순환군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[군론]]에서 '''순환군'''(循環群, {{llang|en|cyclic group}})은 한 원소로 생성될 수 있는 [[군 (수학)|군]]이다. 즉, 순환군의 모든 원소는 어떤 고정된 원소의 거듭제곱이다. (군의 연산이 곱셈이 아닌 덧셈일 경우, 모든 원소는 고정 원소의 정수배이다.)

== 정의 ==
[[군 (수학)|군]]의 원소 <math>g\in G</math>가 생성하는 '''순환군''' <math>\langle g\rangle</math>은 다음과 같다.
:<math>\langle g\rangle=\{g^n\colon n\in\mathbb Z\}=\{\dots,g^{-2},g^{-1},1,g,g^2,\dots\}\le G</math>

=== 차수 ===
군 <math>G</math>의 '''차수'''(次數, {{llang|en|order}},ord) 또는 '''위수'''(位數)는 집합으로서의 [[집합의 크기|크기]] <math>|G|</math>를 뜻한다.

군의 원소 <math>g\in G</math>의 '''차수''' <math>\operatorname{ord}g</math>는 그 원소가 생성하는 순환군의 차수이다. 즉, 거듭제곱하여 [[항등원]]이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.
:<math>\operatorname{ord}g=|\langle g\rangle|=
\begin{cases}
\infty&\not\exists n\in\mathbb Z^+\colon g^n=1\\
\min\{n\in\mathbb Z^+\colon g^n=1\}&\exists n\in\mathbb Z^+\colon g^n=1
\end{cases}
\in\mathbb Z^+\cup\{\infty\}</math>

=== 지수 ===
군 <math>G</math>의 '''지수'''(指數, {{llang|en|exponent}}) <math>\exp G</math>는 모든 원소를 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.
:<math>\exp G=
\begin{cases}
\infty&\not\exists n\in\mathbb Z^+\forall g\in G\colon g^n=1\\
\operatorname{lcm}_{g\in G}\operatorname{ord}g=
\min\{n\in\mathbb Z^+\colon\forall g\in G\colon g^n=1\}&
\exists n\in\mathbb Z^+\forall g\in G\colon g^n=1
\end{cases}
\in\mathbb Z^+\cup\{\infty\}</math>

== 분류 ==
순환군은 [[정수군]] 또는 그 [[몫군]]과 [[동형]]이다. [[무한 집합|무한]] 순환군은 정수군, [[유한 집합|유한]] 순환군은 정수군의 유한 몫군과 동형이다.
:<math>\langle g\rangle\cong
\begin{cases}
Z&\operatorname{ord}g=\infty\\
Z_{\operatorname{ord}g}&\operatorname{ord}g<\infty
\end{cases}
</math>

== 성질 ==
=== 약수 관계 ===
군의 유한 차수 원소 <math>g\in G</math> 및 정수 <math>n\in\mathbb Z</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>g^n=1</math>
* <math>\operatorname{ord}g\mid n</math>
{{증명}}
* '''(⇐)''' <math>\operatorname{ord}g\mid n</math>이라면, <math>n=n'\operatorname{ord}g</math>인 <math>n'\in\mathbb Z</math>가 존재하므로, <math>g^n=(g^{\operatorname{ord}g})^{n'}=1^{n'}=1</math>이다.
* '''(⇒)''' <math>g^n=1</math>이라면, <math>n</math>과 <math>\operatorname{ord}g</math>의 나머지 있는 나눗셈을 <math>n=q\operatorname{ord}g+r</math>라고 하면, <math>g^r=g^ng^{-\operatorname{ord}g}=1</math>이므로, 차수의 정의에 따라 <math>r=0</math>이다. 즉, <math>\operatorname{ord}g\mid n</math>이다.
{{증명 끝}}

지수가 유한한 군 <math>G</math> 및 정수 <math>n\in\mathbb Z</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 임의의 <math>g\in\mathbb G</math>에 대하여, <math>g^n=1</math>
* <math>\exp G\mid n</math>
{{증명}}
* '''(⇐)''' <math>\exp G\mid n</math>이라면, <math>n=n'\exp G</math>인 <math>n'\in\mathbb Z</math>가 존재하므로, 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여, <math>g^n=(g^{\exp G})^{n'}=1^{n'}=1</math>이다.
* '''(⇒)''' 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여 <math>g^n=1</math>이라면, 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여 <math>\operatorname{ord}g\mid n</math>이므로, 지수의 정의에 따라 <math>\exp G\mid n</math>이다.
{{증명 끝}}

