슈발레 기저 문서 원본 보기

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[[리 군론]]에서 '''슈발레 기저'''(Chevalley基底, {{llang|en|Chevalley basis}})는 모든 구조 상수가 [[정수]]인, [[반단순 리 대수]]의 특별한 [[기저 (선형대수학)|기저]]이다. 이를 통해, 정수환 또는 임의의 [[가환환]]을 계수로 하는 [[반단순 리 대수]]의 형태를 정의할 수 있다.

== 정의 ==
[[표수 0]]의 [[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math> 위의 [[반단순 리 대수]] <math>\mathfrak g</math>의 [[근계]]
:<math>\Phi\subseteq \mathfrak h = \mathbb R^{\operatorname{rank}(\mathfrak g)}</math>
를 고르자. 그렇다면, 근계의 기저의 지표를 <math>i\in\{1,\dots,\operatorname{rank}(\mathfrak g)\}</math>라고 하면, 카르탕-베유 기저
:<math>[H_i,E_\alpha] = \alpha_i E_\alpha \qquad(\alpha\in \Phi)</math>
:<math>[H_i,H_j] = 0 </math>
:<math>[E_\alpha,E_\beta] = \begin{cases}
N_{\alpha,\beta}E_{\alpha+\beta} & \alpha+\beta \in \Phi \\
0 & 0 \ne \alpha+\beta\not\in\Phi \\
H_i & \alpha+\beta = 0
\end{cases}</math>
:<math>N_{\alpha,\beta}\in\mathbb Z</math>
를 잡을 수 있다.

그러나 이 기저에서의 구조 상수 <math>\alpha_i\in\mathbb R</math>는 일반적으로 [[정수]]가 아니다.

이제, <math>\Phi</math>의 [[단순근]]
:<math>\Sigma \subseteq \Phi</math>
:<math>|\Sigma| = \operatorname{rank}(\mathfrak g)</math>
을 고르고, 그 [[카르탕 행렬]]이
:<math>A_{ij} = (\alpha_i,\alpha^\vee_j) = \frac{2(\alpha_i,\alpha_j)}{(\alpha_j,\alpha_j)} \in \mathbb Z</math>
라고 하자. 이제, <math>V</math>의 다른 [[기저 (선형대수학)|기저]]
:<math>\tilde H_\sigma = (\sigma_i^\vee, H_i) \qquad(\sigma\in \Sigma)</math>
를 정의하자. 그렇다면,
:<math>[\tilde H_\sigma,\tilde H_{\sigma'}] = 0</math>
:<math>[\tilde H_\sigma,E_\alpha] = A_{ij}E_\alpha</math>
:<math>[E_\alpha,E_\beta] = \begin{cases}
N_{\alpha,\beta}E_{\alpha+\beta} & \alpha+\beta \in \Phi \\
0 & 0 \ne \alpha+\beta\not\in\Phi \\
\sum_{\sigma\in\Sigma}(\sigma,\beta)H_\sigma & \alpha+\beta = 0
\end{cases}</math>
가 되어, 모든 구조 상수가 정수가 된다. 이를 <math>\mathfrak g</math>의 '''슈발레 기저'''라고 한다.

이에 따라, 위 리 괄호로 정의되는 [[정수]] [[리 대수]] <math>\mathbb g(\mathbb Z)</math>를 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 임의의 [[가환환]] <math>K</math>에 대하여, <math>K</math>-[[리 대수]]
:<math>\mathfrak g(K) = \mathfrak g(\mathbb Z)\otimes_{\mathbb Z}K</math>
를 정의할 수 있다. 만약 <math>K=\mathbb R</math>일 경우, 이는 [[반단순 리 대수]]의 분할 형태({{llang|en|split form}})이다.

== 예 ==
<math>\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)</math>의 경우, 슈발레 기저는
:<math>H = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}</math>
:<math>E_+ = \begin{pmatrix}
0&1\\
0&0
\end{pmatrix}</math>
:<math>E_- = \begin{pmatrix}
0&0\\
1&0
\end{pmatrix}</math>
:<math>[E_+,E_-] = H</math>
:<math>[H,E_\pm] = \pm 2E_+</math>
이다.

즉, 이 경우 정수 계수를 취하면
:<math>\mathfrak{sl}(2;\mathbb Z) = \left\{
\begin{pmatrix}
a&b\\
c&-a
\end{pmatrix}\colon a,b,c\in\mathbb Z
\right\}</math>
를 얻는다.

== 역사 ==
[[클로드 슈발레]]가 [[유한 단순군]]을 연구하기 위하여 도입하였다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cartan-Weyl basis}}
* {{웹 인용 | url=https://terrytao.wordpress.com/2013/04/27/notes-on-the-classification-of-complex-lie-algebras/ | 날짜=2013-04-27 | 이름=Terry | 성=Tao | 저자링크=테런스 타오 | 제목=Notes on the classification of complex Lie algebras | 웹사이트=What’s New | 언어=en | 확인날짜=2017-12-23 | 보존url=https://web.archive.org/web/20171224214756/https://terrytao.wordpress.com/2013/04/27/notes-on-the-classification-of-complex-lie-algebras/ | 보존날짜=2017-12-24 | url-status=dead }}

[[분류:리 대수]]