샤파레비치–베유 정리 문서 원본 보기

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[[대수적 수론]]에서 '''샤파레비치-베유 정리'''는 국소 또는 대역체의 [[갈루아 확대]]의 기본류를 [[갈루아 군]]의 확대과 관련시킨다. [[국소체]]인 경우 {{하버드 인용|Shafarevich|1946}}가,  [[대역체]]의 경우{{하버드 인용|Weil|1951}}가 도입했다.

==정리 ==
<math>F</math>는 대역체이고, <math>K</math>는 <math>F</math>의 일반 확대이고, <math>L</math>은 <math>K</math> 의 아벨 확대이라고 가정한다. 그러면 갈루아 군 <math>\text{Gal}(L:F)</math>은 아벨 군 <math>\text{Gal}(L:K) </math>에 의한 군 <math>\text{Gal}(K:F)</math>의 확대이고, 이 확대는 코호몰로지 군 <math>H^2(\text{Gal}(K:F), \text{Gal}(L:K)</math>의 원소에 해당한다. 반면 [[유체론]]은 <math>H^2(\text{Gal}(K:F), I_K)</math>에 [[기본류]]를 제공하고 <math>I_K</math>에서 <math>\text{Gal}(L:K) </math>로 가는 상호 법칙 사상을 제공한다. 샤파레비치-베유 정리는 확대 <math>\text{Gal}(L:F)</math>의 클래스가 상호 법칙 사상에 의해 유도된 코호몰로지 군의 준동형사상 하에 있는 기본류의 상이라고 말한다 {{하버드 인용|Artin|Tate|2009}}.

샤파레비치는 기본류보다는 나눗셈 대수 측면에서 국소체에 대한 자신의 정리를 명시했다{{하버드 인용|Weil|1967}} . 이 경우 <math>L</math> 이 <math>K</math>의 최대 아벨 확대인 경우 확대 <math>\text{Gal}(L:F)</math>은, 상호 법칙 사상 아래에서, <math>F</math> 위의 <math>[K:F]</math> 차원 나눗셈 대수에서 <math>K</math>의 정규화자에 해당하며 샤파레비치의 정리는 이 나눗셈 대수의 헤세 불변량은  <math>1/[K:F]</math>이라고 한다. 정리의 이전 버전과의 관계는 나눗셈 대수가 두 번째 코호몰로지 군(브라우어 군)의 원소에 해당하고 이 대응 하에서 헤세 불변량  <math>1/[K:F]</math>를 갖는 나눗셈 대수가 기본류에 해당한다는 것이다.

== 참고문헌 ==

* {{인용|last1=Artin|first1=Emil|author1-link=Emil Artin|last2=Tate|first2=John|author2-link=John Tate (mathematician)|title=Class field theory|origyear=1952|url=https://books.google.com/books?isbn=978-0-8218-4426-7|publisher=AMS Chelsea Publishing, Providence, RI|isbn=978-0-8218-4426-7|mr=0223335|year=2009}}
* {{인용|mr=0018170|last=Shafarevich|first=I. R.|title=On Galois groups of p-adic fields.|journal=C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS|series=New Series|volume=53|year=1946|pages=15–16}} Reprinted in his collected works, pages 4–5
* {{인용|last1=Weil|first1=André|author1-link=André Weil|title=Sur la theorie du corps de classes|year=1951|journal=Journal of the Mathematical Society of Japan|issn=0025-5645|volume=3|pages=1–35|doi=10.2969/jmsj/00310001|mr=0044569|doi-access=free}}, reprinted in volume I of his collected papers, {{ISBN|0-387-90330-5}}
* {{인용|mr=0234930|last=Weil|first=André|title=Basic number theory.|series=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|volume=144|publisher=Springer-Verlag New York, Inc., New York|year=1967|isbn=3-540-58655-5|chapter=Appendix III:Shafarevitch's theorem|pages=301–307}}

[[분류:대수적 수론 정리]]