삼각 함수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻 넘어옴|원함수|어떤 함수를 도함수로 하는 함수|부정적분}}
{{다른 뜻 넘어옴|코사인|아프리카 남부의 민족|코사족}}
[[파일:Sine function001.svg|500px|섬네일|사인 함수와 코사인 함수]]
[[수학]]에서 '''삼각 함수'''(三角函數, {{llang|en|trigonometric functions, angle functions, circular functions 또는 goniometric functions}})는 [[각 (수학)|각]]의 크기를 [[삼각비]]로 나타내는 [[함수]]이다. 즉, 삼각형의 각도와 변의 길이의 관계를 나타낸 것이다. 예각 삼각 함수는 [[직각 삼각형]]의 [[예각]]에 직각 삼각형의 두 변의 길이의 비를 대응시킨다. 임의의 각의 삼각 함수 역시 정의할 수 있다. 삼각 함수는 복소수의 [[지수 함수]]의 실수 · 허수 부분이며, 따라서 [[복소수]]를 다룰 때 핵심적인 역할을 한다. 가장 근본적인 [[주기 함수]]이며, 각종 주기적 현상을 다룰 때 [[푸리에 급수]]의 형태로 등장한다.

삼각 함수에는 3개의 기본적인 함수가 있으며, 이들은 '''사인'''({{llang|en|sine}}, {{문화어|시누스}}, 기호 <math>\sin</math>) · '''코사인'''({{llang|en|cosine}}, {{문화어|코시누스}}, 기호 <math>\cos</math>) · '''탄젠트'''({{llang|en|tangent}}, {{문화어|탕겐스}}, 기호 <math>\tan</math>)라고 한다. 이들의 역수는 각각 '''코시컨트'''({{llang|en|cosecant}}, 기호 <math>\csc</math>) · '''시컨트'''({{llang|en|secant}}, 기호 <math>\sec</math>) · '''코탄젠트'''({{llang|en|cotangent}}, 기호 <math>\cot</math>)라고 한다.

== 정의 ==
=== 직각 삼각형을 통한 정의  ===
[[파일:Trigonometry triangle.svg|225px|섬네일|직각 삼각형]]
C가 직각인 삼각형 ABC에서, 각 A, B, C의 대변(마주보는 변)의 길이를 <math>a, b, h</math>라고 할 때, '''사인''', '''코사인''', '''탄젠트'''의 정의는 다음과 같다.
:사인: <math>\sin A = \frac{a}{h}</math>
:코사인: <math>\cos A = \frac{b}{h}</math>
:탄젠트: <math>\tan A = \frac{a}{b}</math>
또한, '''코시컨트''', '''시컨트''', '''코탄젠트'''는 위 세 함수의 역수가 되며, 다음과 같이 정의한다.
:코시컨트: <math>\csc A = \frac{h}{a} = \frac{1}{\sin A}</math>
:시컨트: <math>\sec A = \frac{h}{b} = \frac{1}{\cos A}</math>
:코탄젠트: <math>\cot A = \frac{b}{a} = \frac{1}{\tan A}</math>

=== 단위원을 통한 정의 ===
[[파일:Circle-trig6.svg|섬네일|255px|삼각 함수]]
[[좌표평면]]에서 원점을 중심으로 하고 반지름 r의 길이가 1인 원을 [[단위원]]이라고 한다. 이 단위원 위의 점 A <math>(x, y)</math>에 대해, <math>x</math>축과 점 A와 원점을 잇는 직선간의 각을 <math>\theta</math> 라고 하면, 다음과 같이 정의한다.
:
:<math>\sin \theta = \frac{y}{r}</math>
:<math>\cos \theta = \frac{x}{r}</math>
:<math>\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{y}{x}</math>
:<math>\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}</math>
:<math>\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}</math>
:<math>\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}</math>

=== 복소 삼각 함수 ===
[[오일러의 공식]] <math>\,  e^{ix}=\cos x+i\sin x </math>에 <math>\, x=b i </math>를 대입하면,
:<math>\, e^{-b}=\cos bi+i\sin bi </math>

