슈발레-에일렌베르크 대수 문서 원본 보기

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[[추상대수학]]에서 '''슈발레-에일렌베르크 대수'''(Chevalley-Eilenberg代數, {{llang|en|Chevalley–Eilenberg algebra}})는 [[리 대수]]에 대하여 대응되는 [[미분 등급 대수]]이다. 이는 [[코쥘 쌍대성]]의 특수한 경우이다.

== 정의 ==
체 <math>K</math> 위의 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>가 주어졌다고 하자. 또한, <math>\mathfrak g</math>가 유한 차원 <math>K</math>-[[벡터 공간]]이라고 하자.

그렇다면, 그 [[쌍대 공간]] <math>\mathfrak g^*</math>으로 생성되는 자유 [[외대수]]
:<math>\bigwedge(\mathfrak g) = \bigoplus_{n\in\mathbb N} \bigwedge^n\mathfrak g^* = K \oplus \mathfrak g^* \oplus \mathfrak g^*\wedge\mathfrak g^* \oplus \dotsb</math>
위에 다음과 같은 [[미분 (대수학)|미분]]을 다음과 같이 [[곱 규칙]]을 통해 정의할 수 있다.
:<math>(\mathrm d\alpha)(x,y) = -\frac12\alpha([x,y]) \qquad(x,y\in \mathfrak g,\;\alpha\in\mathfrak g^*)</math>
이 연산이 멱영 연산인 것(<math>\mathrm d\circ\mathrm d=0</math>)은 [[야코비 항등식]]과 동치이다. 만약 지표를 쓴다면, <math>\mathfrak g</math>의 기저를 <math>(t_i)_{i\in I}</math>, <math>\mathfrak g^*</math>의 쌍대 기저를 <math>(t^i)^{i\in I}</math>라고 하고, 구조 상수가
:<math>[t_i,t_j] = f^i{}_{jk} t_i</math>
라고 할 때,
:<math>(\mathrm dt)^i = -\frac12 f^i{}_{jk}t^j\wedge t^k</math>
이다.

그렇다면, <math>\textstyle(\bigwedge\mathfrak g^*,\mathrm d)</math>는 <math>K</math> 위의 자연수 등급 [[미분 등급 대수]]를 이룬다. 이를 <math>\mathfrak g</math>의 '''슈발레-에일렌베르크 대수''' <math>\operatorname{CE}(\mathfrak g)</math>라고 한다.

보다 일반적으로, 이 구성은 임의의 [[L∞-대수]]에 대하여 일반화될 수 있다.

== 성질 ==
체 <math>K</math> 위의 유한 차원 리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 [[리 대수 코호몰로지]]는 <math>\mathfrak g</math>의 슈발레-에일렌베르크 대수의 (곱셈을 잊은) [[공사슬 복합체]]의 [[코호몰로지]]와 같다.
:<math>\operatorname H^\bullet(\mathfrak g) = \operatorname H^\bullet(\operatorname{CE}(\mathfrak g))</math>

== 예 ==
=== 아벨 리 대수 ===
체 <math>K</math> 위의 유한 차원 벡터 공간 <math>V</math>에 항상 0인 [[리 괄호]]를 주자. 그렇다면, 그 슈발레-에일렌베르크 대수는 자명한 미분 <math>\mathrm d=0</math>이 주어진 [[등급 벡터 공간]]인 [[외대수]]
:<math>\operatorname{CE}(V) = \textstyle\bigwedge V^*</math>
이다.

=== 𝔰𝔲(2) ===
[[파울리 행렬]]로 생성되는 실수 [[리 대수]]
:<math>\mathfrak{su}(2) = \operatorname{Span}_{\mathbb R}\{\sigma^1,\sigma^2,\sigma^3\}</math>
:<math>[\sigma^j,\sigma^k] = 2\epsilon_i{}^{jk}\sigma^i</math>
의 경우, 그 쌍대 기저
:<math>\sigma_1,\sigma^2,\sigma^3</math>
에 대하여 미분 연산은 다음과 같다.
:<math>\mathrm d\sigma_i = -\epsilon_i{}^{jk}\sigma_j\sigma_k</math>
[[유리수 호모토피 이론]]에 따라 이에 대응하는 공간은 3차원 [[초구]]인데, 이는 [[리 군]] [[SU(2)]]가 [[매끄러운 다양체]]로서 3차원 [[초구]]와 [[미분 동형]]이기 때문이다.

=== 드람 코호몰로지 ===
{{본문|드람 코호몰로지}}
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math>이 주어졌을 때, 그 위의 [[벡터장]] <math>\operatorname{Vect}(U)=\Gamma(\mathrm TM;U)</math>은 [[리 미분]]을 통해 [[리 대수]]의 [[층 (수학)|층]]을 이룬다.

이 경우, 층의 각 단면 공간에 대하여 슈발레-에일렌베르크 대수를 구성할 수 있으며, 이 역시 [[층 (수학)|층]]을 이룬다. 이 [[미분 등급 대수]]의 [[층 (수학)|층]]은 [[미분 형식]]의 층
:<math>\operatorname\Omega(-)</math>
이며, 그 [[코호몰로지]]는 [[드람 코호몰로지]]이다.

== 역사 ==
[[클로드 슈발레]]와 [[사무엘 에일렌베르크]]의 이름을 땄다.

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Chevalley-Eilenberg algebra}}

[[분류:리 대수]]