[[유한군]] <math>G</math>에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.
:<math>\operatorname{ord}g\mid\exp G\mid|G|</math>
군의 유한 차수 원소 <math>g\in G</math> 및 [[정규 부분군]] <math>N\triangleleft G</math>에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.
:<math>\operatorname{ord}(gN)\mid\operatorname{ord}g</math>
{{증명}}
:<math>(gN)^{\operatorname{ord}g}=g^{\operatorname{ord}g}N=N</math>
{{증명 끝}}

=== 항등식 ===
군의 유한 차수 원소 <math>g\in G</math> 및 정수 <math>n\in\mathbb Z</math>에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
:<math>\operatorname{ord}g^n=\frac{\operatorname{ord}g}{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}</math>
{{증명}}
다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.
* <math>\operatorname{ord}g^n\mid\frac{\operatorname{ord}g}{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}</math>
** 증명: <math>(g^n)^\frac{\operatorname{ord}g}{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}=(g^{\operatorname{ord}g})^\frac n{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}=1^\frac n{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}=1</math>
* <math>\frac{\operatorname{ord}g}{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}\mid\operatorname{ord}g^n</math>
** 증명: <math>1=(g^n)^{\operatorname{ord}g^n}=g^{n\operatorname{ord}g^n}</math>이므로, <math>\operatorname{ord}g\mid n\operatorname{ord}g^n</math>이므로, <math>\frac{\operatorname{ord}g}{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}\mid\frac n{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}\operatorname{ord}g^n</math>이므로, <math>\frac{\operatorname{ord}g}{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}\mid\operatorname{ord}g^n</math>
{{증명 끝}}

군의 원소 <math>g,h\in G</math>가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
* <math>gh=hg</math>
* <math>\gcd\{\operatorname{ord}g,\operatorname{ord}h\}=1</math>
그렇다면, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
:<math>\operatorname{ord}(gh)=\operatorname{ord}g\operatorname{ord}h</math>
{{증명}}
다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.
* <math>\operatorname{ord}(gh)\mid\operatorname{ord}g\operatorname{ord}h</math>
** 증명: <math>(gh)^{\operatorname{ord}(gh)}=(g^{\operatorname{ord}g})^{\operatorname{ord}h}(h^{\operatorname{ord}h})^{\operatorname{ord}g}=1^{\operatorname{ord}h}1^{\operatorname{ord}g}=1</math>
* <math>\operatorname{ord}g\operatorname{ord}h\mid\operatorname{ord}(gh)</math>
** 증명: <math>1=(gh)^{\operatorname{ord}g\operatorname{ord}(gh)}=h^{\operatorname{ord}g\operatorname{ord}(gh)}</math>이므로, <math>\operatorname{ord}h\mid\operatorname{ord}g\operatorname{ord}(gh)</math>이므로, <math>\operatorname{ord}h\mid\operatorname{ord}(gh)</math>이다. 비슷하게, <math>\operatorname{ord}g\mid\operatorname{ord}h\operatorname{ord}(gh)</math>이다. 따라서, <math>\operatorname{ord}g\operatorname{ord}h\mid\operatorname{ord}(gh)</math>이다.
{{증명 끝}}

