슈바르츠 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''슈바르츠 공간'''(Schwartz空間, {{llang|en|Schwartz space}})은 [[매끄러운 함수|매끄럽고]], 그 어느 [[다항식|다항함수]]보다 빨리 감소하는 함수로 이루어진 [[프레셰 공간]]이다. [[푸리에 변환]]에 대하여 닫혀 있다. [[조절 분포]]를 정의하는 데 쓰인다.

== 정의 ==
편의상 [[다중지표]]를 사용하자. <math>n</math>차원 공간에서, '''[[다중지표]]'''란 <math>\mathbb N^n</math>의 원소다. 즉, <math>n</math>개의 음이 아닌 정수의 [[순서쌍]]이다. 다중지표 <math>\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)</math>가 주어지면, 다음을 정의하자. 임의의 <math>x\in\mathbb R^n</math>에 대해,
:<math>x^\alpha=x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_n^{\alpha_n}</math>.
또한,
:<math>\partial^\alpha=\frac{\partial^{\alpha_1}}{\partial x_1^{\alpha_1}}\frac{\partial^{\alpha_2}}{\partial x_2^{\alpha_2}}\cdots\frac{\partial^{\alpha_n}}{\partial x_n^{\alpha_n}}</math>.
(편미분 연산은 가환한다고 가정한다.)

임의의 [[매끄러운 함수]] <math>f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R</math>에 대하여 다음과 같은 [[노름]]을 정의하자. 임의의 다중지표 <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math>에 대하여,
:<math>\lVert f\rVert_{\alpha,\beta}=\sup_{x\in\mathbb R^n}|x^\alpha\partial^\beta f(x)|</math>.

'''슈바르츠 함수'''(Schwartz函數, {{llang|en|Schwartz function}})란 [[매끄러운 함수|매끄럽고]] 모든 <math>(\alpha,\beta)</math>-노름이 유한한 함수다. '''슈바르츠 공간''' <math>\mathcal S(\mathbb R^n)</math>은 슈바르츠 함수의 집합이다. 슈바르츠 공간은 자명하게 [[벡터 공간]]을 이루며, 또한 곱셈에 대해 닫혀 있다. 이에 따라, [[푸리에 변환]]은 슈바르츠 공간에 [[유니타리 연산자]]임을 보일 수 있다. 즉, 푸리에 변환은 슈바르츠 공간의 선형 [[자기 동형]]이다.

<math>(\alpha,\beta)</math>-노름을 통하여 슈바르츠 공간에 [[위상 공간 (수학)|위상]]을 정의할 수 있다. 즉 함수열<math>f_i\in\mathcal S(\mathbb R^n)</math>가 <math>f\in\mathcal S(\mathbb R^n)</math>으로 수렴하려면, 모든 <math>(\alpha,\beta)</math>에 대하여
:<math>\lim_{i\to\infty}\lVert f_i-f\rVert_{\alpha,\beta}=0</math>
이어야 한다. 자명하게, 슈바르츠 공간은 [[프레셰 공간]]을 이룬다.

== 역사 ==
[[로랑 슈바르츠]]가 [[분포 (해석학)|분포]]의 푸리에 변환을 정의하기 위하여 도입하였다.

== 같이 보기 ==
* [[범프 함수]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=SchwartzFunction|title=Schwartz function}}
* {{매스월드|id=SchwartzSpace|title=Schwartz space}}

[[분류:위상 벡터 공간]]
[[분류:푸리에 해석학]]