수렴 수열 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[함수해석학]]에서 '''수렴 수열 공간'''(收斂數列空間, {{llang|en|space of convergent sequence}})은 어떤 값으로 [[수렴]]하는 [[수열]]들로 구성된 [[바나흐 공간]]이다. 기호는 c.

== 정의 ==
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>가 [[실수체]] 또는 [[복소수체]]라고 하자.

[[수렴]]하는 <math>\mathbb K</math>-[[수열]] (=[[코시 열]])의 집합
:<math>\operatorname c(\mathbb K)=\{a\in\mathbb K^{\mathbb N}\colon\exists\lim_{i\to\infty}a_i\}</math>
은 자연스럽게 <math>\mathbb K</math>-[[벡터 공간]]을 이룬다. 그 위에 다음과 같은 [[노름]]을 부여하자.
:<math>\|a\|_\infty=\sup_{i\in\mathbb N}|a_i|</math>
그렇다면 이는 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]]을 이룬다. 이를 '''수렴 수열 공간''' <math>\operatorname c(\mathbb K)</math>라고 한다.

0으로 수렴하는 수열들로 구성된 부분 공간
:<math>\operatorname c_0(\mathbb K)=\{a\in\operatorname c(\mathbb K)\colon\lim_{i\to\infty}a_i=0\}</math>
은 <math>\operatorname c(\mathbb K)</math>의 [[닫힌집합|닫힌]] 부분 벡터 공간이므로, 마찬가지로 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]]을 이룬다. 이를 '''영 수렴 수열 공간'''(零收斂數列空間, {{llang|en|space of sequences converging to zero}}) <math>\operatorname c_0(\mathbb K)</math>이라고 한다.<ref name="RS"/>{{rp|69, Example III.1.3}}

== 성질 ==
<math>\operatorname c(\mathbb K)</math>와 <math>\operatorname c_0(\mathbb K)</math>는 <math>\mathbb K</math>-[[위상 벡터 공간]]으로서 서로 동형이지만 (즉, 그 사이에 [[전단사 함수|전단사]] [[연속 함수|연속]] [[선형 변환]]이 존재하지만), [[바나흐 공간]]으로서 서로 동형이지 않다 (즉, 그 사이에 [[전단사 함수|전단사]] [[등거리 변환|등거리]] [[선형 변환]]이 존재하지 않는다).

구체적으로, 이 전단사 연속 <math>\mathbb K</math>-[[선형 변환]]은 다음과 같다.
:<math>\operatorname c(\mathbb K)\to\operatorname c_0(\mathbb K)</math>
:<math>(a_0,a_1,a_2,\ldots)\mapsto (\lim_ia_i,a_0-\lim_ia_i,a_1-\lim_ia_i,\ldots)</math>

=== 분해 가능성 ===
<math>\operatorname c(\mathbb K)</math>와 <math>\operatorname c_0(\mathbb K)</math>는 [[분해 가능 공간|분해 가능]] <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]]이다.

<math>\operatorname c(\mathbb K)</math>의 경우,
:<math>f=\{a\in\mathbb K^{\mathbb N}\colon \exists N\in\mathbb N\colon\forall i\ge N\colon a_i=a\}\cap\begin{cases}
\mathbb Q^{\mathbb N}&\mathbb K=\mathbb R\\
(\mathbb Q+\mathrm i\mathbb Q)^{\mathbb N}&\mathbb K=\mathbb C
\end{cases}</math>
는 <math>\operatorname c(\mathbb K)</math> 속의 [[가산 집합|가산]] [[조밀 집합]]을 이룬다.

<math>\operatorname c_0(\mathbb K)</math>는 그 부분 집합이며, [[분해 가능 공간|분해 가능]] [[거리 공간]]의 부분 집합은 [[분해 가능 공간]]이므로 마찬가지로 분해 가능 공간이다. 구체적으로, <math>f\cap\operatorname c_0(\mathbb K)</math>는 <math>\operatorname c_0(\mathbb K)</math>의 [[가산 집합|가산]] [[조밀 집합]]을 이룬다.<ref name="RS"/>{{rp|69, Example III.1.3}}

=== 연속 쌍대 공간 ===
<math>\operatorname c(\mathbb K)</math>의 [[연속 쌍대 공간]]과 <math>\operatorname c_0(\mathbb K)</math>의 [[연속 쌍대 공간]]은 둘 다 [[르베그 공간]] <math>\ell^1(\mathbb K)</math>과 동형이다.

