수직 벡터 다발 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분기하학]]에서 '''수직 벡터 다발'''(垂直vector-, {{llang|en|vertical vector bundle}})은 [[올다발]]의 [[접다발]] 속의 특별한 부분 벡터 다발이다. 대략, 밑공간의 접다발을 "수평" 방향으로 간주하였을 때, 수직 벡터 다발은 순수하게 올 방향의, 즉 "수직" 방향의 벡터들로 구성된다.

반면, 올다발의 접다발 속의 "수평 벡터 다발"은 일반적으로 추가 구조 없이 정의되지 않는다. 이를 정의하기 위한 추가 구조는 '''[[에레스만 접속]]'''이라고 한다.

== 정의 ==
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 [[매끄러운 올다발]]
:<math>\pi\colon E\twoheadrightarrow M</math>
이 주어졌다고 하고, <math>E</math> 및 <math>E</math>의 각 올이 [[매끄러운 다양체]]를 이룬다고 하자. 사영 사상의 미분
:<math>\mathrm T\pi\colon\mathrm TE\twoheadrightarrow\mathrm TM</math>
을 정의할 수 있다. 그렇다면, <math>E</math> 위에 다음과 같은 '''수직 벡터 다발''' <math>\mathrm VE</math>를 정의할 수 있다.
:<math>\mathrm VE=\ker(\mathrm T\pi)</math>
즉,
:<math>\mathrm V_eE=\mathrm T_e(E_{\pi(e)})\qquad\forall e\in E</math>
:<math>\forall u\in T_\mathrm eE\colon \left(u\in\mathrm V_eE\iff\forall(\gamma\colon\mathbb R\to E,\;\gamma(0)=e)\colon
\frac{\mathrm d\gamma}{\mathrm dt}(0)=u\implies \frac{\mathrm d(\pi\circ\gamma)}{\mathrm dt}(0)=0\right)
</math>
즉, [[벡터 다발]] <math>V</math>의 <math>e\in E</math>에서의 올은 <math>E</math>의 올의 [[접공간]]이다.

<math>E</math> 위의 [[벡터장]] <math>X</math>에 대하여, 만약 <math>X\in\Gamma(\mathrm TE)</math>라면 (즉, 만약 모든 <math>x\in M</math>에 대하여 <math>X_x\in\mathrm V_eE</math>라면) <math>X</math>를 '''수직 벡터장'''(垂直vector場, {{llang|en|vertical vector field}})이라고 한다. 마찬가지로, <math>E</math> 위의 <math>p</math>차 [[미분 형식]] <math>\alpha\in\Omega^p(E)</math>에 대하여, 만약
:<math>\alpha(X_1,X_2,\dots,X_p)=0\qquad\forall X_1,\dots,X_p\in\Gamma(\mathrm VE)</math>
라면, <math>\alpha</math>를 '''수평 미분 형식'''(水平微分形式, {{llang|en|horizontal differential form}})이라고 한다.

== 성질 ==
수직 벡터 다발의 정의에 따라, [[짧은 완전열]]
:<math>0\to\mathrm VE\hookrightarrow\mathrm TE\;\overset{\pi^*\mathrm T\pi}\twoheadrightarrow\;\pi^*\mathrm TM\to0</math>
이 존재한다. 이를 '''아티야 완전열'''(Atiyah完全列, {{llang|en|Atiyah exact sequence}})이라고 한다. (여기서 <math>\pi^*\mathrm T\pi\colon(e,u)\mapsto(e,\mathrm T\pi(u))</math>이다.) 이는 (벡터 다발의 범주이므로) 물론 [[분할 완전열]]이지만, 이러한 분할은 (추가 데이터 없이) 표준적으로 주어지지 않는다. <math>E</math> 위의 [[에레스만 접속]]은 위 분할을 표준적으로 제시하는 데이터이다.

