슈바르츠 보조정리 문서 원본 보기

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[[복소해석학]]에서 '''슈바르츠 보조정리'''(-補助定理, {{llang|en|Schwarz lemma}})는 [[푸앵카레 원판]] 위의 [[정칙 함수]]의 성질을 다루는 [[보조정리]]이다.

== 정의 ==
[[열린집합|열린]] [[단위 원판]] <math>\operatorname B(0,1)\subseteq\mathbb C</math> 위의 [[정칙 함수]] <math>f\colon\operatorname B(0,1)\to\operatorname B(0,1)</math>가 <math>f(0)=0</math>을 만족시킨다고 하자. '''슈바르츠 보조정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.<ref name="고석구">고석구, 《복소해석학개론》, 경문사, 2005, 275-276쪽.</ref>
* 임의의 <math>z\in\operatorname B(0,1)</math>에 대하여, <math>|f(z)|\le|z|</math>이다.
* <math>|f'(0)|\le 1</math>
* 다음 두 조건이 서로 동치이다.
** <math>|f(z)|=|z|</math>인 <math>0\ne z\in\operatorname B(0,1)</math>가 존재하거나, <math>|f'(0)|=1</math>이다.
** 임의의 <math>z\in\operatorname B(0,1)</math>에 대하여 <math>f(z)=az</math>이다. 여기서 <math>a\in\mathbb C</math>는 <math>|a|=1</math>인 상수이다. (즉, <math>f</math>는 <math>\operatorname B(0,1)</math> 위의 (원점을 보존하는) 쌍정칙 함수이다.)
이에 따라, 열린 단위 원판 위의 정칙 함수는 원점과의 거리를 증가시키지 않는다.

== 증명 ==
함수 <math>g\colon\operatorname B(0,1)\to\mathbb C</math>를 다음과 같이 정의하자.<ref name="고석구" />
:<math>g(z)=\begin{cases}
f(z)/z&z\ne 0\\
f'(0)&z=0
\end{cases}\qquad\forall z\in\operatorname B(0,1)</math>
그렇다면, <math>g</math>는 정칙 함수이다. [[최대 절댓값 원리]]에 의하여, 임의의 <math>z\in\operatorname B(0,1)</math> 및 <math>|z|<r<1</math>에 대하여,
:<math>|g(z)|\le\sup_{|w|=r}|g(w)|\le\frac 1r</math>
이며, 따라서
:<math>|g(z)|\le\lim_{r\to 1^-}\frac 1r=1</math>
이다. 즉, <math>z\ne 0</math>일 경우 <math>|f(z)|\le|z|</math>이며 (0에서도 자명하게 성립한다), 또한 <math>|f'(0)|\le 1</math>이다.

만약 <math>|f(z)|=|z|</math>인 <math>0\ne z\in\operatorname B(0,1)</math>가 존재하거나, <math>|f'(0)|=1</math>이라면, <math>|g|</math>는 <math>\operatorname B(0,1)</math>에서 최댓값 1을 가지므로, [[상수 함수]]이다. 즉, 임의의 <math>z\in\operatorname B(0,1)</math>에 대하여 <math>g(z)=a</math>인 <math>a\in\mathbb C</math>가 존재하며, <math>|a|=1</math>이다. 즉, 임의의 <math>z\in\operatorname B(0,1)</math>에 대하여, <math>f(z)=az</math>이다.

만약 임의의 <math>z\in\operatorname B(0,1)</math>에 대하여 <math>f(z)=az</math>이며, <math>a\in\mathbb C</math>가 <math>|a|=1</math>인 상수라면, 자명하게 임의의 <math>z\in\operatorname B(0,1)</math>에 대하여 <math>|f(z)|=|z|</math>이며, 또한 <math>|f'(0)|=1</math>이다.

== 따름정리 ==
=== 단위 원판 위의 쌍정칙 함수의 분류 ===
열린 단위 원판 <math>\operatorname B(0,1)\subseteq\mathbb C</math> 위의 [[쌍정칙 함수]] <math>f\colon\operatorname B(0,1)\to\operatorname B(0,1)</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>f</math>는 [[뫼비우스 변환]]이며, 다음과 같은 꼴이다.
:<math>f(z)=a\frac{z-z_0}{1-\overline{z_0}z}\qquad\forall z\in\operatorname B(0,1)</math>
여기서 <math>a,z_0\in\mathbb C</math>는 <math>|a|=1</math>이며 <math>|z_0|<1</math>인 상수이다.

