순수 스피너 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
수학과 [[이론물리학]]에서 '''순수 스피너'''(純粹spinor, {{llang|en|pure spinor}})는 가장 많은 수의 [[디랙 행렬]]들에 의하여 상쇄되는 [[바일 스피너]]이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* 유한 짝수 차원 [[복소수 벡터 공간]] <math>V=\mathbb C^{2n}</math>
* [[이차 형식]] <math>Q\colon V\to\mathbb C</math>. 그렇다면, 복소수 [[클리퍼드 대수]] <math>\operatorname{Cliff}(V,Q)</math>를 정의할 수 있다.
* 클리퍼드 대수 <math>\operatorname{Cliff}(V,Q)</math>의 [[왼쪽 가군]] <math>M</math>.
그렇다면, 임의의 원소 <math>\psi\in M</math>에 대하여,
:<math>\{v\in V\colon v\psi = 0\}\subseteq V</math>
를 생각할 수 있다. 이는 <math>V</math>의 부분 벡터 공간이다.

이제, <math>M</math>이 <math>2n</math>차원 시공간의 (왼손 또는 오른손) 바일 [[스피너]]들의 공간이라고 하자. 그렇다면,
:<math>\dim_{\mathbb C}\{v\in V\colon v\psi\} \in \{0, 1,\dotsc,n\}</math>
이다. 만약
:<math>\dim_{\mathbb C} \{v\in V\colon v\psi = 0\} = n</math>
이라면, <math>\psi</math>를 순수 스피너라고 한다.

== 성질 ==
<math>V</math>의 <math>n</math>차원 부분 [[복소수 벡터 공간]]이 주어졌을 때, 그 작용이 0인, 순수 스피너의 복소수 1차원 공간(즉, 사영 순수 스피너)이 유일하게 존재하며, 이는 사영 순수 스피너와 <math>V</math>의 <math>n</math>차원 부분 공간의 [[그라스만 다양체]]
:<math>\frac{\operatorname{SO}(2n;\mathbb R)}{\operatorname U(n)}</math>
사이의 동형을 정의한다. 즉, 사영 순수 스피너의 모듈러스 공간은 위와 같은 [[동차 공간]]이며, 순수 스피너의 복소수 벡터 공간은
:<math>\frac12\dim_{\mathbb R}\left(\frac{\operatorname{SO}(2n;\mathbb R)}{\operatorname U(n)}\right) + 1 = \frac{n(n-1)}2 + 1
</math>
이다.

== 예 ==
낮은 차원에서 순수 스피너들은 다음과 같다.
* 만약 <math>2n \le 6</math>이라면, 모든 바일 스피너가 순수 스피너이다. 
* 8차원에서, 바일 스피너는 <math>2^4=8</math>개의 복소수 성분을 가지며, 순수 스피너들은 그 속에서 7차원 부분 공간을 이룬다.
* 10차원에서, 바일 스피너는 <math>2^5=16</math>개의 복소수 성분을 가지며, 순수 스피너들은 그 속에서 11차원 부분 공간을 이룬다.

== 참고 문헌 ==
* {{웹 인용| url= http://csusap.csu.edu.au/~pcharlto/charlton_thesis.pdf | 제목=The geometry of pure spinors, with applications | 이름=Philip |성=Charleton | 날짜=1997-12 | 출판사=University of Newcastle Department of Mathematics | 기타=박사 학위 논문 | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=pure spinor|title=Pure spinor}}

{{전거 통제}}

[[분류:표현론]]
[[분류:끈 이론]]
[[분류:스피너]]