선적분의 기본정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''선적분의 기본정리'''는 다음과 같다.

집합 <math>\mathbb{R}^n</math>의 열린집합 <math>U</math>에서 정의된 벡터장 <math>F : U \longrightarrow \mathbb{R}^n</math>가 <math>\operatorname{grad}\varphi=F</math>인 일급함수 <math>\varphi: U\longrightarrow\mathbb{R}</math>가 존재하면 일급곡선 <math>X: [a, b]\longrightarrow U</math>를 따르는 [[선적분]]은
:<math>\int_X F\cdot ds=\varphi(X(b))-\varphi(X(a))</math>
로 주어진다.

(증명) <math>\int_X F\cdot ds=\int_a^b\operatorname{grad}\varphi(X(t))\cdot X'(t)dt=\int_a^b\frac{d}{dt}\varphi(X(t))dt=\varphi(X(b))-\varphi(X(a))</math>

== 선적분 기본정리의 역 ==
벡터장 <math>F : U \longrightarrow \mathbb{R}^n</math>의 선적분값이 곡선 <math>C</math>의 출발점과 도착점에만 의존하면 <math>\operatorname{grad}\varphi=F</math>인 함수 <math>\varphi: \mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}</math>가 존재한다.

(증명) 선적분값이 곡선의 출발점과 도착점에만 의존하므로 출발점을 <math>P</math>, 도착점을 <math>Q</math>라고 하면 선적분값을 <math>P</math>, <math>Q</math>의 함수 <math>f(P, Q)</math>로 나타낼 수 있다. 한 점을 <math>A</math>라고 할 때, <math>\varphi(X):=f(A, X)</math>로 놓으면
:<math>D_i\varphi(X)=\lim_{h\to0}\frac{\varphi(X+hE_i)-\varphi(X)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(X, X+hE_i)}{h}</math>
인데, 선적분값이 곡선의 출발점과 도착점에만 의존하므로 <math>f(X, X+hE_i)</math>는 점 <math>X</math>와 <math>X+hE_i</math>를 잇는 직선 <math>\ell</math>을 따라 선적분한 값이다. 직선 <math>\ell</math>을 <math>X+tE_i</math>로 매개화하면 직선의 속도벡터는 <math>E_i</math>이므로
:<math>\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\int_\ell F\cdot ds = \lim_{h\to0}\frac{1}{h}\int_0^hF(X+tE_i)\cdot E_i\,dt = \lim_{h\to0}\frac{1}{h}\int_0^hf_i(X+tE_i)dt = f_i(X)</math>
이다. 따라서 <math>\operatorname{grad}\varphi=F</math>이다.
== 같이 보기 ==
* [[상태 함수]]
* [[조르당 곡선 정리]]
* [[미분 (주요 부분)]]
* [[고전역학]]

{{전거 통제}}

[[분류:벡터 미적분학]]
[[분류:기본 정리]]