순간자 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[양자역학]]과 [[양자장론]]에서 '''순간자'''(瞬間子, {{llang|en|instanton|인스턴톤}}) 또는 '''잠깐알'''은 윅 회전을 가한 이론의, 유한한 [[작용 (물리학)|작용]]을 가진 고전해이다.<ref name="Coleman">{{서적 인용|제목=Aspects of Symmetry|성=Coleman|이름=Sidney|저자링크=시드니 콜먼|출판사=Cambridge University Press|위치=Cambridge, U.K.|연도=1985|doi=10.1017/CBO9780511565045.008|장=Uses of Instantons|쪽=265–350|isbn=9780521267069|bibcode=1988assy.book.....C}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Solitons and Instantons|이름=R.|성=Rajaraman|위치=Amsterdam|출판사=North Holland|연도=1987|ISBN=0-444-87047-4}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Classical Solutions in Quantum Field Theory: Solitons and Instantons in High Energy Physics|이름=Erick J.|성=Weinberg |총서=Cambridge Monographs on Mathematical Physics|출판사=Cambridge University Press|doi=10.1017/CBO9781139017787|isbn=978-0-5211-1463-9|날짜=2012-10|언어=en}}</ref> 이는 윅 회전을 한 유클리드 시공간에서 국소화되어 있어, 유클리드 시공간에서 입자처럼 간주할 수 있다. (물론 이는 [[민코프스키 시공간]]에서는 성립하지 않는다.) 순간자의 존재는 [[섭동 이론]]에는 나타나지 않는 [[터널 효과]]를 나타낸다. [[WKB 근사]]에 의한 [[터널 효과]]를 다룰 때나, [[양-밀스 이론]]([[양자 색역학]])에 등장한다. [[초대칭 게이지 이론]]과도 관련이 있다.

== 역사 ==
[[알렉산드르 벨라빈]]({{llang|ru|Алекса́ндр Абрамо́вич Бела́вин}}), [[알렉산드르 마르코비치 폴랴코프]], [[알베르트 시바르츠]], 유리 스테파노비치 튭킨({{llang|ru|Юрий Степанович Тюпкин}})이 순간자수가 1인 순간자를 최초로 발견하였다.<ref>{{저널 인용| 이름 = A. A.|성=Belavin|공저자=[[알렉산드르 마르코비치 폴랴코프|A. M. Polyakov]], [[알베르트 시바르츠|A. S. Schwartz]], Yu. S. Tyupkin | title = Pseudoparticle solutions of the Yang-Mills equations | journal = Physics Letters B | volume = 59 | pages = 85–87 | 날짜 = 1975 | doi = 10.1016/0370-2693(75)90163-X | bibcode=1975PhLB...59...85B|언어=en}}</ref> 이들은 유사입자({{llang|en|pseudoparticle}})라는 이름을 사용하였다.<ref name="Coleman"/>{{rp|271}} [[헤라르뒤스 엇호프트]]가 이러한 해들을 어떤 시간 간격에만 존재했다가 사라진다는 의미로 "순간자"({{llang|en|instanton}})라고 이름붙였다.<ref name="Coleman"/>{{rp|271}}

== 양자역학에서의 순간자 ==
[[양자역학]]에서, 순간자는 두 고전적 안정 상태 사이의 [[터널 효과]]를 나타낸다. 예를 들어, 어떤 퍼텐셜 <math>V(x)</math>가 두 개의 극소점 <math>a,b</math>를 갖는다고 하고, <math>V(a)=V(b)=0</math>으로 놓자. 고전적으로는 이 두 점 모두 안정적인 상태지만, 양자역학적으로 두 상태 사이 [[터널 효과]]가 일어날 수 있다.

[[WKB 근사]]에 따라, 질량이 <math>m</math>이며 에너지가 <math>E</math>인 입자가 <math>a</math>에서 <math>b</math>로 [[터널 효과]]를 겪을 [[확률 진폭]]은 다음에 비례한다.
:<math>\langle b|a\rangle\sim\exp\left(-\frac1\hbar\int_a^b\sqrt{2mV(x)}\,dx\right)</math>