<math>\operatorname c(\mathbb K)</math>의 경우 이는 다음과 같다.
:<math>\operatorname c(\mathbb K)\times\ell^1(\mathbb K)\to\mathbb K</math>
:<math>(x,y)\mapsto y_0\left(\lim_{i\to\infty}x_i\right)+\sum_{i=1}^\infty x_iy_i</math>
<math>\operatorname c_0(\mathbb K)</math>의 경우 이는 다음과 같다.<ref name="RS"/>{{rp|73, Example III.2.3}}
:<math>\operatorname c_0(\mathbb K)\times\ell^1(\mathbb K)\to\mathbb K</math>
:<math>(x,y)\mapsto\sum_{i=0}^\infty x_iy_i</math>

<math>\ell^1(\mathbb K)</math>의 쌍대 공간은 [[르베그 공간]] <math>\ell^\infty(\mathbb K)</math>이므로, <math>\operatorname c(\mathbb K)</math>와 <math>\operatorname c_0(\mathbb K)</math>는 [[반사 바나흐 공간]]이 아니다.

=== 포함 관계 ===
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.<ref name="RS">{{서적 인용
|성=Reed | 이름=Michael Charles |이름2=Barry Martin|성2=Simon
|제목=Functional analysis
|총서=Methods of Modern Mathematical Physics |권=1
|출판사=Academic Press
|날짜=1980
|isbn=0-12-585050-6
|zbl= 0459.46001
|언어=en
}}</ref>{{rp|69, Example III.1.3}}
:<math>\ell^1(\mathbb K)\subsetneq\ell^2(\mathbb K)\subsetneq\ell^3(\mathbb K)\subsetneq\cdots\subseteq\operatorname c_0(\mathbb K)\subsetneq\operatorname c(\mathbb K)\subsetneq\ell^\infty(\mathbb K)\subsetneq\ell^0(\mathbb K)=\mathbb K^{\mathbb N}</math>
여기서 <math>\ell^p</math>는 [[르베그 공간]]이며, <math>0<p<\infty</math>이다. 물론, <math>0<p<q<\infty</math>라면 <math>\ell^p(\mathbb K)\supsetneq\ell^q(\mathbb K)</math>가 성립한다.

위 포함 관계들은 <math>\mathbb K</math>-[[선형 변환]]이지만 일반적으로 [[등거리 변환]]이 아니다. 다만, 다음 포함 관계들은 [[등거리 변환]]이다 (즉, 같은 노름을 갖는다).
:<math>\operatorname c_0(\mathbb K)\subsetneq\operatorname c(\mathbb K)\subsetneq\ell^\infty(\mathbb K)</math>

=== 샤우데르 기저 ===
다음과 같은 수열들을 생각하자.
:<math>(e_i)_j=\delta_{ij}\qquad\forall i,j\in\mathbb N</math>
:<math>e_i=(\overbrace{0,0,0,\ldots,0}^i,1,0,0,\ldots)\qquad\forall i\in\mathbb N</math>
여기서 <math>\delta_{ij}</math>는 [[크로네커 델타]]이다.

그렇다면, <math>(e_i)_{i\in\mathbb N}</math>은 <math>\operatorname c_0(\mathbb K)</math>의 [[무조건 샤우데르 기저]]를 이룬다.<ref>{{서적 인용|제목=Topics in Banach space theory|이름=Fernando|성=Albiac|이름2=Nigel J.|성2=Kalton|출판사=Springer-Verlag|날짜=2016|판=2|doi=10.1007/978-3-319-31557-7|isbn=978-3-319-31555-3|issn=0072-5285|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=233|언어=en}}</ref>{{rp|Chapter 2}}

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|제목=The Banach space ''c''<sub>0</sub>|이름=Gilles|성=Godefroy|url=http://www.eweb.unex.es/eweb/extracta/Vol-16-1/16j1gode.pdf|저널=Extracta Mathematicae|권=16|호=1|쪽=1–25|날짜=2001|issn=0213-8743|zbl=0986.46009|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://gowers.wordpress.com/2009/02/17/must-an-explicitly-defined-banach-space-contain-c_0-or-ell_p/|제목=Must an “explicitly defined” Banach space contain c_0 or ell_p?|이름=Timothy|성=Gowers|저자링크=윌리엄 티머시 가워스|웹사이트=Gowers’s Weblog|날짜=2009-02-17|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://math.stackexchange.com/questions/80727/are-these-two-banach-spaces-isometrically-isomorphic|제목=Are these two Banach spaces isometrically isomorphic?|출판사=StackExchange|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:바나흐 공간]]
[[분류:수열]]