삼각 치환 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{미적분학}}
[[미적분학]]에서 '''삼각 치환'''(三角置換, {{llang|en|trigonometric substitution}})은 변수를 [[삼각 함수]]로 [[치환 적분|치환]]하여 [[적분]]하는 기법이다. 

== 정의 ==
'''삼각 치환'''은 다음과 같은 꼴의 함수의 적분을 구하는 데 사용된다.<ref name="zhoumq">{{서적 인용
|저자=周民强
|제목=数学分析习题演练. 第一册
|언어=zh
|판=2
|출판사=科学出版社
|위치=北京
|날짜=2010
|isbn=978-7-03-028183-8
}}</ref>{{rp|342}}
:<math>R(x,\sqrt{a^2-x^2}),\;R(x,\sqrt{a^2+x^2}),\;R(x,\sqrt{x^2-a^2})</math>
여기서 <math>R</math>는 [[유리 함수]]이며 <math>a>0</math>이다. 이는 <math>R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})</math>의 완전 제곱꼴의 분류이다. 삼각 치환은 <math>x</math>를 새 변수에 대한 삼각 함수(의 상수배)로 치환한 뒤 삼각 항등식을 통해 제곱근식을 소거한다. 각 경우에 사용되는 치환은 다음과 같다.<ref name="Larson">{{서적 인용
|성1=Larson
|이름1=Ron
|성2=Edwards
|이름2=Bruce
|제목=Calculus: Early Transcendental Functions
|언어=en
|판=6
|출판사=Cengage Learning
|위치=Boston, MA
|날짜=2013
|isbn=978-1-285-77477-0
|lccn=2013949101
}}</ref>{{rp|533}}<ref name="Gunther">{{서적 인용
|url=https://archive.org/details/integrationbytri00gunt
|성1=Gunther
|이름1=Charles O.
|성2=Webb
|이름2=J. Burkitt
|제목=Integration by trigonometric and imaginary substitution
|언어=en
|출판사=D. Van Nostrand company
|위치=New York
|날짜=1907
|lccn=07040021
}}</ref>{{rp|51}}
{| class="wikitable"
!적분
! colspan="4" |치환
!항등식
|-
| rowspan="2" |<math>\int R(x,\sqrt{a^2-x^2})\mathrm dx</math>
|<math>x=a\sin\theta</math>
|<math>-\pi/2\le\theta\le\pi/2</math>
|<math>\sqrt{a^2-x^2}=a\cos\theta</math>
|<math>\mathrm dx=a\cos\theta\mathrm d\theta</math>
|<math>1-\sin^2\theta=\cos^2\theta</math>
|-
|<math>x=a\cos\theta</math>
|<math>0\le\theta\le\pi</math>
|<math>\sqrt{a^2-x^2}=a\sin\theta</math>
|<math>\mathrm dx=-a\sin\theta\mathrm d\theta</math>
|<math>1-\cos^2\theta=\sin^2\theta</math>
|-
| rowspan="2" |<math>\int R(x,\sqrt{a^2+x^2})\mathrm dx</math>
|<math>x=a\tan\theta</math>
|<math>-\pi/2<\theta<\pi/2</math>
|<math>\sqrt{a^2+x^2}=a\sec\theta</math>
|<math>\mathrm dx=a\sec^2\theta\mathrm d\theta</math>
|<math>1+\tan^2\theta=\sec^2\theta</math>
|-
|<math>x=a\cot\theta</math>
|<math>0<\theta<\pi</math>
|<math>\sqrt{a^2+x^2}=a\csc\theta</math>
|<math>\mathrm dx=-a\csc^2\theta\mathrm d\theta</math>
|<math>1+\cot^2\theta=\csc^2\theta</math>
|-
| rowspan="2" |<math>\int R(x,\sqrt{x^2-a^2})\mathrm dx</math>
|<math>x=a\sec\theta</math>
|<math>0\le\theta\le\pi\land\theta\ne\pi/2</math>
|<math>\sqrt{x^2-a^2}=\begin{cases}
a\tan\theta&x>a\land 0\le\theta<\pi/2\\
-a\tan\theta&x<-a\land\pi/2<\theta\le\pi
\end{cases}</math>
|<math>\mathrm dx=a\sec\theta\tan\theta\mathrm d\theta</math>
|<math>\sec^2\theta-1=\tan^2\theta</math>
|-
|<math>x=a\csc\theta</math>
|<math>-\pi/2\le\theta\le\pi/2\land\theta\ne 0</math>
|<math>\sqrt{x^2-a^2}=\begin{cases}
a\cot\theta&x>a\land 0<\theta\le\pi/2\\
-a\cot\theta&x<-a\land-\pi/2\le\theta<0
\end{cases}</math>
|<math>\mathrm dx=-a\csc\theta\cot\theta\mathrm d\theta</math>
|<math>\csc^2\theta-1=\cot^2\theta</math>
|}
새 변수 <math>\theta</math>의 범위를 각각 [[아크사인]], [[아크탄젠트]], [[아크시컨트]]의 치역으로 정한 것은 각 치환을 [[단사 함수|단사]]로 만들기 위함이다.<ref name="Larson" />{{rp|533}} [[쌍곡 치환]]은 삼각 치환 대신에 쓰일 수 있다.<ref name="zhoumq" />{{rp|342}}<ref name="Stewart">{{서적 인용
|성=Stewart
|이름=James
|제목=Single Variable Calculus: Early Transcendentals
|언어=en
|판=7
|출판사=Cengage Learning
|위치=Belmont, CA
|날짜=2011
|isbn=978-0-538-49867-8
|lccn=2010936598
}}</ref>{{rp|482}}