이는 순간자를 사용하여 다음과 같이 계산할 수 있다. [[윅 회전]]을 통해, 다음과 같은 유클리드 작용을 정의하자.
:<math>S_E=\int\left(\frac12m\dot x^2+V(x)\right)\,dt</math>
즉, 이는 퍼텐셜 <math>-V(x)</math> 속에서 움직이는 입자를 나타낸다. 이 경우, 에너지 보존에 따라 (총 에너지가 0인 경우)
:<math>\frac12m\dot x^2-V(x)=0</math>
다. <math>a</math>에서 <math>b</math>로 가는, 유클리드 작용의 해를 '''순간자'''라고 하며, 그 작용은
:<math>S_E=\int m\dot x^2\,dt=\int_a^bm\dot x\,dx=\int_a^b\sqrt{2mV(x)}\,dx</math>
이다. 따라서,
:<math>\langle b|a\rangle\sim\exp(-S_E/\hbar)</math>
임을 알 수 있다. 즉, 터널 효과의 [[확률 진폭]]은 순간자의 작용 <math>S_E</math>로 계산된다.

== 양-밀스 이론의 순간자 ==
{{본문|양-밀스 순간자}}
순간자의 가장 대표적인 예는 4차원 [[유클리드 공간]]의 [[양-밀스 이론]]에서 [[작용 (물리학)|작용]]을 국소적으로 최소화시키는 상태들이다. 이들은 '''보고몰니-프라사드-소머필드 부등식'''({{llang|en|Bogomol’nyi–Prasad–Sommerfield bound}}, BPS 부등식)을 충족시킨다.<ref>{{저널 인용|성=Bogomol’nyi|이름=E. B.|날짜=1976|저널=Soviet Journal of Nuclear Physics|권=24|쪽=449}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Prasad|이름=M. K.|공저자=Charles H. Sommerfield|날짜=1975-09-22|저널=Physical Review Letters|권=35|호=12|쪽=760–762|제목=Exact classical solution for the ’t Hooft monopole and the Julia–Zee dyon|언어=en|doi=10.1103/PhysRevLett.35.760|issn=0031-9007}}</ref>

4차원 [[유클리드 공간]] 위에, 게이지 군 <math>G</math>를 가진 [[양-밀스 이론]]을 생각하자. 그 [[작용 (물리학)|작용]]은 다음과 같다.
:<math>S=\frac1{2e^2}\int_{\mathbb R^4}\operatorname{tr} F^2\,d^4x</math>
여기서
:<math>F_{ij}=t^aF^a_{ij}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu+i[A_\mu,A_\nu]</math>
는 게이지 장세기이고, <math>t^a</math>는 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>의 기저이다. 리 대수의 기저는
:<math>\operatorname{tr}(t^at^b)=\frac12t^at^b</math>
:<math>[t^a,t^b]=if^{abc}t^c</math>
가 되게 규격화한다.

이 이론에서, 작용이 유한한 상태들을 생각하자. 작용이 유한하므로, 원점에서 무한히 먼 곳<math>\Vert x\Vert\to\infty</math>에서는 <math>F\to 0</math>이어야 한다. 그러나 이 경우 게이지 퍼텐셜 <math>A_\mu</math>는 [[위상수학]]적으로 자명하지 않을 수 있다. 즉,
:<math>A_\mu(x)=g(x)^{-1}\partial_\mu g(x)</math> (<math>g(x)\in G</math>)
의 꼴의 퍼텐셜은 장세기가 0이다. 4차원 유클리드 공간 <math>\mathbb R^4</math>의 무한대는 <math>S^3</math>이므로, 무한대에서 게이지 퍼텐셜은 [[연속함수]]
:<math>A\colon S^3\to G</math>
를 정의한다. 서로 [[호모토픽]]한 게이지 퍼텐셜들은 물리적으로 같은 상태를 나타내지만, 호모토픽하지 않은 상태들은 서로 다른 상태를 나타낸다. 따라서, 유한 작용 상태들은 게이지 군 <math>G</math>의 3차 [[호모토피 군]]에 의하여 분류된다.
:<math>[A]\in\pi_3(G)</math>
흔히 쓰이는 게이지 군의 경우,
:<math>\pi_3(\operatorname{SU}(N))=\mathbb Z</math> (<math>N\ge 2</math>)
:<math>\pi_3(\operatorname{SO}(N))=\mathbb Z</math> (<math>N=3</math> 또는 <math>N>5</math>)
이다. 이 경우, 무한대에서의 게이지 퍼텐셜의 호모토피류는 정수에 의하여 분류된다. 이 수를 '''순간자수'''({{llang|en|instanton number}})라고 하며, 대략 순간자의 수를 나타낸다. 만약 순간자수가 음수라면, 이는 반순간자({{llang|en|anti-instanton}})가 존재함을 뜻한다. <math>SU(N)</math>의 경우, 순간자수 <math>k</math>는 다음과 같다.
:<math>k=\frac1{24\pi^2}\int_{\Vert x\Vert=\infty}d^3x\,\hat n_\mu\operatorname{tr}\left(A_\nu A_\rho A_\sigma)\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\right)</math>
:<math>A_\mu=(\partial_\mu g)g^{-1}</math>
여기서 <math>\hat n^\mu</math>는 <math>S^3</math>의 단위 수직 벡터이며, <math>\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}</math>는 (유클리드 [[계량 부호수]]) [[레비치비타 기호]]다.