반대로, 군의 원소 <math>x\in G</math>의 차수를 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다고 하자.
:<math>\operatorname{ord}x=mn\qquad(\gcd\{m,n\}=1)</math>
그렇다면, 다음 조건들을 만족시키는 <math>g,h\in G</math>가 존재한다.
* <math>x=gh=hg</math>
* <math>\operatorname{ord}g=m</math>
* <math>\operatorname{ord}h=n</math>
{{증명}}
[[베주 항등식]]에 따라, 다음 조건을 만족시키는 <math>u,v\in\mathbb Z</math>가 존재한다.
:<math>1=mu+nv</math>
조건을 만족시키는 <math>g,h\in G</math>를 다음과 같이 취할 수 있다.
:<math>g=x^{nv}</math>
:<math>g=x^{mu}</math>
다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.
* <math>\operatorname{ord}g\mid m</math>, <math>\operatorname{ord}h\mid n</math>
** 증명: <math>g^m=(x^{nv})^m=(x^{mn})^v=1^v=1</math>
* <math>m\mid\operatorname{ord}g</math>, <math>n\mid\operatorname{ord}h</math>
** 증명: <math>mn=\operatorname{ord}(gh)=\operatorname{ord}g\operatorname{ord}h</math>
{{증명 끝}}

[[유한군|유한]] [[아벨 군]] <math>G</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 <math>g\in G</math>가 존재한다.
* 임의의 <math>h\in G</math>에 대하여, <math>\operatorname{ord}h\mid\operatorname{ord}g</math>
즉, 다음이 성립한다.
:<math>\max_{g\in G}\operatorname{ord}g=\exp G</math>
{{증명}}
최대 차수 원소 <math>g\in G</math>를 취하자. 임의의 <math>h\in G</math>에 대하여,
:<math>\operatorname{ord}h\nmid\operatorname{ord}g</math>
라고 가정하자. 그렇다면,
:<math>v_p(\operatorname{ord}g)<v_p(\operatorname{ord}h)</math>
를 만족시키는 소인수 <math>p\mid\operatorname{ord}h</math>가 존재한다. 이 경우,
:<math>\operatorname{ord}g^{p^{v_p(\operatorname{ord}g)}}=\frac{\operatorname{ord}g}{p^{v_p(\operatorname{ord}g)}}</math>
:<math>\operatorname{ord}h^\frac{\operatorname{ord}h}{p^{v_p(\operatorname{ord}h)}}=p^{v_p(\operatorname{ord}h)}</math>
이므로,
:<math>\operatorname{ord}\left(g^{p^{v_p(\operatorname{ord}g)}}h^\frac{\operatorname{ord}h}{p^{v_p(\operatorname{ord}h)}}\right)=p^{v_p(\operatorname{ord}h)-v_p(\operatorname{ord}g)}\operatorname{ord}g>\operatorname{ord}g</math>
이며, 이는 모순이다.
{{증명 끝}}

=== 순환군 ===
모든 순환군은 [[유한 생성 아벨 군]]이다.

군 <math>G</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>|G|</math>는 [[소수 (수론)|소수]]이다.
* <math>G</math>는 순환 [[단순군]]이다.
* <math>G</math>는 [[아벨 군|아벨]] 단순군이다.
{{증명}}
* '''소수 크기의 군 ⇒ 순환 단순군:''' <math>|G|</math>가 소수라면, [[라그랑주 정리 (군론)|라그랑주 정리]]에 따라, 그 부분군은 <math>\{1_G\},G</math>밖에 없으므로, <math>G</math>는 단순군이다. <math>1_G\ne g\in G</math>를 취하자. 그렇다면, <math>|\langle g\rangle|=p</math>이므로, <math>\langle g\rangle=G</math>이다. 즉, <math>G</math>는 순환군이다.
* '''순환 단순군 ⇒ 아벨 단순군:''' 모든 순환군은 아벨 군이므로 성립한다.
* '''아벨 단순군 ⇒ 소수 크기의 군:''' <math>|G|</math>가 소수가 아니라고 가정하자. <math>G</math>가 순환군인 경우, 자명하지 않은 (정규) 부분군이 존재하므로, <math>G</math>는 단순군이 아니며, 이는 모순이다. <math>G</math>가 순환군이 아닌 경우, 임의의 <math>1_G\ne g\in G</math>를 취하자. 그렇다면, <math>\langle g\rangle\triangleleft G</math>이며, <math>\langle g\rangle\ne1,G</math>이므로, <math>G</math>는 단순군이 아니며, 이 역시 모순이다.
{{증명 끝}}

순환군의 [[부분군]] 역시 순환군이다. 구체적으로, <math>\langle g\rangle</math>의 부분군은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
:<math>\langle g^n\rangle\qquad
\begin{cases}
n\in\mathbb Z&\operatorname{ord}g=\infty\\
n\mid\operatorname{ord}g&\operatorname{ord}g<\infty
\end{cases}
</math>
순환군의 [[몫군]] 역시 순환군이다.