<math>\, x=-bi </math>를 대입하면,
:<math>\, e^{b}=\cos (-bi)+i\sin (-bi)=\cos bi-i\sin bi </math>

연립하여 풀면, [[쌍곡선함수]],

:<math> \cos bi =\frac{e^{b}+e^{-b}}{2}=\cosh b</math>
<!-- :<math> \sin bi =\frac{e^{b}-e^{-b}}{2i}=i\sinh b</math> -->
:<math> i\sin bi ={{-e^{b}+e^{-b}} \over 2} \;,</math>
:<math> -i\sin bi ={{e^{b}-e^{-b}} \over 2}=\sinh b</math>

== 성질 ==
=== 주기성과 특이점 ===
사인 · 코사인 · 코시컨트 · 시컨트는 주기가 <math>2\pi</math>인 [[주기함수]]이다. 즉, 임의의 [[복소수]] <math>z\in\mathbb C</math>에 대하여,
:<math>\sin z=\sin(z+2\pi)</math>
:
:<math>\csc z=\csc(z+2\pi)</math>
:<math>\sec z=\sec(z+2\pi)</math>
탄젠트 · 코탄젠트는 주기가 <math>\pi</math>인 [[주기함수]]이다. 즉, 임의의 [[복소수]] <math>z\in\mathbb C</math>에 대하여,
:<math>\tan z=\tan(z+\pi)</math>
:<math>\cot z=\cot(z+\pi)</math>

[[사인]]과 [[코사인]]은 실수선 위에서 [[해석함수]]이며, 복소 평면 위에서 [[정칙함수]]이다. 이들은 복소 무한대 <math>\hat{\infty}</math>에서 [[본질적 특이점]]을 갖는다.<ref>([[울프럼알파]])http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin(x%2B2pi)</ref><ref>([[울프럼알파]])http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos(x%2B2pi)</ref>

탄젠트는 실수선의 <math>\pi/2+n\pi</math> (<math>n\in\mathbb Z</math>)에서 정의되지 않는다.
<gallery mode="packed" heights="220px">
파일:Sine cosine plot.svg|사인과 코사인의 그래프
파일:Tangent.svg|탄젠트 그래프
파일:Csc drawing process.gif|코시컨트 그래프
</gallery>

=== 특별한 값 ===
[[파일:Unit circle angles.svg|섬네일|255px|단위원 위의 각 점의 좌표]]
특별한 [[각 (수학)|각]]에서의 삼각 함수의 값은 다음과 같다.
:<math>{180^\circ} ={\pi } \; \mathrm{rad} </math>([[라디안]])
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! 특수각 !! sin !! cos !! tan
|-
! <math>0</math> (0˚)
|| <math>0</math> || <math>1</math> || <math>0</math>
|-
! <math>\pi/6</math> (30˚)
|| <math>1/2</math> || <math>\sqrt3/2</math> || <math>1/\sqrt3</math>
|-
! <math>\pi/4</math> (45˚)
|| <math>\sqrt2/2</math> || <math>\sqrt2/2</math> || <math>1</math>
|-
! <math>\pi/3</math> (60˚)
|| <math>\sqrt3/2</math> || <math>1/2</math> || <math>\sqrt3</math>
|-
! <math>\pi/2</math> (90˚)
|| <math>1</math> || <math>0</math> || 정의되지 않음
|}
[[파일:Sincos-theta0-90-001.svg|섬네일|0º , 90º  sin, cos, tan]]

=== 부호 ===
각 사분면에 따른 삼각 함수의 부호는 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
! 사분면
! &nbsp;sin과 csc&nbsp;
! &nbsp;cos과 sec&nbsp;
! &nbsp;tan와 cot&nbsp;
|- align=center
! I
| +
| +
| +
|- align=center
! II
| +
| &minus;
| &minus;
|- align=center
! III
| &minus;
| &minus;
| +
|- align=center
! IV
| &minus;
| +
| &minus;
|}

=== 항등식 ===
{{본문|삼각 함수 항등식}}
삼각 함수 사이에는 많은 항등식이 존재한다. 그중 가장 자주 쓰이는 것은 '''피타고라스 항등식'''으로, 어떤 각에 대해서도 사인의 제곱과 코사인의 제곱의 합은 1이다. 이는 반지름의 길이가 <math>r</math>인 빗변이고 밑변이 <math>b,</math> 각 <math>x</math>의 대변인 높이 <math>a</math>에 대하여 <math>\frac{a^2+b^2}{r^2}=\frac{r^2}{r^2}=1</math>를 만족한다는 [[피타고라스의 정리]]로 설명할 수 있다. 이를 삼각 함수로 나타내면 다음과 같다.

