소수의 역수의 합의 발산성 문서 원본 보기

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기원전 3세기경에 [[유클리드]]는 무한히 많은 [[소수 (수론)|소수]]가 존재함을 증명하였다. 18세기에 [[레온하르트 오일러]]가 소수의 역수의 합이 발산한다는 좀 더 강력한 정리를 증명하였다. 다시 말해서,
:<math>\sum_{p\text{ prime }}\frac1p = \frac12 + \frac13 + \frac15 + \frac17 + \frac1{11} + \frac1{13} + \frac1{17} +\cdots = \infty.</math>
현재 다음과 같은 사실도 알려져 있다.
:<math>\sum_{\scriptstyle p\text{ prime }\atop \scriptstyle p\le n}\frac1p \ge \ln \ln (n+1) - \ln\frac{\pi^2}6</math>

== 조화급수 ==
먼저 오일러는 [[조화급수]](harmonic series)가 발산함을 발견하였다. 즉, 다음의 급수가 발산한다.
: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots. </math>
오일러는 [[오일러의 곱셈 공식]](Euler product formula)를 이용하여 소수가 무한함을 증명하였다.
: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-1}}
=\prod_{p} \left( 1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\cdots \right).
</math>
여기서 곱은 모든 소수에 대해 계산한다. 위 결과는 [[산술의 기본정리]] 때문에 성립한다.


== 증명법 ==
{{참고|en:Proof that the sum of the reciprocals of the primes diverges|설명=좀 더 다양한 계산법에 대해서는}}
=== 첫 번째 증명 ===
오일러 곱셈 공식을 이용하여 약간의 논리적인 갭을 수반하는 다음의 계산이 가능하다. 먼저 <math>\ln (1 - x)</math>의 [[테일러 전개]]를 통해 다음과 같이 계산한다.
: <math>
\begin{align}
\ln \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\right) & {} = \ln \left( \prod_p \frac{1}{1-p^{-1}}\right)
= \sum_p \ln \left( \frac{1}{1-p^{-1}}\right) = \sum_p - \ln(1-p^{-1}) \\
& {} = \sum_p \left( \frac{1}{p} + \frac{1}{2p^2} + \frac{1}{3p^3} + \cdots \right) = \left( \sum_{p}\frac{1}{p} \right) + \sum_p \frac{1}{p^2} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3p} + \frac{1}{4p^2} + \cdots \right) \\
& {} < \left( \sum_p \frac{1}{p} \right) + \sum_p \frac{1}{p^2} \left( 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots \right) = \left( \sum_p \frac{1}{p} \right) + \left( \sum_p \frac{1}{p(p-1)} \right) \\
& {} = \left( \sum_p \frac{1}{p} \right) + C
\end{align}
</math>
마지막 등식의 <math>C</math>는 어느 상수이다. 이로써 발산하는 속도가 <math>\ln \ln n</math>에 근접함을 알 수 있다.

=== 두 번째 증명 ===
<math>n</math> 번째 소수를 <math>p_n</math>라 쓰기로 하자.
수렴한다고 가정해서 모순을 이끌어 낸다. 만약 수렴한다면, 무한급수에서 적당히 앞부분을 잘라 나머지 부분이 1/2 보다 작게 만들 수 있다. 즉, 다음 부등식을 만족하는 어떤 <math>k</math>가 있다.
:<math>\sum_{m=k+1}^{\infty}\frac{1}{p_m} < \frac{1}{2}</math>
그 잘라낸 소수들을 모두 곱한 값을 <math>Q</math>라고 해 보자. 즉, <math>Q = p_1 \cdots p_k</math>라 하면, 모든 자연수 <math>n</math>에 대해 <math>1+nQ</math>는 <math>p_1</math>부터 <math>p_k</math>까지 어느 소수로도 나누어떨어지지 않는다. 따라서 <math>n</math>의 값에 관계 없이 <math>1+nQ</math>의 모든 소인수는 <math>p_{k + 1}</math> 이후의 소수들이 된다.

그리하여 모든 1보다 큰 <math>r</math>에서 다음 부등식이 성립한다.
:<math>\sum_{n=1}^{r}\frac{1}{1+nQ} \le \sum_{t=1}^{\infty} \left( \sum_{m=k+1}^{\infty}\frac{1}{p_m}\right)^t < \sum_{t=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^t</math>
두 번째 부등식은 가정에 의해 성립한다. 첫 번째 부등식은 <math>1+nQ</math>의 소인수가 모두 <math>p_{k+1}</math>이후의 소수이므로 우변을 전개하면 좌변의 모든 항이 들어있게 된다. 그런데 좌변은 [[적분판정법]]으로 발산함을 알 수 있고 우변은 [[무한등비급수]]이므로 수렴한다. 따라서 모순이 된다.
== 같이 보기 ==
* [[유클리드의 정리]]

{{급수}}

[[분류:급수]]
[[분류:소수에 관한 정리]]