세타 지표 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]에서 '''세타 지표'''(θ指標, {{llang|en|theta characteristic}})는 [[대수 곡선]]의 [[표준 선다발]]의 제곱근이다. [[리만 곡면]]의 경우, 이는 [[스핀 구조]]에 해당한다.<ref>{{저널 인용 | last=Atiyah | first=Michael Francis | authorlink=마이클 아티야 | title=Riemann surfaces and spin structures | url=http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1971_4_4_1_47_0 | mr=0286136 | 날짜=1971 | journal=Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Quatrième Série | issn=0012-9593 | volume=4 | pages=47–62}}</ref>

== 정의 ==
[[대수 곡선]] <math>C</math> 위에는 항상 [[표준 선다발]] <math>\mathcal L_K</math>가 존재한다. 대수 곡선 <math>C</math>의 '''세타 지표''' <math>\mathcal L_\Theta</math>는 다음을 만족시키는 정칙 선다발이다.
:<math>\mathcal L_\Theta\otimes\mathcal L_\Theta=\mathcal L_K</math>
즉, [[인자 (대수기하학)|인자]]로 쓰면 다음과 같다.
:<math>2\Theta=K</math>
세타 지표들의 공간은 <math>\operatorname{Th}(C)</math>라고 쓴다.

[[아벨 군]]으로 간주한 [[야코비 다양체]] <math>J(C)</math>의 2차 [[꼬임 부분군]]
:<math>J_2(C)=\{L\in J(C)\colon L\otimes L=\mathcal O_C\}</math>
을 생각하자. 이는 [[유한체]] <math>\mathbb F_2</math>에 대한 [[벡터 공간]]을 이룬다. 임의의 원소 <math>L\in J_2(C)</math> 및 세타 지표 <math>\mathcal L_\Theta\in\operatorname{Th}(C)</math>에 대하여, <math>L\otimes\mathcal L_\Theta</math> 역시 세타 지표를 이룬다. 따라서, 세타 지표의 공간 <math>\operatorname{Th}(C)</math>는 <math>J_2(C)</math>에 대한 [[아핀 공간]]을 이룬다.

== 성질 ==
[[표준 선다발]]의 차수는 <math>\deg K=2g-2</math>이므로, 세타 지표의 차수는 <math>\deg\Theta=g-1</math>이다.

종수가 <math>g</math>이며, [[대수적으로 닫힌 체]]에 대한 [[대수 곡선]]의 경우, 총 <math>2^{2g}</math>개의 세타 지표가 존재한다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|url=http://www.math.lsa.umich.edu/~idolga/CAG.pdf|제목=Classical algebraic geometry: a modern view|출판사=Cambridge University Press|날짜=2012-10|이름=Igor V.|성=Dolgachev|isbn=9781107017658|zbl=1252.14001|doi=10.1017/CBO9781139084437|언어=en|확인날짜=2014-05-30|보존url=https://web.archive.org/web/20140531105635/http://www.math.lsa.umich.edu/~idolga/CAG.pdf|보존날짜=2014-05-31|url-status=dead}}
*{{저널 인용 | last=Farkas | first=Gavril | title=Theta characteristics and their moduli | arxiv=1201.2557 | 날짜=2012|bibcode=2012arXiv1201.2557F|저널=Milan Journal of Mathematics|권=80|쪽=1–24|zbl=1261.14016|언어=en}}
*{{저널 인용 | last=Mumford | first=David | authorlink=데이비드 멈퍼드 | title=Theta characteristics of an algebraic curve| url=http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1971_4_4_2_181_0 | mr=0292836 | 날짜=1971 | journal= Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure (sér. 4) | volume=4 | issue=2 | pages= 181–192|언어=en }}

== 같이 보기 ==
* [[세타 함수]]
* [[스핀 다양체]]

{{전거 통제}}

[[분류:대수 곡선]]