샤우데르 기저 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[함수해석학]]에서 '''샤우데르 기저'''(Schauder基底, {{llang|en|Schauder basis}})는 [[위상 벡터 공간]]에 대하여 정의되는, [[벡터 공간]]의 [[기저 (선형대수학)|기저]]와 유사한 개념이다.<ref>{{서적 인용|제목=바나하공간론|저자=조총만|총서=대우학술총서|권=485|isbn=978-89-8910318-9|출판사=아카넷|url=http://www.acanet.co.kr/book/book_detail.php?book_id=284|날짜=2000|언어=ko|확인날짜=2017-01-01|보존url=https://web.archive.org/web/20160805201245/http://www.acanet.co.kr/book/book_detail.php?book_id=284|보존날짜=2016-08-05|url-status=dead}}</ref>{{rp|§10, 89–102}} 그러나 [[벡터 공간]]의 [[기저 (선형대수학)|기저]]에서는 모든 원소가 유한 개의 기저 벡터의 합으로 나타내어지는 반면, 샤우데르 기저의 경우 모든 원소는 샤우데르 기저 벡터들의 무한 [[급수 (수학)|급수]]로 나타내어진다.

== 정의 ==
<math>N\in\{0,1,2,\dots,\infty\}</math>라고 하자. [[위상체]] <math>K</math> 위의 [[위상 벡터 공간]] <math>V</math> 위의 '''샤우데르 기저''' <math>\{e_i\}_{i=1}^N\subset V</math>는 다음 조건을 만족시키는 원소들의 [[수열|열]]이다.
* 임의의 원소 <math>v\in V</math>에 대하여, <math>\textstyle v=\sum_{i=1}^N a_ie_i</math>가 되는 [[수열]] <math>\{a_i\}_{i=1}^N\subset K</math>이 유일하게 존재한다.
여기서 <math>N=\infty</math>일 경우 [[급수 (수학)|급수]]의 [[수렴]]은 <math>V</math>의 위상으로 정의된다.

<math>N=\infty</math>일 경우, 샤우데르 기저의 순서가 중요한데, 이는 위 [[급수 (수학)|급수]]의 수렴이 [[절대 수렴]]이 아닐 수 있기 때문이다. 반면, <math>N<\infty</math>일 경우 샤우데르 기저의 순서는 중요하지 않으며, 이 경우 [[벡터 공간]]의 일반적 [[기저 (위상수학)|기저]]의 개념와 일치한다.

[[바나흐 공간]] <math>(V,\|{-}\|)</math> 위의 샤우데르 기저 <math>\{e_i\}_{i=1}^N</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''정규 샤우데르 기저'''(正規Schauder基底, {{llang|en|normalized Schauder basis}})라고 한다.
* 모든 <math>i=1,\dots,N</math>에 대하여, <math>\|e_i\|=1</math>

=== 무조건 샤우데르 기저 ===
<math>N\in\{0,1,2,\dots,\infty\}</math>라고 하자. [[위상체]] <math>K</math> 위의 [[위상 벡터 공간]] <math>V</math> 위의 샤우데르 기저 <math>\{e_i\}_{i=1}^N\subset V</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''무조건 샤우데르 기저'''(無條件Schauder基底, {{llang|en|unconditional Schauder basis}})라고 한다.
* 임의의 <math>v\in V</math> 및 <math>\{1,2,\dots,N\}</math>의 임의의 [[순열]] <math>\sigma\in\operatorname{Sym}(\{1,2,\dots,N\})</math>에 대하여, <math>\textstyle v=\sum_{i=1}^Na_ie_i</math>라고 하면, <math>\textstyle\sum_{i=1}^Na_{\sigma(i)}e_{\sigma(i)}</math> 역시 [[수렴]]한다.
무조건 샤우데르 기저는 [[전순서]]를 무시할 수 있다. <math>N<\infty</math>인 샤우데르 기저는 무조건 샤우데르 기저이다.