=== 단위 원판 위의 쌍정칙 함수의 분류의 증명 ===
이는 슈바르츠 보조정리로부터 간단히 증명된다. 함수 <math>\varphi_{f(0)}\colon\operatorname B(0,1)\to\operatorname B(0,1)</math>를 다음과 같이 정의하자.
:<math>\varphi_{f(0)}(z)=\frac{z-f(0)}{1-\overline{f(0)}z}\qquad\forall z\in\operatorname B(0,1)</math>
이는 <math>\operatorname B(0,1)</math> 위의 쌍정칙 함수이며, <math>\varphi_{f(0)}(f(0))=0</math>이다. 따라서,
:<math>g=\varphi_{f(0)}\circ f\colon\operatorname B(0,1)\to\operatorname B(0,1)</math>
는 <math>\operatorname B(0,1)</math> 위의 쌍정칙 함수이며, <math>g(0)=0</math>이다. 슈바르츠 보조정리에 의하여,
:<math>1\le\frac 1{|(g^{-1})'(0)|}=|g'(0)|\le 1</math>
이므로, <math>|g'(0)|=1</math>이다. 따라서, 임의의 <math>z\in\operatorname B(0,1)</math>에 대하여 <math>g(z)=az</math>인 <math>a\in\mathbb C</math>가 존재하며, <math>|a|=1</math>이다. 즉, <math>z\in\operatorname B(0,1)</math>에 대하여,
:<math>f(z)=\varphi_{f(0)}^{-1}(g(z))=a\frac{z+f(0)a^{-1}}{1+\overline{f(0)}az}</math>
이다. 즉, <math>z_0=-f(0)a^{-1}</math>를 취하면 된다.

=== 슈바르츠-픽 보조정리 ===
열린 단위 원판 <math>\operatorname B(0,1)\subseteq\mathbb C</math> 위의 정칙 함수 <math>f\colon\operatorname B(0,1)\to\operatorname B(0,1)</math>가 주어졌다고 하자. '''슈바르츠-픽 보조정리'''(-補助定理, {{llang|en|Schwarz-Pick lemma}})에 따르면, 다음이 성립한다.
* 임의의 <math>z,w\in\operatorname B(0,1)</math>에 대하여,
*:<math>\left|\frac{f(z)-f(w)}{1-\overline{f(z)}f(w)}\right|\le\left|\frac{z-w}{1-\bar zw}\right|</math>
* 임의의 <math>z\in\operatorname B(0,1)</math>에 대하여,
*:<math>|f'(z)|\le\frac{1-|f(z)|^2}{1-|z|^2}</math>
* 다음 두 조건이 서로 동치이다.
** 첫 번째 부등식에서 등식이 성립하는 <math>z,w\in\operatorname B(0,1)</math>이 존재하거나, 두 번째 부등식에서 등식이 성립하는 <math>z\in\operatorname B(0,1)</math>이 존재한다.
** 임의의 <math>z\in\operatorname B(0,1)</math>에 대하여 <math>f(z)=a(z-z_0)/(1-\overline{z_0}z)</math>이다. 여기서 <math>a,z_0\in\mathbb C</math>는 <math>|a|=1</math>이고 <math>|z_0|<1</math>인 상수이다. (즉, <math>f</math>는 <math>\operatorname B(0,1)</math> 위의 [[쌍정칙 함수]]이다.)
이에 따라, 열린 단위 원판 위의 정칙 함수는 두 점 사이의 [[쌍곡 거리]]
:<math>d(z,w)=\tanh^{-1}\left|\frac{z-w}{1-\bar zw}\right|</math>
를 증가시키지 않는다.

=== 슈바르츠-픽 보조정리의 증명 ===
임의의 <math>w\in\operatorname B(0,1)</math>를 취하고, 다음과 같은 함수 <math>\varphi_w,\varphi_{f(w)}\colon\operatorname B(0,1)\to\operatorname B(0,1)</math>을 정의하자.
:<math>\varphi_w(z)=\frac{z-w}{1-\bar wz}</math>
:<math>\varphi_{f(w)}(z)=\frac{z-f(w)}{1-\overline{f(w)}z}\qquad\forall z\in\operatorname B(0,1)</math>
이들은 <math>\operatorname B(0,1)</math> 위의 [[쌍정칙 함수]]이며, <math>\varphi_w(w)=\varphi_{f(w)}(f(w))=0</math>이므로,
:<math>g=\varphi_{f(w)}\circ f\circ\varphi_w^{-1}\colon\operatorname B(0,1)\to\operatorname B(0,1)</math>
는 정칙 함수이며, <math>g(0)=0</math>이다. 슈바르츠 보조정리에 의하여, 임의의 <math>z\in\operatorname B(0,1)</math>에 대하여,
:<math>|g(\varphi_w(z))|\le|\varphi_w(z)|</math>
:<math>|g'(0)|\le 1</math>
이다. 이는 각각 첫 번째 및 두 번째 부등식과 같다. 첫 번째 부등식에서 등식이 성립하는 <math>z,w\in\operatorname B(0,1)</math>이 존재하거나, 두 번째 부등식에서 등식이 성립하는 <math>z\in\operatorname B(0,1)</math>이 존재하는 것은
:<math>g=\varphi_{f(w)}\circ f\circ\varphi_w^{-1}</math>
가 <math>\operatorname B(0,1)</math> 위의 (원점을 보존하는) 쌍정칙 함수인 것과 동치이며, 이는 <math>f</math>가 쌍정칙 함수인 것과 동치이다.

== 역사 ==
[[독일]]의 [[수학자]] [[헤르만 아만두스 슈바르츠]]의 이름을 땄다.

== 같이 보기 ==
* [[보렐-카라테오도리 정리]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Schwarz lemma}}
* {{매스월드|id=SchwarzsLemma|title=Schwarz's lemma}}
* {{매스월드|id=Schwarz-PickLemma|title=Schwarz-Pick lemma}}

[[분류:리만 곡면]]
[[분류:보조정리]]
[[분류:복소해석학 정리]]