슈라이어 정리 문서 원본 보기

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[[군론]]에서 '''슈라이어 정리'''({{llang|en|Schreier theorem}})는 임의의 [[군 (수학)|군]]의 두 [[정규 부분군]]의 열을 서로 ‘동치’가 되도록 세분할 수 있다는 정리이다.

== 정의 ==
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 [[정규 부분군]]들의 열
:<math>1=G_0\vartriangleleft G_1\vartriangleleft G_2\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft G_m=G</math>
:<math>1=H_0\vartriangleleft H_1\vartriangleleft H_2\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft H_n=G</math>
이 주어졌다고 하자. 만약 전자에 유한 개의 [[부분군]]을 추가하여 후자를 얻을 수 있다면, 후자가 전자의 '''세분'''({{llang|en|refinement}})이라고 한다. 만약 <math>m=n</math>이며, 모든 <math>i=1,\dots,n</math>에 대하여 [[몫군]] <math>G_i/G_{i-1}</math>와 <math>H_{\sigma(i)}/H_{\sigma(i)-1}</math>이 [[동형]]이 되는, <math>i=1,\dots,n</math>의 [[순열]] <math>\sigma</math>가 존재한다면, 두 열이 서로 '''동치'''({{llang|en|equivalent}})라고 한다.

'''슈라이어 정리'''에 따르면, [[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 두 [[정규 부분군]]의 열은 서로 동치인 세분을 갖는다.<ref name="Lang">{{서적 인용
|성=Lang
|이름=Serge
|저자링크=서지 랭
|제목=Algebra
|언어=en
|판=개정 3
|총서=Graduate Texts in Mathematics
|권=211
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2002
|issn=0072-5285
|isbn=978-1-4612-6551-1
|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0
|zbl=0984.00001
|mr=1878556
}}</ref>{{rp|22, §I.3, Theorem 3.4}}

{{증명|제목=슈라이어 정리의 증명}}
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 두 [[정규 부분군]]의 열
:<math>1=G_0\vartriangleleft G_1\vartriangleleft G_2\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft G_m=G</math>
:<math>1=H_0\vartriangleleft H_1\vartriangleleft H_2\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft H_n=G</math>
이 주어졌다고 하자.
:<math>G_{ij}=G_{i-1}(H_j\cap G_i)\qquad(i=1,\dots,m,\;j=0,\dots,n)</math>
:<math>H_{ij}=H_{j-1}(G_i\cap H_j)\qquad(i=0,\dots,m,\;j=1,\dots,n)</math>
라고 하자. 그렇다면, [[나비 보조정리]]에 따라 각 <math>i=1,\dots,m</math> 및 <math>j=1,\dots,n</math>에 대하여
:<math>G_{i,j-1}\vartriangleleft G_{ij}</math>
:<math>H_{i-1,j}\vartriangleleft H_{ij}</math>
이며, 다음과 같은 (<math>mn</math>쌍의) [[몫군]]의 [[동형]]이 성립한다.
:<math>G_{ij}/G_{i,j-1}\cong H_{ij}/H_{i-1,j}</math>
따라서, 두 열의 세분
:<math>1=G_0=G_{10}\vartriangleleft G_{11}\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft G_{1n}=G_1=G_{20}\vartriangleleft G_{21}\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft G_{mn}=G</math>
:<math>1=H_0=H_{01}\vartriangleleft G_{11}\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft G_{m1}=H_1=H_{02}\vartriangleleft H_{12}\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft H_{mn}=G</math>
은 서로 동치이다.
{{증명 끝}}

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

[[분류:군론]]