수술 (수학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Circle-surgery.svg|섬네일|원에 0-수술을 가하면 하나의 원 또는 두 개의 원으로 만들 수 있다.]]
[[미분위상수학]]에서 '''수술'''(手術, {{llang|en|surgery|서저리}})은 [[다양체]] 속의 원기둥을 도려내고 그 자리에 다른 모양의 원기둥을 붙여 전체의 위상을 바꾸는 연산이다. 수술은 고차원 (5차원 이상) 다양체의 연구에 매우 중요한 역할을 하며, 그 이론을 '''수술 이론'''(手術理論, {{llang|en|surgery theory}})이라고 한다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* <math>p+q</math>차원 [[다양체]] <math>M</math>
* 연속인 [[매장 (수학)|매장]] <math>\phi\colon\mathbb S^p\times\mathbb D^q\hookrightarrow M</math>
여기서 <math>\mathbb S^p</math>는 <math>p</math>차원 [[초구]]이며 <math>\mathbb D^q</math>는 <math>q</math>차원 닫힌 [[공 (기하학)|공]]이다. 이 때 <math>\phi</math>의 [[상 (수학)|상]]에 해당하는 <math>M</math>의 부분다양체 <math>N := \operatorname{im} \phi</math>의 경계는 <math>\mathbb D^{p+1}\times\mathbb S^{q-1}</math>의 경계와 같다.
:<math>\partial(N) \simeq \partial(\mathbb S^p\times\mathbb D^q) \simeq \mathbb S^p\times\mathbb S^{q-1} \simeq \partial(\mathbb D^{p+1}\times\mathbb S^{q-1})</math>
그러므로 <math>N</math>을 도려내고 그 자리에 <math>(\mathbb D^{p+1}\times\mathbb S^{q-1})</math>를 채워넣어 새로운 <math>p+q</math>차원 다양체 <math>M'</math>을 만들 수 있다.
:<math>M':=\left(M \setminus N \right) \cup_{\partial(N)} \left( \mathbb D^{p+1}\times\mathbb S^{q-1} \right)</math>
이와 같은 과정을 <math>p</math>-'''수술'''이라고 한다.

만약 <math>M</math>이 [[매끄러운 다양체]]일 경우, 수술한 자리 주변에 매끄럽게 하는 작업({{lang|en|smoothing}})을 가해서 <math>M'</math>이 매끄러운 구조를 가지도록 만들 수 있다. [[조각적 선형 다양체]]일 경우에도 비슷한 작업이 가능하다.

== 예 ==
=== 원 위의 수술 ===
[[원 (기하학)|원]] 위에서 0-수술을 다음과 같이 가하자.
:[[파일:Circle-surgery.svg]]
즉, 원 속에서 <math>\mathbb S^0 \times\mathbb D^1</math>을 도려내고, 그 속에 다른 방향으로 <math>\mathbb D^1\times\mathbb S^0</math>를 이어붙인다. 이 경우, 수술의 방향에 따라 두 가지가 존재하는데, 하나는 한 개의 원, 다른 하나는 두 개의 원을 얻는다.

=== 구 위의 수술 ===
[[구 (기하학)|구]] <math>\mathbb S^2</math> 위에 1-수술을 가한다면, 두 개의 구를 얻는다.
:[[파일:Sphere-surgery1.png]]
[[구 (기하학)|구]] <math>\mathbb S^2</math> 위에 0-수술을 가하자. 이 경우, <math>\mathbb S^0\times\mathbb D^2 \cong \mathbb D^2 \sqcup \mathbb D^2</math>를 도려내면 원기둥 <math>\mathbb S^1 \times \mathbb D^1</math>을 얻으며, 여기에 <math>\mathbb D^1\times\mathbb S^1</math>을 이어붙인다면 이는 방향에 따라 [[원환면]] <math>\mathbb T^2 = \mathbb S^1\times\mathbb S^1</math> 또는 [[클라인 병]]을 얻는다.
:[[파일:Sphere-surgery2.png]]

=== 모스 함수 ===
{{본문|모스 이론}}
<math>n+1</math>차원 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 [[모스 함수]] <math>f</math>의 임곗값 <math>c\in\mathbb R</math>이 정확히 하나의 임계점 <math>x\in M</math>에 대응한다고 하고, <math>x</math>의 [[모스 지표]]가 <Math>p+1</math>이라고 하자. [[모스 이론]]에 따르면 이 때 충분히 작은 <math>\epsilon\in\mathbb R^+</math>에 대하여 다양체 <math>f^{-1}(c-\epsilon)</math>를 <math>f^{-1}(c+\epsilon)</math>에 <math>p</math>-수술을 가하여 얻을 수 있다.

== 참고 문헌 ==
*{{서적 인용 | last1=Browder | first1=William | title=Surgery on simply-connected manifolds | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York |mr=0358813 | year=1972| 언어=en}}
*{{서적 인용 | last1=Ranicki | first1=Andrew | title=Algebraic and Geometric Surgery | url=https://archive.org/details/algebraicgeometr0000rani | 총서=Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press | isbn=978-0-19-850924-0 |mr=2061749 | year=2002| 언어=en}}
*{{서적 인용 | last1=Wall | first1=C. T. C. | title=Surgery on compact manifolds | publisher=American Mathematical Society | location=Providence, R.I. | edition=2nd | series=Mathematical Surveys and Monographs | isbn=978-0-8218-0942-6 |mr=1687388 | year=1999 | volume=69 | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Surgery|title=Surgery}}
* {{eom|title=Surgery}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분위상수학]]