섭동 이론 문서 원본 보기

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{{다른 뜻|섭동 (천문학)}}
[[수학]]과 [[물리학]]에서 '''섭동 이론'''({{lang|en|perturbation theory}}, 攝動理論) 또는 '''미동 이론'''(微動理論)은 해석적으로 풀 수 없는 문제의 해를 매우 작다고 여길 수 있는 매개변수들의 [[테일러 급수]]로 나타내는 이론이다. 매개변수들이 매우 작으므로, 급수의 유한개의 항을 계산하여 근사적인 해를 얻을 수 있다.

== 이체 문제에서의 섭동 이론 ==
[[이체 문제]]의 해는 [[비네 방정식]]으로 나타내어진다.
:<math>u''+u=-F(u)L^2/\mu u^2</math>.
[[만유인력]]의 경우, <math>F(u)=-GMmu^2</math>이다. 이 경우에는 비네 방정식은 다음과 같다.
:<math>u''+u=GMmL^2/\mu=k</math>.
그 해는
:<math>u(\theta)=k(1-\epsilon\cos(\theta-\theta_0))</math>
임을 쉽게 알 수 있다. 여기서 <math>\epsilon</math>과 <math>\theta_0</math>는 [[적분 상수]]이다.

이제, 만유인력에 작은 퍼텐셜이 더해진다고 하자. 예를 들어, 다음과 같은 퍼텐셜을 생각하자. (이 퍼텐셜은 [[일반 상대성 이론]]에 등장한다.)
:<math>F(u)L^2/\mu=ku^2+\alpha u^4</math>.
이 경우에는 비네 방정식은 다음과 같다.
:<math>u''+u=k+\alpha u^2</math>.
이제는 해를 해석적으로 풀기 더 힘들다. 그러나 <math>\alpha</math>가 매우 작다면 그 해가 만유인력에 대한 해에 가까울 것이라고 추측할 수 있다. 이러한 [[가설 풀이]] 아래 다음과 같이 놓자.
:<math>u_0(\theta)=k(1-\epsilon\cos\theta)</math>
:<math>u(\theta)=u_0(\theta)+\alpha k u_1(\theta)+\alpha^2k^2u_2(\theta)+\cdots</math>.
(편의상 <math>\theta_0=0</math>으로 좌표를 잡자.)
이를 다시 비네 방정식에 대입하면 다음과 같다.
:<math>u_1''+u_1= u_0^2/k =k\left( 1+\frac12\epsilon^2-2\epsilon\cos\theta+\frac12\epsilon^2\cos2\theta\right)</math>.
따라서
:<math>u_1/k=1+\frac12\epsilon^2+\frac12\epsilon-\epsilon\theta\sin\theta
-\frac16\epsilon^2\cos2\theta</math>
이다. 마찬가지로, <math>u_2</math>, <math>u_3</math> 등도 계산할 수 있다.

이 경우,
:<math>u_0+\alpha k^2u_1=-k\epsilon(\cos\theta+\alpha k\theta\sin\theta)+\cdots
\approx-k\epsilon\cos(\theta(1-\alpha k))+\cdots</math>
이므로, 극지점 세차({{lang|en|apsidial precession}})는 공전 주기당 약 <math>2\pi\alpha k</math> 라디안인 것을 알 수 있다.

== 양자역학에서의 섭동 이론 ==
{{본문|섭동 이론 (양자역학)}}
[[양자역학]]에는 여러 종류의 섭동 이론이 쓰인다. 흔히 쓰이는 [[레일리-슈뢰딩거 섭동 이론]]과 [[다이슨 급수]] 이외에도, [[리프먼-슈윙거 방정식|보른 급수]]나 [[WKB 근사|WKB 급수]]도 섭동 이론의 일종이다. 이 밖에도, 특수한 경우에 [[k·p 섭동 이론]]이나 [[묄러-플레셋 섭동 이론]] 등이 쓰인다.

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|제목={{lang|en|Perturbation theory (dynamical systems)}}|저자={{lang|nl|Henk Broer}}, {{lang|de|Heinz Hanßmann}}|연도=2008|저널={{lang|en|Scholarpedia}}|권=3|호=9|쪽=2399|doi=10.4249/scholarpedia.2399}}
* {{저널 인용|제목={{lang|en|Singular perturbation theory}}|저자=Thomas Witelski, Mark Bowen|연도=2009|저널=Scholarpedia|권=4|호=4|쪽=3951|doi=10.4249/scholarpedia.3951}}
* {{저널 인용|이름=Carson C.|성=Chow|제목={{lang|en|Multiple scale analysis}}|연도=2007|저널={{lang|en|Scholarpedia}}|권=2|호=10|쪽=1617|doi=10.4249/scholarpedia.1617}}
* {{저널 인용|제목={{lang|en|Kolmogorov-Arnold-Moser theory}}|저자={{lang|it|Luigi Chierchia}}, {{lang|en|John N. Mather}}|연도=2010|저널={{lang|en|Scholarpedia}}|권=5|호=9|쪽=2123|doi=10.4249/scholarpedia.2123}}

== 같이 보기 ==
* [[콜모고로프-아르놀트-모저 정리]]

{{전거 통제}}

[[분류:섭동 이론| ]]
[[분류:물리학 개념]]
[[분류:함수해석학]]
[[분류:상미분 방정식]]
[[분류:수리물리학]]
[[분류:계산화학]]
[[분류:점근 해석]]