== 예 ==
=== 자명한 올다발 ===
두 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>과 <math>F</math>가 주어졌고, <math>E=M\times F</math>를 <math>M</math> 위의 올다발로 여기자.
:<math>F\xleftarrow{\operatorname{proj}_2}E\xrightarrow{\operatorname{proj}_1}M</math>
이 경우, 자연스럽게
:<math>\mathrm T_{(m,f)}E=\mathrm T_mM\oplus\mathrm T_fF\qquad(\forall m\in M,\;,f\in F)</math>
이며, 수직 벡터 다발 <math>\mathrm VE</math>는 다음과 같다.
:<math>\mathrm VE=\operatorname{proj}_2^*\mathrm TF\subseteq\mathrm TE</math>
(이 경우, 자연스럽게 "수평 벡터 다발" <math>\operatorname{proj}_1^*\mathrm TM\subseteq\mathrm TE</math> 역시 존재한다. 그러나 이는 임의의 올다발에 대하여 성립하지 않는다.)

=== 주다발 ===
[[리 군]] <math>G</math>에 대하여, <math>\pi\colon E\twoheadrightarrow M</math>가 <math>G</math>-[[주다발]]이라고 하자. 이 경우, 수직 벡터 다발 <math>\mathrm VE</math>는 [[리 대수]] <math>\mathfrak g=\mathrm T_1G</math>에 대한 자명한 [[벡터 다발]]과 동형이다.
:<math>\mathrm VE\cong \mathfrak g\times E</math>

구체적으로, 우선, 임의의 <math>m\in M</math>에 대하여, <math>G</math>의 오른쪽 작용을 생성하는 [[벡터장]]의 족을
:<math>X\colon \mathfrak g\to\Gamma(\mathrm TP)</math>
:<math>X\colon x\mapsto X_x</math>
로 표기하자. 그렇다면, 위 작용이 [[정추이적 작용]]이므로, <math>X</math>의 [[상 (수학)|상]]은 <math>P</math>의 수직 벡터 다발 <math>\mathrm VP=\ker(\mathrm T\pi)\subseteq\mathrm TP</math>과 같으며, 이는 [[벡터 다발]]의 표준적인 동형 사상
:<math>P\times\mathfrak g\to\mathrm VP</math>
를 정의한다. (좌변은 올이 <math>\mathfrak g</math>인 자명한 [[벡터 다발]]이다.)

=== 벡터 다발 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>\pi\colon E\twoheadrightarrow M</math>이 주어졌다고 하자. 이 경우, <math>E</math>의 수직 벡터 다발은 스스로의 [[당김]] <math>\pi^*E=E\times_ME</math>와 표준적으로 동형이다.<ref name="KMS">{{서적 인용|last1=Kolář|first1=Ivan|last2=Michor|first2=Peter|last3=Slovák|first3=Jan|url=http://www.emis.de/monographs/KSM/kmsbookh.pdf|title=Natural operations in differential geometry|날짜=1993|publisher=Springer-Verlag|doi=10.1007/978-3-662-02950-3|isbn=978-3-540-56235-1|zbl=0782.53013|언어=en|확인날짜=2016-12-20|보존url=https://web.archive.org/web/20170330154524/http://www.emis.de/monographs/KSM/kmsbookh.pdf|보존날짜=2017-03-30|url-status=dead}}</ref>{{rp|55, §6.11}}
:<math>\mathrm VE\cong\pi^*E=E\times_ME</math>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=Geometry, topology and physics|판=2판|날짜=2003-06-04|doi=10.1201/9781420056945|이름=Mikio|성=Nakahara|url=http://www.routledge.com/books/details/9780750306065/|isbn=978-0-7503-0606-5|출판사=Taylor & Francis|언어=en}}
* {{서적 인용|장=The works of Charles Ehresmann on connections: from Cartan connections to connections on fibre bundles|이름=Charles-Michel|성=Marle|장url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00940427/|제목=Geometry and Topology of Manifolds, May 2005, Będlewo, Poland|총서=Banach Center Publications|권=76|쪽=65–86|날짜=2007|출판사=Polish Academy of Sciences|위치=[[바르샤바]]|arxiv=1401.8272|bibcode=2014arXiv1401.8272M|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=vertical vector field|title=Vertical vector field}}
* {{nlab|id=horizontal differential form|title=Horizontal differential form}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/245525/geometric-interpretation-of-horizontal-and-vertical-lift-of-vector-field|제목=Geometric interpretation of horizontal and vertical lift of vector field|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분위상수학]]
[[분류:올다발]]
[[분류:접속 (수학)]]