삼차 형식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]과 [[대수적 수론]]에서, '''삼차 형식'''(三次型式, {{llang|en|cubic form}})은 어떤 [[벡터 공간]] 또는 [[가군]] 위에 정의된 3차 [[동차 다항식]]이다.<ref>{{서적 인용 | last1=Manin | first1=Yuri Ivanovich | author1-link=유리 마닌 | title=Cubic forms | origyear=1972 | url=https://books.google.com/books?id=W03vAAAAMAAJ | publisher=North-Holland | edition=2 | series=North-Holland Mathematical Library | isbn=978-0-444-87823-6 | mr=833513 | year=1986 | volume=4|언어=en}}</ref> 즉, [[선형 변환|선형 형식]]과 [[이차 형식]]의 다음 차수의 [[동차 다항식]]이다.

== 정의 ==
=== 표수 0의 경우 ===
가환환 <math>K</math>가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
* <math>\alpha-\beta \subseteq \operatorname{Unit}(K)</math>인 <math>\alpha,\beta\in\operatorname{Unit}(K)</math>가 존재한다.
여기서 <math>\operatorname{Unit}(K)</math>는 <math>K</math>의 [[가역원군]]이다.

특히, 만약 <math>K</math>에서 ½이 존재한다면, 이 조건이 충족된다. 이 경우
:<math>(\alpha,\beta) = (+1,-1)</math>
을 잡을 수 있다.

이 경우, <math>K</math>-[[자유 가군]] <math>M</math> 위의 '''삼차 형식'''은 다음 조건을 만족시키는 [[함수]]
:<math>f\colon K \to M</math>
이다.
:<math>f(\alpha x) = \alpha^3 f(x)\qquad\forall \alpha \in K,\;x\in M</math>

=== 일반적 경우 ===
일반적으로 삼차 형식의 분해를 잘 정의하기 위해서는 삼차 형식의 함수 말고도 스칼라 확대를 잘 정의하는 추가 데이터가 필요하다.<ref name="McCrimmon">{{서적 인용 | last=McCrimmon | first=Kevin | title=A taste of Jordan algebras | publisher=Springer-Verlag | 총서=Universitext | isbn=978-0-387-95447-9 | doi=10.1007/b97489 | 날짜=2004 | mr=2014924|zbl=1044.17001|언어=en}}</ref>{{rp|187–188, §Ⅱ.4.1}}

[[가환환]] <math>K</math> 위의 가군 <math>M</math> 위의 '''삼차 형식'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[함수]] <math>f\colon M \to K</math>
* 함수 <math>\tilde f \colon M \otimes_K K[t] \to K[t]</math>
이는 다음과 같은 호환 관계를 만족켜야 한다.
* <math>f(\alpha x) = \alpha^3 f(x)\qquad\forall \alpha\in K,\;x\in M</math>
* <math>f(\tilde\alpha \tilde x) = \tilde\alpha^3\tilde f(\tilde x)\qquad\forall \tilde\alpha\in K[t],\;\tilde x\in M\otimes_KK[t]</math>
* <math>\iota_{K\to K[t]}\circ f = f\circ\iota_{M\to M\otimes_KK[t]}</math>. 여기서 <math>\iota_{K\to K[t]} \colon K\to K[t]</math> 및 <mah>\iota_{M\to M\otimes_KK[t]} \colon M \to M\otimes_KK[t]</math>는 [[다항식환]]의 [[상수 함수|상수 다항식]]으로 가는 [[단사 함수|단사]] [[환 준동형]] 또는 [[가군 준동형]]이다.

만약 <math>K</math>가 “충분히 크다면” (즉, 첫째 정의에 등장하는 조건을 만족시킨다면), <math>\tilde f</math>를 <math>f</math>로부터 재구성할 수 있으나, 이는 일반적으로 성립하지 못할 수 있다.

=== 삼차 형식의 분해 ===
삼차 형식 <math>f\colon M\to K</math>가 주어졌을 때, <math>f</math>를
:<math>f(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\lambda_3x_3) =
\lambda_1\lambda_2\lambda_3 A(x_1,x_2,x_3)
+ \sum_{i,j=1}^3 \lambda_i^2 \lambda_j B(x_i,x_j)
+ \sum_{i=1}^3 \lambda_i^3 f(x_i)
 </math>
와 같이 분해할 수 있다. 여기서 <math>A</math>는 [[가군 준동형]]
:<math>A\colon \operatorname{Sym}^3(M;K) \to K</math>
을 정의하며,
:<math>A(x,y,z) = B(x+z,y) - B(x,y) - B(z,y)</math>
:<math>A(x,y,x) = 2B(x,y)</math>
:<math>A(x,x,x) = 6f(x)</math>
이다.

즉, 만약 <math>K</math>에서 6이 [[가역원]]이라면, <math>A</math>로부터 <math>f</math>를 재구성할 수 있다.

== 분류 ==
일반적으로 삼차 형식의 분류는 불가능하며, 그 분석은 복잡한 [[대수기하학]]을 요구한다. 다만, 비교적 간단한 체([[복소수체]], [[실수체]] 등)에서 2항 삼차 형식은 분류될 수 있다. 이는 <math>n</math>항 삼차 형식은
:<math>\binom{n+2}3 = (n+2)(n+1)n/6</math>
개의 계수를 갖는데, <math>n</math>차원 공간 위의 [[일반선형군]] <math>\operatorname{GL}(n;K)</math>은 <math>n^2</math>차원이다. 즉, 그 [[모듈라이 공간]]은 일반적으로 <math>(n+2)(n+1)n/6 - n^2</math>차원이 된다. <math>n=2</math>일 때 이는 0이지만, <math>n>2</math>일 때 이는 양수가 되게 된다.

=== 복소수 2항 삼차 형식 ===
모든 복소수 2항 삼차 형식은 <math>\operatorname{GL}(2;\mathbb C)</math>의 [[군의 작용|작용]]을 통해 다음과 같은 표준 형식 가운데 하나로 놓을 수 있다.<ref name="Banchi">{{서적 인용|제목=Typical ranks of ternary cubic forms over ℝ|이름=Maurizio|성=Banchi|기타=박사 학위 논문|출판사=Università degli Studi di Firenze|url=http://web.math.unifi.it/users/ottavian/tesi/tesidr_maurizio.pdf|날짜=2013|언어=en}}{{깨진 링크|url=http://web.math.unifi.it/users/ottavian/tesi/tesidr_maurizio.pdf }}</ref>{{rp|§4.2}}
* <math>x^3</math>
* <math>x^3+y^3</math>
* <math>x^2y</math>
* <math>0</math>

=== 실수 2항 삼차 형식 ===
모든 실수 2항 삼차 형식은 <math>\operatorname{GL}(2;\mathbb R)</math>의 [[군의 작용|작용]]을 통해 다음과 같은 표준 형식 가운데 하나로 놓을 수 있다.<ref name="Banchi"/>{{rp|§5.2}}
* <math>x^3</math>
* <math>x^3+y^3</math>
* <math>x^2y</math>
* <math>x(x^2 - y^2)</math>
* <math>0</math>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cubic form}}
* {{eom|title=Cubic hypersurface}}
* {{nlab|id=cubic curve|title=Cubic curve}}

[[분류:대수기하학]]