== 예 ==
=== <math>\sqrt{a^2-x^2}</math>이 들어간 적분 ===
[[파일:Trig Sub Triangle 1.png|섬네일|<math>\theta</math>에 대한 삼각 함수를 다시 <math>x</math>로 나타낼 때 이 삼각형을 사용할 수 있다.]]
다음과 같은 적분을 구하자.<ref name="Gunther" />{{rp|49, Example 1}}<ref name="wusj">{{서적 인용
|저자=伍胜健
|제목=数学分析. 第一册
|언어=zh
|출판사=北京大学出版社
|위치=北京
|날짜=2009-08
|isbn=978-7-301-15685-8
}}</ref>{{rp|249, 例6.2.8}}
:<math>\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>
여기서 <math>a>0</math>이다. 다음과 같은 삼각 치환을 사용하자.
:<math>x=a\sin\theta,\;\sqrt{a^2-x^2}=a\cos\theta,\;\mathrm dx=a\cos\theta\mathrm d\theta,\;\theta=\arcsin\frac xa</math>
그러면 다음을 얻는다.
:{|
|<math>\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>
|<math>=\int\frac{a\cos\theta\mathrm d\theta}{a\cos\theta}</math>
| style="padding-left: 1em;" |(치환)
|-
|
|<math>=\int\mathrm d\theta</math>
| style="padding-left: 1em;" |(단순화)
|-
|
|<math>=\theta+C</math>
| style="padding-left: 1em;" |(적분)
|-
|
|<math>=\arcsin\frac xa+C</math>
| style="padding-left: 1em;" |(재치환)
|}
이 적분은 <math>x/a=t</math>와 같은 치환과 아크사인의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.<ref name="wusj" />{{rp|252, 例6.2.14}}
:{|
|<math>\int\sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx</math>
|<math>=\int a^2\cos^2\theta\mathrm d\theta</math>
| style="padding-left: 1em;" |(치환)
|-
|
|<math>=\int\frac{a^2}2(1+\cos 2\theta)\mathrm d\theta</math>
| style="padding-left: 1em;" |(삼각 항등식)
|-
|
|<math>=\frac{a^2}2\theta+\frac{a^2}4\sin 2\theta+C</math>
| style="padding-left: 1em;" |(적분)
|-
|
|<math>=\frac{a^2}2\theta+\frac{a^2}2\sin\theta\cos\theta+C</math>
| style="padding-left: 1em;" |(삼각 항등식)
|-
|
|<math>=\frac{a^2}2\arcsin\frac xa+\frac{a^2}2\cdot\frac xa\cdot\frac{\sqrt{a^2-x^2}}a+C</math>
| style="padding-left: 1em;" |(재치환)
|-
|
|<math>=\frac{a^2}2\arcsin\frac xa+\frac 12x\sqrt{a^2-x^2}+C</math>
| style="padding-left: 1em;" |(단순화)
|}
이 적분은 [[부분 적분]]을 통해서도 구할 수 있다.

