샤르코우스키 정리 문서 원본 보기

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[[동역학계 이론]]에서 '''샤르코우스키 정리'''(Шарковський 定理, {{llang|en|Sharkovskii’s theorem}})는 [[구간]] 위의 연속 사상이 가질 수 있는 주기점의 주기들의 집합을 분류하는 정리다. 이에 따르면, 가능한 주기들의 집합은 양의 정수들 위의 어떤 특정한 [[전순서]]의 꼬리이다.

== 정의 ==
양의 정수의 집합 <math>\mathbb Z^+</math> 위에 다음과 같은 함수를 정의하자.
:<math>f\colon\mathbb Z^+\to(\mathbb N\cup\{\infty\})\times\mathbb Z</math>
:<math>f\colon 2^a(2b+3)\mapsto(a,b)\qquad(a,b\in\mathbb N)</math>
:<math>f\colon 2^a\mapsto(\infty,-a)\qquad(a\in\mathbb N)</math>
<math>(\mathbb N\cup\{\infty\})\times\mathbb Z</math> 위에 [[사전식 순서]]를 줄 수 있다. 이 [[전순서]]를 <math>f</math>를 통해 <math>\mathbb Z^+</math>에 부여할 수 있는데, 이를 '''샤르코우스키 순서'''(Шарковський順序, {{llang|en|Sharkovskii order}})라고 한다. 즉, 이는 다음과 같다.
:<math>3\prec5\prec7\prec9\prec\cdots\prec2\cdot3\prec2\cdot5\prec2\cdot7\prec\cdots\prec2^2\cdot3\prec2^2\cdot 5\prec\cdots\prec2^3\prec2^2\prec2^1\prec2^0</math>

[[구간]] <math>I\subseteq\mathbb R</math> 위에 정의된 [[함수]]
:<math>\phi\colon I\to I</math>
의 '''주기점'''({{llang|en|periodic point}})은
:<math>\overbrace{\phi\circ\cdots\circ\phi}^k(x)=\phi^k(x)=x</math>
인 <math>k\in\mathbb Z^+</math>가 존재하는 점이며, 이러한 최소의 양의 <math>k</math>를 주기점의 '''최소 주기'''({{llang|en|least period}})라고 한다. 예를 들어, [[고정점]]은 최소 주기가 1인 주기점과 같다.

'''샤르코우스키 정리'''에 따르면, 만약 <math>\phi\colon I\to I</math>가 [[연속 함수]]이며, <math>\phi</math>가 최소 주기가 <math>n\in\mathbb Z^+</math>인 주기점을 갖는다면, 모든 양의 정수 <math>m\succ n</math>에 대하여 최소 주기가 <math>m</math>인 <math>\phi</math>의 주기점이 존재한다. 특히, 만약 최소 주기가 3인 주기점이 존재한다면, 모든 양의 정수에 대하여 해당 최소 주기를 갖는 주기점이 존재한다.

또한, 샤르코우스키 정리의 역도 성립한다. 즉, 임의의 <math>n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, <math>\{m\in\mathbb Z^+\colon m\succeq n\}</math>이 최소 주기들의 집합인 연속 함수 <math>f\colon I\to I</math>가 존재한다.

=== 리-요크 정리 ===
구간 <math>I</math> 위의 연속 함수 <math>\phi\colon I\to I</math>가 최소 주기 3의 주기점을 갖는다면, 샤르코우스키 정리에 따라 모든 최소 주기의 주기점들이 존재한다. '''리-요크 정리'''([李]-Yorke定理, {{llang|en|Li–Yorke theorem}})<ref name="LiYorke">{{저널 인용|이름=Tien-Yien|성=Li|이름2=James A.|성2=Yorke|제목=Period three implies chaos|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1975-12_82_10/page/n16|저널=The American Mathematical Monthly|권=82|호=10|쪽=985–992|날짜=1975-12|jstor=2318254 |doi=10.2307/2318254|언어=en}}</ref>에 따르면, 최소 주기 3의 주기점이 존재한다면 다음 네 조건을 만족시키는 부분 집합 <math>S\subset I</math>가 존재한다.
* <math>S</math>는 주기점들을 포함하지 않는다.
* <math>|S|=2^{\aleph_0}</math>이다.
* 임의의 <math>x,y\in S</math>에 대하여 (<math>x\ne y</math>),
*:<math>\limsup_{n\to\infty}|\phi^n(x)-\phi^n(y)|>0</math>
*:<math>\liminf_{n\to\infty}|\phi^n(x)-\phi^n(y)|=0</math>
* 임의의 <math>x\in S</math> 및 주기점 <math>y\in I\setminus S</math>에 대하여,
*:<math>\limsup_{n\to\infty}|\phi^n(x)-\phi^n(y)|>0</math>

