선형 연속체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[순서론]]에서 '''선형 연속체'''(線型連續體, {{llang|en|linear continuum}})는 [[상한]]이 존재하는 [[조밀 순서|조밀]] [[전순서 집합]]이다.

== 정의 ==
'''선형 연속체''' <math>(L,\le)</math>는 다음 성질을 만족시키는 [[전순서 집합]]이다.<ref name="Munkres">{{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}</ref>{{rp|153}}
* [[공집합]]이 아닌 모든 [[유계 집합]]은 [[상한]]을 갖는다.
* [[조밀 순서]]이다.

== 성질 ==
[[전순서 집합]]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 선형 연속체이다.
* [[순서 위상]]을 가했을 때, [[연결 공간]]이다.

임의의 <math>a,b\in L</math>에 대하여, 만약 <math>a<b</math>라면, 다음 부분 집합들 역시 선형 연속체이다.
* <math>(a,\infty)=\{x\in L\colon a<x\}</math>
* <math>(\infty,a)=\{x\in L\colon x<a\}</math>
* <math>[a,\infty)=\{x\in L\colon a\le x\}</math>
* <math>(\infty,a]=\{x\in L\colon x\le a\}</math>
* <math>(a,b)=\{x\in L\colon a<x<b\}</math>
* <math>[a,b)=\{x\in L\colon a\le x<b\}</math>
* <math>(a,b]=\{x\in L\colon a<x\le b\}</math>
* <math>[a,b]=\{x\in L\colon a\le x\le b\}</math>

== 예 ==
선형 연속체의 예로는 다음을 들 수 있다.
* [[실수선]] <math>(\mathbb R,\le)</math>
** 실수의 (열린/닫힌) [[반직선]]
** 실수의 (열린/닫힌) [[구간]]
* [[긴 직선]]
** 이는 [[연결 공간]]이지만 [[축약 가능 공간]]이 아니다.
* [[사전식 순서]]를 부여한 <math>[0,1]\times[0,1]</math>

그러나 다음은 선형 연속체가 아니다.
* [[초실수]]선 <math>{}^*\mathbb R</math>
* [[유리수]]의 전순서 집합 <math>\mathbb Q</math>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Linear_Continuum|제목=Definition: linear continuum|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2015-01-27|archive-date=2021-05-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20210511155848/https://proofwiki.org/wiki/Definition:Linear_Continuum|url-status=}}
* {{웹 인용|url=https://www.proofwiki.org/wiki/Linearly_Ordered_Space_is_Connected_iff_Linear_Continuum|제목=Linearly ordered space is connected iff linear continuum|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2015-01-27|archive-date=2014-09-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20140910184115/https://proofwiki.org/wiki/Linearly_Ordered_Space_is_Connected_iff_Linear_Continuum|url-status=}}

== 같이 보기 ==
* [[수슬린 가설]]

[[분류:순서론]]
[[분류:일반위상수학]]