삼각 적분 함수 문서 원본 보기

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[[파일:sine cosine integral.svg|오른쪽|섬네일|Si(x) (파랑), Ci(x) (녹색)의 그래프]]
'''삼각 적분 함수'''({{llang|en|Trigonometric integrals}})은 [[삼각 함수]]의 변형의 적분들을 묶어서 말하는 것이다. 일반적인 삼각 함수의 적분은 [[적분표]]에서 볼 수 있으나 약간만 변형해도 비[[초등함수]]가 됨이 알려져 있다.

== 사인 적분 함수 ==
[[파일:Sine integral.svg|섬네일|오른쪽|0&nbsp;≤&nbsp;''x''&nbsp;≤&nbsp;8π에 대한 '''Si(''x'')'''의 그래프]]
여러 다른 사인 적분 함수의 정의에는 다음이 있다.

:<math>{\rm Si}(x) = \int_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt</math>

:<math>{\rm si}(x) = -\int_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt</math>

<math>{\rm Si}(x)</math> 은<math>\sin x/x</math>의 <math>x=0</math>에서 시작하는 [[정적분]]이며, <math>{\rm si}(x)</math>은 <math>\sin x/x</math>의 <math>x=\infty</math>에서 끝나는 [[정적분]]이다.

여기서 <math>\frac{\sin t}{t}</math>는 [[싱크 함수]]혹은 0번째 [[베셀 함수|구면 베셀 함수]]이다.

<math>x=\infty</math>이면 디리클레 적분이 된다.

== 코사인 적분 함수 ==
[[파일:Cosine integral.svg|섬네일|오른쪽|0&nbsp;<&nbsp;''x''&nbsp;≤&nbsp;8π에 대한 '''Ci(''x'')'''의 그래프.]]
여러 다른 코사인 적분 함수의 정의에는 다음이 있다.

:<math>{\rm Ci}(x) = \gamma + \ln x + \int_0^x\frac{\cos t-1}{t}\,dt</math>

:<math>{\rm ci}(x) = -\int_x^\infty\frac{\cos t}{t}\,dt</math>

:<math>{\rm Cin}(x) = \int_0^x\frac{1-\cos t}{t}\,dt</math>

<math>{\rm ci}(x)</math>은 <math>x=\infty</math>에서 끝나는 <math>\cos x/x</math>의 정적분이다.
다음이 성립한다.

:<math>{\rm ci}(x)={\rm Ci}(x)\,</math>
:<math>{\rm Cin}(x)=\gamma+\ln x-{\rm Ci}(x)\,</math>

== 쌍곡사인 적분 함수 ==
쌍곡사인 적분 함수는 다음과 같이 정의된다.

:<math>{\rm Shi}(x) = \int_0^x\frac{\sinh t}{t}\,dt = {\rm shi}(x).</math>

그리고 이 함수의 [[테일러 급수]]는 다음과 같다.
:<math>{\rm Shi}(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)^2(2n)!}=x+\frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}+\frac{x^7}{7! \cdot7}+\cdots.</math>

== 쌍곡코사인 적분 함수 ==
쌍곡 코사인 적분함수는 다음과 같이 정의된다.

:<math>{\rm Chi}(x) = \gamma+\ln x + \int_0^x\frac{\cosh t-1}{t}\,dt = {\rm chi}(x)</math>

여기서 <math>\gamma</math>는 [[오일러-마스케로니 상수]]이다.

== 전개 ==
삼각 적분 함수의 계산을 위해 다양한 전개가 사용된다.

=== 점근 전개(asymptotic expansion) ===
:<math>{\rm Si}(x)=\frac{\pi}{2}
                 - \frac{\cos x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^2}+\cdots\right)
                 - \frac{\sin x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^3}+\cdots\right)</math>
:<math>{\rm Ci}(x)= \frac{\sin x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^2}+\cdots\right)
                   -\frac{\cos x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+\cdots\right)</math>

이 급수는 [[점근 전개]](asymptotic expansion)이고 발산한다. 하지만 <math>~{\rm Re} (x) \gg 1~</math>인 경우에도 근사값을 구하는데 이용할 수 있다.