== 예 ==
[[로지스틱 사상]]의 경우, <math>r\gtrsim 1+\sqrt8</math>인 경우 최소 주기가 3인 주기점이 존재한다.<ref>{{저널 인용|성=Zhang|이름=Cheng|제목=Period three begins|저널=Mathematics Magazine|권=83|날짜=2010-10||쪽=295–297|언어=en}}</ref> 따라서, 이 경우 로지스틱 사상은 모든 가능한 최소 주기의 주기점이 존재한다. 그러나 이들은 (주기 3을 제외하면) 모두 불안정 주기점이며, 따라서 분기도에 나타나지 않는다.

샤르코우스키 정리는 고차원에서 성립하지 않으며, 또 구간이 아닌 다른 위상에서도 성립하지 않는다. 예를 들어, 원 <math>\mathbb R/\mathbb Z</math> 위에서 <math>x\mapsto x+1/3</math>의 경우 모든 점이 최소 주기 3의 주기점이지만, 다른 최소 주기의 주기점은 존재하지 않는다.

== 역사 ==
샤르코우스키 정리는 올렉산드르 미콜라요비치 샤르코우스키({{llang|uk|Олекса́ндр Миколайович Шарко́вський}}, {{llang|ru|Алекса́ндр Никола́евич Шарко́вский|알렉산드르 니콜라예비치 샤르콥스키}})가 1964년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=А. Н.|성=Шарковский|날짜=1964|제목=Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя|저널=Украинский математический журнал|권=16|호=1|쪽=61-71|issn=0041-6053|언어=ru}}</ref>

샤르코우스키의 업적은 서방 수학에서는 거의 알려지지 않고 있었다. 이후 1975년에 리톈옌({{zh|p=Lǐ Tiānyán|c=李天岩|hanja=이천암}}, {{llang|en|Tien-Yien Li}})과 제임스 요크({{llang|en|James A. Yorke}})는 리-요크 정리를 통해 주기 3의 경우의 샤르코우스키 정리의 특수한 경우를 재증명하였다.<ref name="LiYorke"/> 리톈옌과 요크는 샤르코우스키의 논문에 대하여 몰랐으나, 이후 샤르코우스키의 업적이 [[혼돈 이론]]의 일부로 재조명되었다. 리톈엔과 요크의 1975년 논문은 또한 "혼돈"({{llang|en|[[:wiktionary:ko:chaos|chaos]]|케이오스}})이라는 용어가 전문 용어로 최초로 사용된 문헌이다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용| last = Teschl| given = Gerald| title = Ordinary differential equations and dynamical systems| publisher=American Mathematical Society| | year = 2012| isbn= 978-0-8218-8328-0| url = http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/|언어=en}}
* {{저널 인용|성 = Misiurewicz|이름 = Michał |title = Remarks on Sharkovsky’s theorem|저널=The American Mathematical Monthly|권=104|호=9|날짜=1997-11|쪽=846-847|doi=10.2307/2975290|jstor=2975290|언어=en}}
* {{저널 인용|doi=10.4249/scholarpedia.1680|제목=Sharkovsky ordering|이름=Aleksandr Nikolayevich|성=Sharkovsky|날짜=2008|저널=Scholarpedia|권=3|호=5|쪽=1680|issn=1941-6016|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Remarks on Sharkovsky’s theorem|저널=Rocky Mountain Journal of Mathematics|권=15|호=2|쪽=565–570|doi=10.1216/RMJ-1985-15-2-565|mr=823266|zbl=0585.58031|issn=0035-7596|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=SharkovskysTheorem|title=Sharkovsky's theorem}}
* {{매스월드|id=PeriodThreeTheorem|title=Period three theorem}}
* {{웹 인용|url=http://divisbyzero.com/2008/12/18/sharkovskys-theorem/|제목=Sharkovsky’s theorem|이름=Dave|성=Richeson|웹사이트=Division by Zero|날짜=2008-12-18|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://vaughnclimenhaga.wordpress.com/2013/08/31/sharkovskys-theorem/|제목=Sharkovsky’s theorem|이름=Vaughn|성=Climenhaga|날짜=2013-08-31|웹사이트=Vaughn Climenhaga’s Math Blog|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[혼돈 (수학)]]
* [[분기 (동역학계)]]

[[분류:동역학계]]