슈뢰딩거-HJW 정리 문서 원본 보기

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양자 정보 이론 및 [[양자광학]]에서 '''슈뢰딩거-HJW 정리'''(Schrödinger–HJW theorem)는 순수 양자 상태의 [[앙상블 (물리학)|앙상블]]로서 [[양자역학|양자계]]의 섞인 상태를 실현하고 [[밀도 행렬|밀도 연산자]]의 해당 순화 사이의 관계에 대한 결과이다. 이 정리는 물리학자 [[에르빈 슈뢰딩거]]와<ref>{{저널 인용|제목=Probability relations between separated systems|저널=[[Proceedings of the Cambridge Philosophical Society]]|성=Schrödinger|이름=Erwin|연도=1936|권=32|호=3|쪽=446–452|bibcode=1936PCPS...32..446S|doi=10.1017/S0305004100019137}}</ref>윌리엄 우터스 및 수학자 레인 휴스턴, 리차드 조자의 이름을 따서 명명되었다.<ref>{{저널 인용|제목=A complete classification of quantum ensembles having a given density matrix|저널=[[Physics Letters A]]|성=Hughston|이름=Lane P.|성2=Jozsa|이름2=Richard|날짜=November 1993|권=183|호=1|쪽=14–18|bibcode=1993PhLA..183...14H|doi=10.1016/0375-9601(93)90880-9|issn=0375-9601|성3=Wootters|이름3=William K.}}</ref> 이 결과는 또한 니콜라스 기신<ref>Gisin, N. (1989). “Stochastic quantum dynamics and relativity,” Helvetica Physica Acta 62, 363-
371.</ref>과 Nicolas Hadjisavvas(부분적이긴 하지만)에 의해 독립적으로 발견되었으며, [[에드윈 톰슨 제인스|에드윈 제인스]]<ref>{{저널 인용|제목=Properties of mixtures on non-orthogonal states|저널=[[Letters in Mathematical Physics]]|성=Hadjisavvas|이름=Nicolas|연도=1981|권=5|호=4|쪽=327–332|bibcode=1981LMaPh...5..327H|doi=10.1007/BF00401481}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Information theory and statistical mechanics. II|저널=[[Physical Review]]|성=Jaynes|이름=E. T.|연도=1957|권=108|쪽=171–190|bibcode=1957PhRv..108..171J|doi=10.1103/PhysRev.108.171}}</ref>의 작업을 기반으로 구축되었으며, 그 중 상당 부분도 마찬가지로 [[데이비드 머민]]에 의해 독립적으로 발견되었다.<ref>{{서적 인용|제목=Coming of Age with Quantum Information: Notes on a Paulian Idea|성=Fuchs|이름=Christopher A.|연도=2011|출판사=[[Cambridge University Press]]|위치=Cambridge|isbn=978-0-521-19926-1|oclc=535491156}}</ref> 복잡한 역사로 인해 '''GHJW 정리''',<ref>{{저널 인용|제목=What Do These Correlations Know about Reality? Nonlocality and the Absurd|저널=[[Foundations of Physics]]|성=Mermin|이름=N. David|저자링크=N. David Mermin|날짜=1999|권=29|호=4|쪽=571–587|arxiv=quant-ph/9807055|bibcode=1998quant.ph..7055M|doi=10.1023/A:1018864225930}}</ref> '''HJW 정리''', '''순화 정리''' 등 다양한 이름으로도 알려져 있다.