== 성질 ==
=== 균등 유계성 ===
<math>K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math> 위의 [[바나흐 공간]] <math>V</math>의 샤우데르 기저 <math>\{e_i\}_{i=1}^N</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면
:<math>T_i\colon\sum_{i=1}^Na_ie_i\mapsto a_i</math>
는 모두 [[유계 작용소]]이다. 사실, 만약 <math>\{e_i\}_{i=1}^N</math>가 정규 샤우데르 기저라면, [[균등 유계성 원리]]에 따라
:<math>\sup\{\|T_i\|\}_{i=1}^N<\infty</math>
이다. (여기서 <math>\|{-}\|</math>는 [[작용소 노름]])

=== 존재 ===
샤우데르 기저를 가지는 [[바나흐 공간]]은 항상 [[분해 가능 공간]]이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>이며, <math>K</math>-[[바나흐 공간]] <math>V</math>의 샤우데르 기저 <math>\{e_i\}_{i=1}^N</math>이 주어졌다고 하자 (<math>N\in\{0,1,\dots,\infty\}</math>). 그렇다면,
:<math>\tilde K=\begin{cases}\mathbb Q&K=\mathbb R\\
\mathbb Q+\mathrm i\mathbb Q&K=\mathbb C
\end{cases}</math>
를 정의하고,
:<math>\tilde V=\left\{a_1e_1+a_2e_2+\cdots+a_ne_n\colon n\in\mathbb N,\;a_1,a_2,\dots,a_n\in\tilde K\right\}\subset V</math>
를 생각하자. <math>\tilde V</math>는 [[가산 집합]]이므로, <math>\tilde V</math>가 [[조밀 집합]]임을 보이면 족하다.

임의의 원소
:<math>V\ni v=\sum_{i=1}^Nb_ie_i\qquad(b_i\in K\forall i=1,\dots,N)</math>
및 임의의 양의 실수 <math>\epsilon\in\mathbb R^+</math>가 주어졌다고 하자. 이제, <math>\|v-\tilde v\|<\epsilon</math>인 <math>\tilde v\in D</math>를 찾으면 족하다.

<math>\tilde K\subset K</math>의 조밀성으로 인하여,
:<math>|b_i-\tilde b_i|<\frac{\epsilon}{2^i\|e_i\|}</math>
인 <math>\tilde b_i\in\tilde K</math>를 고를 수 있다. 그렇다면
:<math>\tilde v=\sum_{i=1}^N\tilde b_ie_i</math>
로 놓으면, [[삼각 부등식]]으로 인하여
:<math>\|v-\tilde v\|\le\sum_{i=1}^N|b_i-\tilde b_i|\cdot\|e_i\|
<\epsilon\sum_{i=1}^N2^{-i}\le\epsilon</math>
이다.
</div></div>
그러나 샤우데르 기저를 갖지 않는 [[분해 가능 공간|분해 가능]] [[바나흐 공간]]이 존재한다.<ref name="Enflo">{{저널 인용|제목=A counterexample to the approximation problem in Banach spaces|url=http://www.cnd.mcgill.ca/~ivan/PerEnfloAcounterexampleToTheApproximationProblemInBanachSpaces.pdf|저널=Acta Mathematica|날짜=1973-07|권=130|호=1|쪽=309–317|이름=Per|성=Enflo|저자링크=페르 엔플로|issn=0001-5962|doi=10.1007/BF02392270|언어=en|확인날짜=2016년 6월 6일|보존url=https://web.archive.org/web/20160303214049/http://www.cnd.mcgill.ca/~ivan/PerEnfloAcounterexampleToTheApproximationProblemInBanachSpaces.pdf|보존날짜=2016년 3월 3일|url-status=dead}}</ref>

=== 기본열 ===
[[바나흐 공간]] <math>V</math>의 원소의 [[수열|열]] <math>\{v_i\}_{i=1}^\infty\subseteq V</math>가 [[선형 생성]]
:<math>\operatorname{Span}\{v_i\}_{i=1}^\infty=\{a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_kv_k\colon k\in\mathbb Z^+,\;a_1,\dots,a_k\in K\}</math>
의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]의 샤우데르 기저를 이룬다면, 이를 '''기본열'''(基本列, {{llang|en|basic sequence}})이라고 한다. 만약 기본열이 그 [[선형 생성]]의 폐포의 무조건 샤우데르 기저를 이룬다면, 이를 '''무조건 기본열'''(無條件基本列, {{llang|en|unconditional basic sequence}})라고 한다.

