슈윙거-다이슨 방정식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[양자장론]]에서 '''슈윙거-다이슨 방정식'''({{llang|en|Schwinger–Dyson equation}})은 [[오일러-라그랑주 방정식]]에 [[양자역학]]적 보정항을 추가한 방정식이다.

== 정의 ==
슈윙거-다이슨 방정식은 [[경로 적분]]을 통해 유도할 수 있다.<ref>{{서적 인용|성=Peskin|이름=Michael E.|공저자=Daniel V. Schroeder|연도=1995|월=10|제목=An Introduction to Quantum Field Theory|url=http://physics.weber.edu/schroeder/qftbook.html|출판사=Westview Press|언어=en|isbn=0-201-50397-2|확인날짜=2014-07-04|보존url=https://web.archive.org/web/20140902045539/http://physics.weber.edu/schroeder/qftbook.html|보존날짜=2014-09-02|url-status=dead}}</ref>{{rp|306–308}}
장 <math>\phi(x)</math>에 대한 [[범함수]] <math>X[\phi]=X(\phi,\partial_\mu\phi,\partial_\mu\partial_\nu\phi,\dots)</math>의 [[변분법|변분]]은 다음과 같다.
:<math>\frac{\delta X[\phi]}{\delta\phi}=\frac{\partial X}{\partial\phi}-\partial_\mu\frac{\partial X}{\partial(\partial_\mu\phi)}+\partial_\mu\partial_\nu\frac{\partial X}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}+\cdots</math>

[[경로 적분]]의 [[측도]] <math>D\phi</math>가 변수의 재정의 <math>\phi\mapsto\phi+\delta\phi</math>에 대하여 불변이라고 하자. 그렇다면, 임의의 연산자 <math>X[\phi]</math>에 대하여,
:<math>0=\int D\phi\,\delta(X\exp(iS/\hbar))=\int D\phi\,\exp(i\hbar S)(\delta X+iX\delta S/\hbar)</math>
이다. 이를 연산자로 쓰면 다음과 같다. 임의의 상태 <math>|\psi\rangle</math>에 대하여,
:<math>\langle\psi|\mathcal T[X\delta S]|\psi\rangle=-i\hbar\langle\psi|\mathcal T[\delta X]|\psi\rangle</math>
이를 '''슈윙거-다이슨 방정식'''이라고 한다. 여기서 <math>\mathcal T[\cdots]</math>는 [[시간 순서]] 연산자이다. 이는 고전적 [[오일러-라그랑주 방정식]]
:<math>\delta S=0</math>
의 양자장론적 일반화이며, 우변 <math>\hbar \langle\mathcal T[\delta X]\rangle</math>은 양자역학적인 보정항에 해당한다.

예를 들어, <math>X=\phi(x_1)\phi(x_2)\cdots\phi(x_n)</math>이라고 하자. 그렇다면 슈윙거-다이슨 방정식은 다음과 같다.
:<math>\langle\psi|\mathcal T\left[\phi(x_1)\phi(x_2)\cdots\phi(x_n)\left(\frac{\partial S}{\partial\phi(x)}-\partial_\mu\frac{\partial S}{\partial(\partial_\mu\phi(x))}+\cdots\right)\right]|\psi\rangle=-i\sum_{i=1}^n\delta(x-x_i)\langle\psi|\mathcal T[\phi(x_1)\cdots\phi(x_{i-1})\phi(x_{i+1})\cdots\phi(x_n)]|\psi\rangle</math>

== 슈윙거-다이슨 으뜸 방정식 ==
임의의 ''n''점 [[상관 함수 (양자장론)|상관 함수]] <math>X=\phi(x_1)\phi(x_2)\cdots\phi(x_n)</math>에 대하여 슈윙거-다이슨 방정식을 적을 수 있다. 이들 방정식들을 하나로 모아 '''슈윙거-다이슨 으뜸 방정식'''({{llang|en|Schwinger–Dyson master equation}})으로 적을 수 있다.