[[유한군]] <math>G</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>G</math>는 순환군이다.
* 임의의, <math>|G|</math>의 양의 약수 <math>d</math>에 대하여, <math>\{H\le G\colon|H|=d\}\le1</math>이다.
* 임의의 <math>m\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, <math>|\{x\in G\colon x^m=1\}|\le m</math>이다.
{{증명}}
* '''(1) ⇒ (2):''' 순환군 <math>\langle g\rangle</math>의, 크기 <math>d</math>의 부분군은 <math>\langle g^\frac{\operatorname{ord}g}d\rangle</math>가 유일하다.
* '''(1) ⇐ (2):''' 임의의 <math>0<d\mid|G|</math>에 대하여, <math>|\{g\in G\colon\operatorname{ord}g=d\}|=\phi(d)>0</math>임을 증명하자. (여기서 <math>\phi</math>는 [[오일러 피 함수]]이다.) 그렇다면, 특히 <math>\operatorname{ord}g=|G|</math>인 <math>g\in G</math>가 존재하므로, <math>G</math>는 순환군이다.
** 증명: <math>\operatorname{ord}g=\operatorname{ord}h=d</math>인 <math>g,h\in G</math>를 취하자. 그렇다면, (2)에 의하여 <math>\langle g\rangle=\langle h\rangle</math>이므로, <math>h=g^n</math>인 <math>n\in\mathbb Z</math>가 존재한다. 차수 공식을 사용하면 <math>\gcd\{n,d\}=1</math>를 얻는다. 즉, 구하려는 수는 0이거나 <math>\phi(d)</math>이다. 또한, <math>n=\sum_{d\mid|G|}\phi(d)</math>이므로, 구하려는 수는 <math>\phi(d)</math>이다. 
* '''(1) ⇔ (3):''': [[쉴로브 정리]]를 사용하여 증명할 수 있다.
{{증명 끝}}

순환군 <math>Z_m,Z_n</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* <math>Z_m\oplus Z_n\cong Z_{mn}</math>
* <math>\gcd\{m,n\}=1</math>
{{증명}}
* '''(⇐)''' <math>\operatorname{ord}(1\oplus1)=\operatorname{ord}(1\oplus0)\operatorname{ord}(0\oplus1)=mn</math>
* '''(⇒)''' 만약 <math>\gcd\{m,n\}\ne1</math>이라면, <math>|\{a\oplus b\in Z_m\oplus Z_n\colon(a\oplus b)^\frac{mn}{\gcd\{m,n\}}=1\}|=|Z_m\oplus Z_n|=mn>\frac{mn}{\gcd\{m,n\}}</math>이므로, <math>Z_m\oplus Z_n\not\cong Z_{mn}</math>이다.
{{증명 끝}}

[[코시 정리 (군론)|코시 정리]]에 따르면, 임의의 소인수 <math>p\mid|G|</math>에 대하여, <math>\operatorname{ord}g_p=p</math>인 <math>g_p\in G</math>가 존재한다.