== 섞인 양자 상태의 순화 ==
<math>\mathcal H_S</math>이 유한차원 [[복소수|복소]] [[힐베르트 공간]]이라 하자. 다음 형식으로 분해되는<math display="block">\rho=\sum_i p_i|\phi_i\rangle\!\langle\phi_i|</math><math>\mathcal H_S</math>에서 정의된 일반적인(섞인 상태일 수 있는) 양자 상태 <math>\rho</math>를 고려한다. 여기서 <math>|\phi_i\rangle\in\mathcal H_S</math>는 (반드시 상호 직교할 필요는 없는) 상태들과 계수들은 <math display="inline">\sum_i p_i=1</math>이고 <math>p_i\ge0</math>이다. 임의의 양자 상태는 적당한 <math>\{|\phi_i\rangle\}_i</math>과 <math>\{p_i\}_i</math>에 대해 이러한 방식으로 작성될 수 있다.<ref>{{인용|last=Nielsen|first=Michael A.|title=The Schmidt decomposition and purifications|url=https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667.006|work=Quantum Computation and Quantum Information|pages=110–111|place=Cambridge|publisher=Cambridge University Press|access-date=|last2=Chuang|first2=Isaac L.}}</ref> 임의의 그러한 <math>\rho</math>는 순화될 수 있다. 즉, 더 큰 힐베르트 공간에서 정의된 순수 상태의 부분 대각합으로 표현''된다''. 보다 정확하게는 (유한차원) 힐베르트 공간 <math>\mathcal H_A</math>과 <math>\rho = \operatorname{Tr}_A(|\Psi_{SA}\rangle\!\langle\Psi_{SA}|)</math>인 순수 상태 <math>|\Psi_{SA}\rangle\in \mathcal H_S\otimes\mathcal H_A</math>을 찾는 것이 항상 가능하다.  더욱이, 이것을 만족시키는 상태 <math>|\Psi_{SA}\rangle</math>들은 모두 그리고 오직 다음 형식의 것들뿐이다.<math display="block">|\Psi_{SA}\rangle=\sum_i\sqrt{p_i}|\phi_i\rangle \otimes |a_i\rangle </math>여기서 <math>\{|a_i\rangle\}_i\subset\mathcal H_A</math>는 직교 기저이다. 이 상태 <math>|\Psi_{SA}\rangle</math>는 '<math>\rho</math>의 순화'라고 부른다. 보조 공간과 기저를 임의로 선택할 수 있기 때문에 섞인 상태의 순화는 유일하지 않다. 사실, 주어진 섞인 상태에 대해 무한히 많은 순화가 있다.<ref>{{서적 인용|url=https://www.cambridge.org/core/books/theory-of-quantum-information/AE4AA5638F808D2CFEB070C55431D897|제목=The Theory of Quantum Information|성=Watrous|이름=John|날짜=2018|출판사=Cambridge University Press|위치=Cambridge|doi=10.1017/9781316848142|isbn=978-1-107-18056-7}}</ref> 한 쌍의 순화 <math>|\Psi\rangle, |\Psi'\rangle\in\mathcal H_S\otimes\mathcal H_A</math>가 주어지면 그들 모두는 위에 주어진 형태의 분해를 인정하기 때문이다. 항상 다음과 같은 유니터리 연산자 <math>U:\mathcal H_A\to \mathcal H_A</math>가 있다. <math display="block">|\Psi'\rangle = (I\otimes U) |\Psi\rangle </math>

== 정리 ==
순수 상태의 앙상블로서 두 가지 다른 구현 <math display="inline">\rho = \sum_i p_i |\phi_i\rangle\langle\phi_i|</math>, <math display="inline">\rho = \sum_j q_j |\varphi_j\rangle\langle\varphi_j|</math>과 함께섞인 양자 상태 <math>\rho</math>를 고려하자. 여기서 <math>|\phi_i\rangle</math>들과  <math>|\varphi_j\rangle</math>들은 서로 직교한다고 가정되지 않는다. 다음과 같이 섞인 상태 <math>\rho</math>의 두 가지 해당 순화가 있을 것이다.

* 순화 1: <math>|\Psi_{SA}^1\rangle=\sum_i\sqrt{p_i}|\phi_i\rangle \otimes |a_i\rangle</math> ;
* 순화 2: <math>|\Psi_{SA}^2\rangle=\sum_j\sqrt{q_j}|\varphi_j\rangle \otimes |b_j\rangle</math> .

집합 <math>\{|a_i\rangle\}</math>과 <math>\{|b_j\rangle\}</math>는 각 보조 공간의 정규 직교 기저이다. 이 두 가지 순화는 보조 공간에 작용하는 유니터리 변환, 즉 <math>|\Psi^1_{SA}\rangle = (I\otimes U_A)|\Psi^2_{SA}\rangle</math>인 유니터리 행렬 <math>U_A</math>이 존재한다는 점에서만 다르다.<ref>{{저널 인용|제목=The Schrödinger-HJW Theorem|저널=[[Foundations of Physics Letters]]|성=Kirkpatrick|이름=K. A.|날짜=February 2006|권=19|호=1|쪽=95–102|arxiv=quant-ph/0305068|bibcode=2006FoPhL..19...95K|doi=10.1007/s10702-006-1852-1|issn=0894-9875}}</ref> 그러므로, <math display="inline">|\Psi_{SA}^1\rangle = \sum_j \sqrt{q_j}|\varphi_j\rangle\otimes U_A|b_j\rangle</math>이다. 이는 순화 시스템에서 서로 다른 측정을 수행함으로써 섞인 상태의 다양한 앙상블을 실현할 수 있음을 의미한다.

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:양자 정보 이론]]