모든 무한 차원 바나흐 공간은 기본열을 가진다. 그러나 무조건 기본열을 갖지 않는 무한 차원 바나흐 공간이 존재한다.<ref>{{저널 인용|날짜=1993-10|arxiv=math/9205204|제목=The unconditional basic sequence problem|이름=W. T.|성=Gowers|저자링크=윌리엄 티머시 가워스|이름2=B.|성2=Maurey|bibcode=1992math......5204G|mr=1201238|저널=Journal of the American Mathematical Society|권=6|호=4|doi=10.1090/S0894-0347-1993-1201238-0|issn=0894-0347|언어=en}}</ref>

== 예 ==
[[분해 가능 공간|분해 가능]] [[힐베르트 공간]]의 [[정규 직교 기저]]는 항상 무조건 샤우데르 기저이다.

[[르베그 공간|L<sup>''p''</sup> 공간]] <math>\ell^p=\operatorname L^p(\mathbb N)</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면 표준 기저
:<math>\{(e_n)_i=\delta_{ni}\}_{n\in\mathbb N}</math>
은 <math>1\le p<\infty</math>에 대하여 샤우데르 기저를 이룬다.

== 역사 ==
[[파일:MazurGes.jpg|섬네일|[[페르 엔플로]]에게 거위를 증정하는 [[스타니스와프 마주르]]]]
[[율리우시 샤우데르]]가 1927년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용
 | last = Schauder |first = Julius | 저자링크=율리우시 샤우데르
 | title = Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalraumen
 | journal = Mathematische Zeitschrift
 | volume = 26
 | year = 1927
 | pages = 47–65
 | doi=10.1007/BF01475440 | 언어=de}}</ref>

[[스타니스와프 마주르]]는 1936년 11월 6일에 모든 [[분해 가능 공간|분해 가능]] [[바나흐 공간]]이 샤우데르 기저를 가지는지에 대한 문제를 제기하였고, 이를 증명하는 이에게 살아있는 [[거위]]를 포상하겠다고 공언하였다. 1973년에 [[스웨덴]]의 [[페르 엔플로]]가 이 문제를 부정적으로 해결하였고,<ref name="Enflo"/> 마주르는 엔플로에게 살아있는 거위를 선물하였다. 이 장면은 전 폴란드에 텔레비전으로 중계되었다.

== 같이 보기 ==
* [[바나흐 공간]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=Christopher|성=Heil|제목=A basis theory primer (expanded edition)|출판사=Birkhäuser|날짜=2011|doi=10.1007/978-0-8176-4687-5|isbn=978-0-8176-4686-8|issn=2296-5009|총서=Applied and Numerical Harmonic Analysis|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Semadeni|성=Zbigniew|날짜=1982|제목=Schauder bases in Banach spaces of continuous functions|권=918|총서=Lecture Notes in Mathematics|issn=0075-8434|출판사=Springer-Verlag|doi=10.1007/BFb0094629|isbn=978-3-540-11481-9|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Developments in Schauder basis theory|이름=C. W.|성=McArthur|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=78|호=6|날짜=1972-11|쪽=877-908 |doi=10.1090/S0002-9904-1972-13048-9 |issn=0273-0979|mr=0313766|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Basis}}
* {{eom|title=Normalized system}}
* {{매스월드|id=SchauderBasis|title=Schauder basis}}
* {{nlab|id=basis in functional analysis|title=Basis in functional analysis}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/44265/question-about-schauder-bases-in-c0-1|제목=Question about Schauder bases in C([0,1])|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/134727/what-classes-of-banach-spaces-are-known-to-have-schauder-basis|제목=What (classes of) Banach spaces are known to have Schauder basis?|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:함수해석학]]