:<math>\, \sin^2 x  + \cos^2 x  = 1</math>
이것은 다음과 같다.
:<math>\sin^2 x  + \cos^2 x  = 1</math>
:<math>\left( {a  \over r} \right)^2   +  \left( {b  \over r} \right)^2 = 1</math>
:<math>\left( {a^2   \over r^2 } \right)   +  \left( {b^2   \over r^2 } \right) = 1</math>
:<math>{a^2+b^2 \over r^2}={r^2 \over r^2}=1</math>
:<math>a^2+b^2 =r^2=1 \; \because \; r= 1</math>
따라서, 이것은 또한 [[단위원]]에서 다음과 같다.
:<math>\left({\sqrt{3} \over 2} \right)^2+\left({1 \over 2} \right)^2=1</math>

===삼각 함수의 덧셈정리===
서로 다른 삼각 함수의 관계는 '''[[삼각 함수의 덧셈 정리]]'''이다. 두 각의 합과 차의 사인과 코사인은 x, y에 대한 사인과 코사인으로 구할 수 있다. 이는 [[코사인 법칙#제2코사인법칙|제2 코사인 법칙]]과 [[거리#기하학적인 거리|두 점 사이의 거리 공식]]을 연립해 유도할 수 있고, [[코사인 법칙#제1코사인법칙|제1 코사인 법칙]]과 [[사인 법칙]]을 연립해 유도할 수 있고, [[오일러의 공식]]을 이용해 유도할 수도 있다.

:<math>\sin \left(x \pm y\right)=\sin x \cos y \pm \cos x \sin y,</math>
:<math>\cos \left(x \pm y\right)=\cos x \cos y \mp \sin x \sin y</math> (복부호 동순)
두 각의 크기가 같을 경우에는 덧셈정리를 간단하게 배각공식을 이용할 수 있다.

모든 삼각 함수는 다른 삼각 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
{| class="wikitable"
|-class="hintergrundfarbe6"
! &nbsp;
! sin
! cos
! tan
! cot
! sec
! csc
|- align=center
!class="hintergrundfarbe8"| sin
| <math> \sin x </math>
| <math> \sqrt{1-\cos^2x} </math>
| <math> (\tan x)/\sqrt{1 + \tan^2x}</math>
| <math> 1/\sqrt{\cot^2x + 1} </math>
| <math> \sqrt{\sec^2(x)-1}/(\sec x)</math>
| <math> 1/(\csc x) </math>
|- align=center
!class="hintergrundfarbe8"| cos
| <math> \sqrt{1-\sin^2x} </math>
| <math> \cos x </math>
| <math>1/\sqrt{1 + \tan^2(x)}</math>
| <math> (\cot x)/\sqrt{\cot^2x+ 1} </math>
| <math> 1/(\sec x) </math>
| <math> \sqrt{\csc^2x-1}/(\csc x) </math>
|- align=center
!class="hintergrundfarbe8"| tan
| <math> (\sin x)/\sqrt{1-\sin^2 x} </math>
| <math> \sqrt{1-\cos^2x}/(\cos x)</math>
| <math> \tan x </math>
| <math> 1/(\cot x) </math>
| <math> \sqrt{\sec^2x-1} </math>
| <math> 1/\sqrt{\csc^2x-1} </math>
|- align=center
!class="hintergrundfarbe8"| cot
| <math> \sqrt{1-\sin^2x}/(\sin x) </math>
| <math> (\cos x)/\sqrt{1-\cos^2x} </math>
| <math> 1/(\tan x) </math>
| <math> \cot(x) </math>
| <math> 1/\sqrt{\sec^2x-1} </math>
| <math>\sqrt{\csc^2x-1} </math>
|- align=center
!class="hintergrundfarbe8"| sec
| <math> 1/\sqrt{1-\sin^2x} </math>
| <math> 1/(\cos x) </math>
| <math> \sqrt{1 + \tan^2 x} </math>
| <math> \sqrt{\cot^2x + 1}/(\cot x) </math>
| <math> \sec x </math>
| <math> (\csc x)/\sqrt{\csc^2(x)-1} </math>
|- align=center
!class="hintergrundfarbe8"| csc
| <math> 1/(\sin x)</math>
| <math> 1/\sqrt{1 - \cos^2x}</math>
| <math> \sqrt{1 + \tan^2 x}/(\tan x)</math>
| <math> \sqrt{\cot^2x + 1} </math>
| <math> (\sec x)/\sqrt{\sec^2x - 1} </math>
| <math> \csc x </math>
|}

