdots}{(k+1)n^k+\frac{k(k+1)}2n^{k-1}+\cdots}\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{1+k\cdot\frac1n+\cdots}{(k+1)+\frac{k(k+1)}2\cdot\frac1n+\cdots}\\
&=\frac1{k+1}\end{align}</math>

=== 평균의 극한 ===
슈톨츠-체사로 정리를 사용하여 일부 [[평균]]의 극한에 대한 명제를 증명할 수 있다. 즉, <math>\lim_{n\to\infty}a_n=a</math>인 실수열 <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>에 대하여 다음이 성립한다.
:([[산술 평균]]의 극한) <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=a</math>
:([[기하 평균]]의 극한) <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=a</math>
:([[조화 평균]]의 극한) <math>\lim_{n\to\infty}\frac n{\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_n}}=a</math>
:([[멱평균]]의 극한) <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[p]\frac{a_1^p+a_2^p+\cdots+a_n^p}n=a\qquad(p\ne0)</math>
:([[일반화된 f-평균]]의 극한) <math>\lim_{n\to\infty}f^{-1}\left(\frac{f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_n)}n\right)=a</math> (<math>f</math>는 [[가역 함수|가역]] [[연속 함수]])
마찬가지로, 다음이 성립한다. (여기서 <math>w_n>0\forall n\in\mathbb N</math>이며 <math>\sum_{n=0}^\infty w_n=+\infty</math>이다.)
:([[가중 산술 평균]]의 극한) <math>\lim_{n\to\infty}\frac{w_1a_1+w_2a_2+\cdots+w_na_n}{w_1+w_2+\cdots+w_n}=a</math>
:([[가중 기하 평균]]의 극한) <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[w_1+w_2+\cdots+w_n]{a_1^{w_1}a_2^{w_2}\cdots a_n^{w_n}}=a</math>
:([[가중 조화 평균]]의 극한) <math>\lim_{n\to\infty}\frac{w_1+w_2+\cdots+w_n}{\frac{w_1}{a_1}+\frac{w_2}{a_2}+\cdots+\frac{w_n}{a_n}}=a</math>
:([[가중 멱평균]]의 극한) <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[p]\frac{w_1a_1^p+w_2a_2^p+\cdots+w_na_n^p}{w_1+w_2+\cdots+w_n}=a</math>
:([[가중 일반화된 f-평균]]의 극한) <math>\lim_{n\to\infty}f^{-1}\left(\frac{w_1f(a_1)+w_2f(a_2)+\cdots+w_nf(a_n)}{w_1+w_2+\cdots+w_n}\right)=a</math> (<math>f</math>는 [[가역 함수|가역]] [[연속 함수]])

=== 기타 ===
슈톨츠-체사로 정리는 [[로피탈의 정리]]의 증명에 사용될 수 있다.

== 역사 ==
[[오스트리아]]의 수학자 [[오토 슈톨츠]]({{llang|de|Otto Stolz}})<ref>{{인용
 | last = Stolz | first = Otto | author-link = 오토 슈톨츠
 | location = Leipzig
 | pages = 173–175
 | publisher = Teubners
 | title = Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten
 | url = http://archive.org/stream/vorlesungenbera01stolgoog#page/n181/mode/1up
 | 날짜 = 1885 | jfm = 17.0116.01 | 언어=de}}</ref>와 [[이탈리아]]의 수학자 [[에르네스토 체사로]]({{llang|it|Ernesto Cesàro}})<ref>{{저널 인용
 | last = Cesàro | first = Ernesto | author-link = 에르네스토 체사로 | journal = Nouvelles annales de mathématiques (series 3)
 | pages = 49–59
 | title = Sur la convergence des séries
 | volume = 7
 | 날짜 = 1888 | jfm=20.0242.01| 언어=fr}}</ref>가 제시하였다.

== 같이 보기 ==
* [[로피탈의 정리]]
* [[타우버의 정리]]
* [[코시 수렴 판정법]]
* [[수열의 극한]]
* [[점근 표기법]]
* [[체사로 평균]]
* [[체사로 합]]

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{인용
 | language = en
 | last = Mureşan | first = Marian
 | isbn = 978-0-387-78932-3
 | location = Berlin
 | page = 85
 | publisher = Springer
 | title = A Concrete Approach to Classical Analysis
 | url = http://books.google.com/books?id=5iK9OX9z014C&pg=PA85
 | year = 2008}}.
* {{인용
 | language = de
 | last1 = Pólya | first1 = George | author1-link = 포여 죄르지
 | last2 = Szegő | first2 = Gábor | author2-link = 
 | location = Berlin
 | publisher = Springer
 | title = Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis
 | volume = I
 | year = 1925}}.
* {{книга |
автор= [[Фихтенгольц, Григорий Михайлович|Фихтенгольц Г. М.]]|
заглавие= Курс дифференциального и интегрального исчисления.|
место= М.|издательство= Физматлит|
год= 2001|том= 1}}
* {{서적 인용 | 이름 = Fichtenholz | 성 = G. M. | 저자링크 = | 제목 = Rachunek różniczkowy i całkowy | 언어 = pl | 판 = 12 | 권 = 1 | 출판사 = Wydawnictwo Naukowe PWN | 위치 = Warszawa | 연도 = 2002 | 쪽 = 55-56 | isbn = 83-01-02175-6 }}

== 외부 링크 ==
* {{플래닛매스|urlname=stolzcesarotheorem|title=Stolz-Cesaro theorem}}
* {{플래닛매스|urlname=proofofstolzcesarotheorem|title=Proof of Stolz-Cesaro theorem}}
* {{플래닛매스|urlname=generalizationsofstolzcesarotheorems|title=Generalizations of Stolz-Cesaro Theorems}}
* {{플래닛매스|urlname=ExampleUsingStolzCesaroTheorem|title=Example using Stolz-Cesaro theorem}}

[[분류:실해석학 정리]]
[[분류:수렴판정법]]