4차원 [[리만 다양체]] <math>M</math>에서, 2차 [[미분형식]]들은 [[호지 쌍대]]에 따라
:<math>*\colon\Omega^2(M)\to\Omega^2(M)</math>
가 존재한다. 또한, 유클리드 [[계량 부호수]]에서는 2차 [[미분형식]]에 대하여
:<math>*^2=1</math>
이므로, 호지 쌍대 연산자 <math>*</math>의 [[고윳값]]은 <math>\pm1</math>이다. 따라서, 2차 미분형식들의 공간은 고윳값에 따라
:<math>\Omega^2(M)=\Omega^2_+(M)\oplus\Omega^2_-(M)</math>
으로 분해된다. 여기서 <math>\Omega^2_+(M)</math>의 원소는 '''자기쌍대'''({{llang|en|self-dual}}), <math>\Omega^2_-(M)</math>의 원소는 '''반자기쌍대'''({{llang|en|anti-self-dual}})라고 한다. 구체적으로, 2차 미분형식 <math>F</math>가 주어지면,
:<math>F=F_++F_-</math>
:<math>*F_\pm=\pm F_\pm</math>
:<math>F_\pm=(F\pm *F)/2</math>
으로 분해할 수 있다. 또한, (리 대수 값을 갖는) 2차 미분형식들의 공간에서는 다음과 같은 내적 <math>\langle,\rangle</math>이 존재한다.
:<math>\langle A,B\rangle=\frac1{2e^2}\int_Md^4x\,\operatorname{tr}(A_{\mu\nu}B^{\mu\nu})</math>
이에 따라 양-밀스 작용은
:<math>S=\langle F,F\rangle</math>
가 된다.