=== 미분과 적분 ===
{{참고|미분표|적분표}}
다음은 6개의 기본 삼각 함수에 대한 도함수와 부정적분이다.

:{| class="wikitable"
|-
! 함수 <math>f(x)</math> !! 도함수 <math>f'(x)</math> || 부정적분 <math>\textstyle\int f(x)\,dx</math>
|-
| <math>\sin x</math>
| <math>\cos x</math>
| <math>-\cos x + C</math>
|-
| <math>\cos x</math>
| <math>-\sin x</math>
| <math>\sin x + C</math>
|-
| <math>\tan x</math>
| <math>\sec^2 x</math>
| <math>-\ln \left |\cos x\right | + C</math>
|-
| <math>\cot x</math>
| <math>-\csc^{2} x</math>
| <math>\ln \left |\sin x\right | + C</math>
|-
| <math>\sec x</math>
| <math>\sec{x}\tan{x}</math>
| <math>\ln \left |\sec x + \tan x\right | + C</math>
|-
| <math>\csc x</math>
| <math>-\csc{x}\cot{x}</math>
| <math>\ln \left |\csc x - \cot x\right | + C</math>
|}

== 응용 ==
=== 사인 법칙 ===
{{본문|사인 법칙}}
[[사인 법칙]]은 임의의 삼각형 ABC에서 각 '''A''', '''B''', '''C'''의 대변 ''a'', ''b'', ''c''에 대해 다음과 같은 관계를 만족함을 나타낸다.

:<math> \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} </math>
마찬가지로,
:<math> \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}=2R </math>
도 성립한다. 여기서 ''R''은 삼각형의 외접원의 반지름의 길이를 나타낸다.

=== 코사인 법칙 ===
{{본문|코사인 법칙}}
[[코사인 법칙]]에는 총 두 가지의 법칙이 있다.

'''코사인 제 1 법칙'''에 따르면,
:<math> c=b\cos A + a\cos B </math>

양변의 길이와 알고자 하는 변 사이의 두 각의 크기를 알 경우, 다른 한 변의 길이를 알아낼 때 사용할 수 있다.

'''코사인 제 2 법칙'''은 [[피타고라스의 정리]]를 확장한 것이다.
:<math> c^2=a^2+b^2-2ab\cos C </math>
가 성립하고, 위의 식을 변형하면
:<math> \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>
와 같이 나타낼 수 있다.

코사인법칙은 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 나머지 한 변의 길이를 구할 때 유용하게 쓸 수 있다. 또한 모든 변의 길이를 알고 있을 때 각의 코사인값을 구할 때에도 사용할 수 있다.

=== 탄젠트 법칙 ===
{{본문|탄젠트 법칙}}
탄젠트법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 '''A''', '''B'''의 대변 ''a'', ''b''에 다음과 같은 식을 만족시킨다.

:<math> \frac{a+b}{a-b} = \frac{\tan{{1 \over 2}(A+B)}}{\tan{{1 \over 2}(A-B)}} </math>

== 역사 ==
기원전 2~1세기 그리스의 [[히파르코스]]와 [[클라우디오스 프톨레마이오스|프톨레마이오스]] 등은 각도에 대해 달라지는 [[현 (기하학)|현]]의 길이를 다룬 적이 있다.

