소환 (환론) 문서 원본 보기

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[[환론]]에서 '''소환'''(素環, {{llang|en|prime ring}})은 [[아이디얼]]이 곱셈에 대하여 [[영인자]]를 갖지 않는 환이다. [[정역]]의 개념의 비가환 일반화의 하나이다.

== 정의 ==
임의의 [[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 환을 '''소환'''이라고 한다.
* 임의의 <math>r,s\in R</math>에 대하여, 만약 <math>rRs=\{0\}</math>이라면 <math>r=0</math>이거나 <math>s=0</math>이다.
* 영 아이디얼이 [[소 아이디얼]]이다.<ref name="Lam"/>{{rp|158}}
* 임의의 두 아이디얼 <math>\mathfrak a,\mathfrak b\subseteq R</math>에 대하여, 만약 <math>\mathfrak a\mathfrak b=(0)</math>이라면 <math>\mathfrak a=(0)</math>이거나 <math>\mathfrak b=(0)</math>이다.
* 임의의 두 [[왼쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak A,\mathfrak B\subseteq R</math>에 대하여, 만약 <math>\mathfrak A\mathfrak B=(0)</math>이라면 <math>\mathfrak A=(0)</math>이거나 <math>\mathfrak B=(0)</math>이다.
* 임의의 두 [[오른쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak A,\mathfrak B\subseteq R</math>에 대하여, 만약 <math>\mathfrak A\mathfrak B=(0)</math>이라면 <math>\mathfrak A=(0)</math>이거나 <math>\mathfrak B=(0)</math>이다.
* 모든 [[왼쪽 아이디얼]]이 왼쪽 [[충실한 가군]]이다.
* 모든 [[오른쪽 아이디얼]]이 오른쪽 [[충실한 가군]]이다.

== 성질 ==
다음 함의 관계가 성립한다.<ref name="Lam">{{서적 인용|제목=A first course in noncommutative rings|성 = Lam|이름=Tsit-Yuen|저자링크=람짓윈|출판사=Springer|날짜 = 2001|isbn =978-0-387-95183-6|doi=10.1007/978-1-4419-8616-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=131|issn=0072-5285|판=2|언어=en}}</ref>{{rp|153}}
{| style="text-align:center"
| [[체 (수학)|체]] || ⇒ || [[정역]]
|-
| ⇓ || || ⇓ || ⇘
|-
|[[나눗셈환]] || ⇒ || [[영역 (환론)|영역]] || ⇒ || [[축소환]]
|-
| ⇓ || || ⇓ || || ⇓
|-
| 左·右 [[원시환]] || ⇒ || 소환 || ⇒ || [[반소환]]
|}

[[가환환]]의 경우, 이 함의는 다음과 같이 단순해진다.
{| style="text-align:center"
| [[체 (수학)|체]] ||  || [[정역]]
|-
| ⇕ || || ⇕
|-
|[[나눗셈환]] || ⇒ || [[영역 (환론)|영역]] || ⇒ || [[축소환]]
|-
| ⇕ || || ⇕ || || ⇕
|-
| 左·右 [[원시환]] ||  || 소환 ||  || [[반소환]]
|}

소환 <math>R</math>의 [[환의 중심|중심]] <math>Z(R)</math>는 [[정역]]이다. 따라서, 소환의 [[환의 표수|표수]]는 0이거나 [[소수 (수론)|소수]]이다.<ref name="Lam"/>{{rp|168, Exercise 10.0}}

== 예 ==
[[정역]] <math>D</math> 위의 [[행렬환]] <math>\operatorname{Mat}(n;D)</math>은 소환이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Prime ring}}
* {{매스월드|id=PrimeRing|title=Prime ring}}

{{전거 통제}}

[[분류:환론]]