=== <math>\sqrt{a^2+x^2}</math>이 들어간 적분 ===
[[파일:Trig Sub Triangle 2.png|섬네일|<math>\theta</math>에 대한 삼각 함수를 다시 <math>x</math>로 나타낼 때 이 삼각형을 사용할 수 있다.]]
다음을 구하자.<ref name="Gunther" />{{rp|48, Example 1}}
:<math>\int\frac{\mathrm dx}{a^2+x^2}</math>
여기서 <math>a>0</math>이다. 다음을 사용하자.
:<math>x=a\tan\theta,\;\sqrt{a^2+x^2}=a\sec\theta,\;\mathrm dx=a\sec^2\theta\mathrm d\theta,\;\theta=\arctan\frac xa</math>
그러면 다음을 얻는다.
:{|
|<math>\int\frac{\mathrm dx}{a^2+x^2}</math>
|<math>=\int\frac{a\sec^2\theta\mathrm d\theta}{a^2\sec^2\theta}</math>
| style="padding-left: 1em;" |(치환)
|-
|
|<math>=\int\frac 1a\mathrm d\theta</math>
| style="padding-left: 1em;" |(단순화)
|-
|
|<math>=\frac\theta a+C</math>
| style="padding-left: 1em;" |(적분)
|-
|
|<math>=\frac 1a\arctan\frac xa+C</math>
| style="padding-left: 1em;" |(재치환)
|}
이 적분은 치환 <math>x/a=t</math> 및 아크탄젠트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.<ref name="wusj" />{{rp|253, 例6.2.16}}
:{|
|<math>\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2+x^2}}</math>
|<math>=\int\frac{a\sec^2\theta\mathrm d\theta}{a\sec\theta}</math>
| style="padding-left: 1em;" |(치환)
|-
|
|<math>=\int\frac{\mathrm d\theta}{\cos\theta}</math>
| style="padding-left: 1em;" |(단순화)
|-
|
|<math>=\int\frac{\cos\theta\mathrm d\theta}{\cos^2\theta}</math>
| style="padding-left: 1em;" |(변형)
|-
|
|<math>=\int\frac{\mathrm d(\sin\theta)}{1-\sin^2\theta}</math>
| style="padding-left: 1em;" |(치환)
|-
|
|<math>=\frac 12\ln\left|\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}\right|+C</math>
| style="padding-left: 1em;" |(적분)
|-
|
|<math>=\frac 12\ln\left|\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}\right|^2+C</math>
| style="padding-left: 1em;" |(삼각 항등식)
|-
|
|<math>=\ln\left|\sec\theta+\tan\theta\right|+C</math>
| style="padding-left: 1em;" |(삼각 항등식)
|-
|
|<math>=\ln\left|\frac{\sqrt{a^2+x^2}}a+\frac xa\right|+C</math>
| style="padding-left: 1em;" |(재치환)
|-
|
|<math>=\ln\left|x+\sqrt{a^2+x^2}\right|+C</math>
| style="padding-left: 1em;" |(적분 상수 재정의)
|}
이 적분은 쌍곡 치환 <math>x=a\sinh t</math>을 통해서도 구할 수 있다.