현재 쓰는 것과 같은 삼각 함수의 원형은 [[굽타 시대]] 인도 천문학에서 찾아볼 수 있다. 기원후 4~5세기 인도의 천문학 책이 산스크리트어에서 아랍어를 통해 라틴어로 번역되면서 유럽에 전해졌다. 5세기 초 발간된 [[인도]]의 천문학 서적 『수우르야 싯단타(Sūrya Siddhānt, 태양에 관한 지식)』에는 세계 최초로 삼각 함수에 관해 정확하고 자세하게 표현된 설명이 기록되어 있다.<ref>{{웹 인용|url=https://www.koreascience.or.kr/article/JAKO201013464397033.pdf|제목=한국수학사학회지 제23권 제1호(2010년 2월)|성=김|이름=종명|날짜=2010년 2월}}</ref>

삼각 함수가 동아시아에 전해진 것은 16~17세기 때이다.

== 어원 ==
영어 ‘사인({{lang|en|sine}})’은 라틴어 {{lang|la|sinus}}에서 왔는데, 이는 12세기의 유럽 번역가들이 아랍어 {{lang|ar|جَيْب}}({{transl|ar|jayb}})를 ‘옷의 목부분, 옷깃’으로 보고 라틴어로 번역한 것이다. 하지만 이 단어는 실제로는 ‘[[활시위]]’를 뜻하는 산스크리트어 {{lang|sa|ज्या}}({{transl|sa|jyā}}, [[베다 산스크리트어|베다]] {{transl|sa|jiyā́}})를 음차한 것이다.

‘탄젠트({{lang|en|tangent}})’는 ‘접한다’는 뜻의 라틴어 {{lang|la|tangens}}에서 왔고, ‘시컨트({{lang|en|secant}})’는 ‘자른다’는 뜻의 라틴어 {{lang|la|secans}}에서 왔다. 각각 원에 접하는 선과 자르는 선에 빗대어 붙인 이름이다.

코사인, 코탄젠트, 코시컨트의 ‘코(co-)’가 처음 쓰인 책으로는 {{임시링크|에드먼드 건터|en|Edmund Gunter}}의 {{lang|la|Canon triangulorum}}(1620년)이 있는데, ‘[[각 (수학)#기타 용어|여각]]의 사인’({{lang|la|sinus complementi}})을 ‘코사인({{lang|la|cosinus}})’으로 줄여 부른 것이다.

[[한자 문화권]]에서는 독일의 선교사·과학자인 {{임시링크|요한 슈렉|en|Johann Schreck}}이 명나라에서 저술한 《대측(大測)》(1631) 등의 책에서 사인·코사인·탄젠트를 각각 '''정현'''(正弦)·'''여현'''(餘弦)·'''정절'''(正切)이라고 번역했다. 코탄젠트·시컨트·코시컨트는 각각 '''여절'''(餘切)·'''정할'''(正割)·'''여할'''(餘割)이라 한다. 이 이름은 근대화되기 전의 조선·일본에서 쓰였고, 지금도 중국에서 쓰인다.

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
{{포털|수학}}
* [[싱크함수]]
* [[자연로그의 밑]]
* [[테일러 급수]]
* [[오일러의 등식]]
* [[원뿔]]
* [[헤론의 공식]]
* [[체비셰프 다항식]]
* [[베르누이 수]]
* [[역삼각 함수]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
{{위키책|en:Trigonometry}}
* {{매스월드|id=TrigonometricFunctions|title=Trigonometric functions}}
* [http://www.visionlearning.com/library/module_viewer.php?mid=131&l=&c3= Visionlearning Module on Wave Mathematics]
* [https://web.archive.org/web/20071006172054/http://glab.trixon.se/ GonioLab]: Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic functions
* [http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/ Dave's draggable diagram.] (Requires java browser plugin)
* [http://www.nj7p.org/Manuals/PDFs/Books/Sturley_1.pdf sinusoidal wave shape] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20170627063935/http://www.nj7p.org/Manuals/PDFs/Books/Sturley_1.pdf}}

{{전거 통제}}

[[분류:삼각법| ]]
[[분류:초등 특수 함수]]
[[분류:단항 연산]]