=== 수렴 급수 ===
:<math>{\rm Si}(x)= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}-\frac{x^7}{7! \cdot7}\pm\cdots</math>
:<math>{\rm Ci}(x)= \gamma+\ln x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}=\gamma+\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot2}+\frac{x^4}{4! \cdot4}\mp\cdots</math>

이 급수는 모든 복소수 <math>~x~</math>에 대해 수렴하며, <math>|x|\gg 1</math> 이어도 점점 느리게 수렴하지만 고정밀도의 계산을 하려면 많은 항이 필요하다.

== [[지수 적분 함수]]의 허수부와 관계 ==
아래의 함수는 [[지수 적분 함수]]라고 불리며
: <math> {\rm E}_1(z) = \int_1^\infty \frac{\exp(-zt)}{t}\,{\rm d} t \qquad({\rm Re}(z) \ge 0) </math>

Si 와 Ci와 관련이 있다.:

:<math>
{\rm E}_1( {\rm i}\!~ x) = i\left(-\frac{\pi}{2} + {\rm Si}(x)\right)-{\rm Ci}(x) = i~{\rm si}(x) - {\rm ci}(x) \qquad(x>0)
</math>
x에 음수를 넣지 않는한, 두 함수는 해석적이다. 유효한 구간의 면적은 x의 실수부가 양수인 <math>{\rm Re}(x)>0</math> 구간으로 확장할 수 있다. 이 범위를 벗어나면, <math>\pi</math>의 정수배 항이 등장한다.

일반화된 지수 적분 함수에 허수를 대입했을 때는 다음과 같다.

: <math>
\int_1^\infty \cos(ax)\frac{\ln x}{x} \, dx =
-\frac{\pi^2}{24}+\gamma\left(\frac{\gamma}{2}+\ln a\right)+\frac{\ln^2a}{2}
+\sum_{n\ge 1}\frac{(-a^2)^n}{(2n)!(2n)^2},
</math>

이것은 아래 식의 실수부이다.

: <math>
\int_1^\infty e^{iax}\frac{\ln x}{x} \, dx = -\frac{\pi^2}{24} + \gamma\left(\frac{\gamma}{2}+\ln a\right)+\frac{\ln^2 a}{2}-\frac{\pi}{2}i(\gamma+\ln a) + \sum_{n\ge 1}\frac{(ia)^n}{n!n^2}.
</math>

비슷하게

: <math>
\int_1^\infty e^{iax}\frac{\ln x}{x^2}dx
=1+ia[-\frac{\pi^2}{24}+\gamma\left(\frac{\gamma}{2}+\ln a-1\right)+\frac{\ln^2 a}{2}-\ln a+1
-\frac{i\pi}{2}(\gamma+\ln a-1)]+\sum_{n\ge 1}\frac{(ia)^{n+1}}{(n+1)!n^2}.
</math>

== 같이 보기 ==
* [[지수 적분 함수]]
* [[로그 적분 함수]]

=== 신호 처리 ===
* [[Gibbs phenomenon]]
* [[Ringing artifacts]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{AS ref|5|231}}
* {{인용 | last1=Press | first1=WH | last2=Teukolsky | first2=SA | last3=Vetterling | first3=WT | last4=Flannery | first4=BP | year=2007 | title=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing | edition=3rd | publisher=Cambridge University Press | publication-place=New York | isbn=978-0-521-88068-8 | chapter=Section 6.8.2. Cosine and Sine Integrals | chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=300 | access-date=2013-02-23 | archive-date=2011-08-11 | archive-url=https://web.archive.org/web/20110811154417/http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=300 | url-status= }}
* {{dlmf|id=6|title=Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals|first=N. M. |last=Temme}}
* {{ArXiv 인용|
|first1=R. J.
|last1=Mathar
|eprint=0912.3844
|title=Numerical evaluation of the oscillatory integral over exp(''i{{pi}}x'')·''x''<sup>1/''x''</sup> between 1 and&nbsp;∞
|year=2009
}}, Appendix B.
* [http://de2de.synechism.org/c5/sec58.pdf Sine Integral Taylor series proof.] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20151105185931/http://de2de.synechism.org/c5/sec58.pdf}}

[[분류:특수 함수]]
[[분류:적분]]
[[분류:특수 초기하함수]]