장세기를 자기쌍대 및 반자기쌍대 성분으로 분해하자.
:<math>F=F_++F_-</math>
그렇다면
:<math>S=\langle F,F\rangle=\langle F_+,F_+\rangle+\langle F_-,F_-\rangle\ge|\langle F_+,F_+\rangle-\langle F_-,F_-\rangle|=|\langle F,*F\rangle|=\frac{8\pi^2}{e^2}|k|</math>
이다. 여기서 <math>k</math>는 순간자수이다. 따라서, 주어진 순간자수 <math>k</math>를 가진 상태의 작용은 다음과 같은 '''BPS 부등식'''을 만족시킨다.
:<math>S\ge\frac{8\pi^2}{e^2}|k|</math>
이 부등식을 등식으로 만드는 게이지 퍼텐셜들을 '''순간자'''라고 한다. 이들은
:<math>F_+=0</math> 또는 <math>F_-=0</math>,
즉
:<math>F_{\mu\nu}=\pm*F_{\mu\nu}</math>
를 만족시킨다. 이런 상태들은 자동적으로 [[오일러-라그랑주 방정식]]
:<math>D_\mu F^{\mu\nu}=D_\mu(*F)^{\mu\nu}=0</math>
을 만족시키므로, 작용을 최소화시킴을 알 수 있다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|제목=A primer on instantons in QCD|이름=Hilmar|성=Forkel|arxiv=hep-ph/0009136|bibcode=2000hep.ph....9136F|날짜=2000-08|언어=en}}
* {{저널 인용  | last = Schäfer  | first = Thomas  | 공저자= E. V. Shuryak  | title = Instantons in QCD| journal = Reviews of Modern Physics| volume = 70  | issue =   2| pages = 323–426| 날짜 = 1998-04|arxiv=hep-ph/9610451|bibcode=1998RvMP...70..323S|doi = 10.1103/RevModPhys.70.323|언어=en}}
* {{저널 인용|doi=10.1088/0264-9381/17/17/305|제목=Yang-Mills- and D-instantons|이름=A.V.|성=Belitsky|공저자=Stefan Vandoren, Peter van&nbsp;Nieuwenhuizen|arxiv=hep-th/0004186|bibcode=2000CQGra..17.3521B|저널=Classical and Quantum Gravity|권=17|호=17|쪽=3521–3570|날짜=2000|언어=en}}
* {{저널 인용|arxiv=hep-th/0010225|bibcode=2000hep.th...10225.|이름=Gerard|성='t&nbsp;Hooft|저자링크=헤라르뒤스 엇호프트|날짜=1999-09|제목=Monopoles, Instantons and Confinement|언어=en}}
* {{서적 인용|arxiv=hep-th/0703142|장=Instantons and supersymmetry|쪽=303–470|이름=Massimo|성=Bianchi|공저자=Stefano Kovacs, Giancarlo Rossi|bibcode=2008LNP...737..303B|doi=10.1007/978-3-540-74233-3_14|제목=String Theory and Fundamental Interactions. Gabriele Veneziano and Theoretical Physics: Historical and Contemporary Perspectives|series=Lecture Notes in Physics|volume=737|issn=0075-8450|출판사=Springer|isbn=978-3-540-74232-6|날짜=2008|언어=en}}
* {{저널 인용|doi=	10.1016/0167-2789(80)90010-X|bibcode=1980PhyD....1..167P|제목=Instantons and monopoles in Yang-Mills gauge field theories|성=Prasad|이름=M. K.|저널=Physica D: Nonlinear Phenomena|권=1|호=2|쪽=167–191|날짜=1980-06|언어=en}}
* {{저널 인용|doi=10.1016/0034-4877(79)90071-5|제목=Gauge theories, instantons and algebraic geometry|이름=Michael|성=Forger|저널=Reports on Mathematical Physics|권=16|호=3|날짜=1979-12|쪽=359–384|zbl=0448.53049|issn=0034-4877|언어=en|url=http://www.ime.usp.br/~forger/pdffiles/RoMP1979.pdf|access-date=2013-08-19|archive-date=2008-04-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20080419010625/http://www.ime.usp.br/~forger/pdffiles/RoMP1979.pdf|url-status=dead}}
* {{저널 인용|제목=ABC of instantons|이름=A. I.|성=Vaĭnshteĭn|공저자=Valentin I. Zakharov, Viktor A. Novikov, Mikhail A. Shifman|저널=Soviet Physics Uspekhi|권=25|호=4|쪽=195|날짜=1982|doi=10.1070/PU1982v025n04ABEH004533|url=http://www.tpi.umn.edu/shifman/lectures4students/ABC_of_Instantons.pdf|언어=en|확인날짜=2014-06-01|보존url=https://web.archive.org/web/20160304134455/http://www.tpi.umn.edu/shifman/lectures4students/ABC_of_Instantons.pdf|보존날짜=2016-03-04|url-status=dead}}

== 같이 보기 ==
* [[도널드슨 이론]]
* [[자기 홀극]]
* [[솔리톤]]

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|제목=An Introduction to ASD instantons and holomorphic Structures|성=Byun|이름=Yanghyun|url=http://asarc.kaist.ac.kr/bbs/view.php?board_id=video&no=365|형식=[[윈도우 미디어]] 비디오|언어=ko|날짜=2010-08-04|출판사=[[KAIST]] 대수구조 및 응용 연구센터|확인날짜=2013-04-29|보존url=https://web.archive.org/web/20160305004049/http://asarc.kaist.ac.kr/bbs/view.php?board_id=video&no=365|보존날짜=2016-03-05|url-status=dead}}
* {{저널 인용|저자=이원종|제목=Confinement and Lattice QCD|언어=ko|저널=물리학과 첨단기술|날짜=2004-12|url=http://www.kps.or.kr/storage/webzine_uploadfiles/361_article.pdf|쪽=10–12|권=13|호=12|issn=1225-2336|확인날짜=2013-02-06|보존url=https://web.archive.org/web/20160305095805/http://kps.or.kr/storage/webzine_uploadfiles/361_article.pdf|보존날짜=2016-03-05|url-status=dead}}

{{기본 입자}}

[[분류:양자역학]]
[[분류:양자장론]]
[[분류:미분기하학]]
[[분류:양자색역학]]