=== <math>\sqrt{x^2-a^2}</math>이 들어간 적분 ===
[[파일:Trig Sub Triangle 3.png|섬네일|<math>\theta</math>에 대한 삼각 함수를 다시 <math>x</math>로 나타낼 때 이 삼각형을 사용할 수 있다.]]
편의상 <math>x>0</math>이라고 하고 다음을 구하자.<ref name="Gunther" />{{rp|50, Example 1}}
:<math>\int\frac{\mathrm dx}{x\sqrt{x^2-a^2}}</math>
여기서 <math>a>0</math>이다. 다음을 사용하자.
:<math>x=a\sec\theta,\;\sqrt{x^2-a^2}=a|\tan\theta|,\;\mathrm dx=a\sec\theta\tan\theta\mathrm d\theta,\;\theta=\arcsec\frac xa</math>
그러면 다음을 얻는다.
:{|
|<math>\int\frac{\mathrm dx}{x\sqrt{x^2-a^2}}</math>
|<math>=\int\frac{a\sec\theta\tan\theta\mathrm d\theta}{a^2\sec\theta|\tan\theta|}</math>
| style="padding-left: 1em;" |(치환)
|-
|
|<math>=\begin{cases}
\displaystyle\int\frac{\mathrm d\theta}a&x>a\\
\displaystyle-\int\frac{\mathrm d\theta}a&x<-a
\end{cases}</math>
| style="padding-left: 1em;" |(단순화)
|-
|
|<math>=\begin{cases}
\displaystyle\frac\theta a+C&x>a\\
\displaystyle-\frac\theta a+C'&x<-a
\end{cases}</math>
| style="padding-left: 1em;" |(적분)
|-
|
|<math>=\begin{cases}
\displaystyle\frac 1a\arcsec\frac xa+C&x>a\\
\displaystyle-\frac 1a\arcsec\frac xa+C'&x<-a
\end{cases}</math>
| style="padding-left: 1em;" |(재치환)
|}
이 적분은 치환 <math>x/a=t</math> 및 아크시컨트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.<ref name="wusj" />{{rp|253, 例6.2.15}}
:{|
|<math>\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2-a^2}}</math>
|<math>=\int\frac{a\sec\theta\tan\theta\mathrm d\theta}{a|\tan\theta|}</math>
| style="padding-left: 1em;" |(치환)
|-
|
|<math>=\begin{cases}
\displaystyle\int\frac{\mathrm d\theta}{\cos\theta}&x>a\\
\displaystyle-\int\frac{\mathrm d\theta}{\cos\theta}&x<-a
\end{cases}</math>
| style="padding-left: 1em;" |(단순화)
|-
|
|<math>=\begin{cases}
\displaystyle\ln|\sec\theta+\tan\theta|+C&x>a\\
\displaystyle-\ln|\sec\theta+\tan\theta|+C'&x<-a
\end{cases}</math>
| style="padding-left: 1em;" |(적분)
|-
|
|<math>=\begin{cases}
\displaystyle\ln\left|\frac xa+\frac{\sqrt{x^2-a^2}}a\right|+C&x>a\\
\displaystyle-\ln\left|\frac xa+\frac{\sqrt{x^2-a^2}}a\right|+C'&x<-a
\end{cases}</math>
| style="padding-left: 1em;" |(재치환)
|-
|
|<math>=\begin{cases}
\displaystyle\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C&x>a\\
\displaystyle-\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C'&x<-a
\end{cases}</math>
| style="padding-left: 1em;" |(적분 상수 재정의)
|}
이 적분은 쌍곡 치환 <math>x=a\cosh t</math>를 통해서도 구할 수 있다.

=== 정적분 ===
다음과 같은 적분을 구하자.<ref name="Larson" />{{rp|536, Example 4}}
:<math>\int_{\sqrt 3}^2\frac{\sqrt{x^2-3}}x\mathrm dx</math>
다음을 사용하자.
:<math>x=\sqrt 3\sec\theta,\;\sqrt{x^2-3}=\sqrt 3\tan\theta,\;\mathrm dx=\sqrt 3\sec\theta\tan\theta,\;\theta=\arcsec\frac xa</math>
만약 <math>x=\sqrt 3</math>일 경우 <math>\cos\theta=1</math>이므로 <math>\theta=0</math>이며, 만약 <math>x=2</math>일 경우 <math>\cos\theta=\sqrt 3/2</math>이므로 <math>\theta=\pi/6</math>이다. 따라서 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}\int_{\sqrt 3}^2\frac{\sqrt{x^2-3}}x\mathrm dx
&=\sqrt 3\int_0^{\pi/6}\tan^2\theta\mathrm d\theta\\
&=\sqrt 3\int_0^{\pi/6}(\sec^2\theta-1)\mathrm d\theta\\
&=\sqrt 3\bigg[\tan\theta-\theta\bigg]_0^{\pi/6}\\
&=1-\frac{\sqrt 3\pi}6
\end{align}</math>

== 같이 보기 ==
* [[바이어슈트라스 치환]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{수학노트|title=삼각치환}}
* {{매스월드|id=TrigonometricSubstitution|title=Trigonometric substitution}}

[[분류:적분학]]
[[분류:삼각법]]