우선, 어떤 고전적 샘장 <math>J(x)</math>을 추가하여, 작용이 <math>S+\int d^dx\,\phi(x)J(x)</math>이라고 하자. 이 경우, 추가로 연산자를 삽입하지 않으면 슈윙거-다이슨 방정식은 다음과 같다.
:<math>0=i\langle\psi|\mathcal T\left[\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}+J(x)\right]|\psi\rangle_J
=\int D\phi\,\exp(iS+i\int\phi J)\left(J(x)+i\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}\right)
=\left(iJ(x)+i\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}\left[-i\frac\delta{\delta J(x)}\right]\right)\int D\phi\,\exp(iS+i\int\phi J)</math>
여기서
:<math>\frac{\delta S}{\delta\phi}\left[-i\frac\delta{\delta J}\right]</math>
는 <math>\delta S/\delta\phi(x)</math>에서 모든 <math>\phi(x)</math>를 <math>-i\delta/\delta J(x)</math>로 치환한 것이다. 즉, 이를 분배 함수
:<math>Z[J]=\int D\phi\,\exp(iS+\int\phi J)</math>
로 쓰면 다음과 같다.
:<math>\left(J(x)+\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}\left[-i\frac\delta{\delta J(x)}\right]\right)Z[J]=0</math>
이를 '''슈윙거-다이슨 으뜸 방정식'''이라고 하며, <math>J(x)</math>에 대하여 [[테일러 급수]]로 전개하면 ''n''점 [[상관 함수 (양자장론)|상관 함수]]에 대한 슈윙거-다이슨 방정식들을 얻는다.

== 역사 ==
[[프리먼 다이슨]]<ref>{{저널 인용|이름=F.|성= Dyson | 저자링크=프리먼 다이슨 |날짜=1949 |title=The ''S'' matrix in quantum electrodynamics |url=https://archive.org/details/sim_physical-review_1949-06-01_75_11/page/n100|journal=Physical Review |volume=75 |쪽=1736 |doi=10.1103/PhysRev.75.1736|bibcode = 1949PhRv...75.1736D| 언어=en }}</ref>과 [[줄리언 슈윙거]]<ref>{{저널 인용 |이름=J.|성= Schwinger |저자링크=줄리언 슈윙거 |날짜=1951 |title=On the Green’s functions of quantized fields I |journal=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America |volume=37|호=7 |pages=452–455 |bibcode = 1951PNAS...37..452S |doi = 10.1073/pnas.37.7.452 | 언어=en }}</ref><ref>{{저널 인용 |이름=J.|성= Schwinger |저자링크=줄리언 슈윙거 |날짜=1951 |title=On the Green’s functions of quantized fields II |journal=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America |volume=37 |호=7|pages=455–459 |bibcode = 1951PNAS...37..455S |doi =10.1073/pnas.37.7.455 | 언어=en }}</ref> 가 도입하였다.

== 같이 보기 ==
* [[경로 적분 공식화]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|장=A primer on functional methods and the Schwinger–Dyson equations|이름=Eric S.|성=Swanson|arxiv=1008.4337|doi= 	10.1063/1.3523221|bibcode=2010AIPC.1296...75S|제목=XI Hadron Physics|총서=AIP Conference Proceedings|권= 1296|날짜=2010-11-12|isbn= 978-0-7354-0848-7|쪽=75–121|언어=en}}
* {{서적 인용|장=Dyson–Schwinger equations: from Hopf algebras to number theory|제목=Universality and Renormalization|총서=Fields Institute Communications|권=50|이름=Dirk|성=Kreimer|arxiv=hep-th/0609004|bibcode=2006hep.th....9004K|날짜=2007|출판사=American Mathematical Society|쪽=225–248|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Dyson–Schwinger equations and the application to hadronic physics|이름=C. D.|성=Roberts|공저자=A. G. Williams|arxiv=hep-ph/9403224|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Strong QCD and Dyson–Schwinger equations|이름=Craig D.|성=Roberts|arxiv=1203.5341|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:양자장론]]
[[분류:방정식]]
[[분류:프리먼 다이슨]]