== 응용 ==
=== 유한 아벨 군의 분해 ===
{{본문|아벨 군}}
유한 아벨 군의 분해에 응용되는 한 가지 핵심적인 보조정리는 다음과 같다. <math>G</math>가 아벨 유한 [[p-군]], <math>a\in G</math>가 그 최대 차수 원소라고 하자. 그렇다면, <math>G=\langle a\rangle\times B</math>인 <math>B\le G</math>가 존재한다.
{{증명}}
[[귀류법]]을 사용하여, <math>G</math>가 최소 크기 반례라고 하자. 그렇다면, <math>|G|\ge2</math>이며, <math>G\ne\langle a\rangle</math>이므로, 최소 차수 원소 <math>b\in G\setminus\langle a\rangle</math>를 취할 수 있다. 이제 다음과 같은 일련의 명제를 증명하기만 하면 된다.
* <math>\operatorname{ord}b=p</math>
** 증명: 그렇지 않다면, <math>\operatorname{ord}b=p^e</math> (<math>e\ge2</math>)이며, <math>\operatorname{ord}b^p=p^{e-1}</math>이므로, <math>b^p\in\langle a\rangle</math>이다. <math>b^p=a^n</math> (<math>n\in\mathbb Z</math>)이라고 하자. 그렇다면, <math>\frac{\operatorname{ord}a}{\gcd\{\operatorname{ord}a,n\}}=\operatorname{ord}b^p<\operatorname{ord}b\le\operatorname{ord}a</math>이므로, <math>p\mid n</math>이다. 따라서, <math>(ba^{-\frac np})^p=1_G</math>이며, <math>ba^{-\frac np}\in G\setminus\langle a\rangle</math>인데, 이는 <math>b</math>의 선택과 모순이다.
* <math>\langle a\rangle\cap\langle b\rangle=1</math>
** 증명: <math>1_G\ne a^m=b^n\in\langle a\rangle\cap\langle b\rangle</math> (<math>0\le n<p</math>)라고 하자. 그렇다면, <math>1=nu+pv</math>인 <math>u,v\in\mathbb Z</math>가 존재하며, <math>b=b^{nu}b^{pv}=a^{mu}\in\langle a\rangle</math>이다. 이는 모순이다.
* <math>a\langle b\rangle\in G/\langle b\rangle</math>은 최대 차수 원소이다.
** 증명: 우선 <math>\operatorname{ord}(a\langle b\rangle)\mid\operatorname{ord}a</math>이다. <math>\operatorname{ord}(a\langle b\rangle)<\operatorname{ord}a</math>라고 가정하면, <math>(a\langle b\rangle)^\frac{\operatorname{ord}a}p=1</math>이므로, <math>a^\frac{\operatorname{ord}a}p\in\langle a\rangle\cap\langle b\rangle=1</math>이다. 이는 모순이다. 따라서 <math>\operatorname{ord}(a\langle b\rangle)=\operatorname{ord}a</math>이며, <math>a\langle b\rangle\in G/\langle b\rangle</math>은 최대 차수 원소이다.
* <math>G/\langle b\rangle=\langle a\langle b\rangle\rangle\times(B/\langle b\rangle)</math>인 <math>\langle b\rangle\subseteq B\le G/\langle b\rangle</math>가 존재한다.
** 증명: <math>|G/\langle b\rangle|=|G|/p<|G|</math>
* <math>G=\langle a\rangle\times B</math>
** 증명: 우선, <math>G/\langle b\rangle=\langle a\langle b\rangle\rangle\times(B/\langle b\rangle)=(\langle a\rangle/\langle b\rangle)\times(B/\langle b\rangle)=(\langle a\rangle B)/\langle b\rangle</math>이므로, <math>G=\langle a\rangle B</math>이다. 또한, <math>(\langle a\rangle\cap B)/\langle b\rangle\subseteq(\langle a\rangle/\langle b\rangle)\cap(B/\langle b\rangle)=\{\langle b\rangle\}</math>이므로, <math>\langle a\rangle\cap B\subseteq\langle a\rangle\cap\langle b\rangle=1</math>이며, <math>G=\langle a\rangle\times B</math>이다.
{{증명 끝}}

== 같이 보기 ==
* [[프뤼퍼 군]]
* [[원군]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cyclic group}}
* {{eom|title=Order}}
* {{eom|title=Exponent of a group}}
* {{매스월드|id=CyclicGroup|title=Cyclic group}}
* {{매스월드|id=GroupOrder|title=Group order}}
* {{nlab|id=cyclic group|title=Cyclic group}}
* {{nlab|id=order of a group|title=Order of a group}}
* {{nlab|id=exponent of a group|title=Exponent of a group}}
* {{groupprops|제목=Cyclic group}}
* {{groupprops|제목=Order of a group}}
* {{groupprops|제목=Exponent of a group}}
* {{플래닛매스|urlname=CyclicGroup|title=Cyclic group}}
* {{플래닛매스|urlname=orderofagroup|title=Order (of a group)}}
* {{플래닛매스|urlname=Exponent|title=Exponent}}

[[분류:아벨 군론]]