삼각 분할 범주 문서 원본 보기

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[[호몰로지 대수학]]에서 '''삼각 분할 범주'''(三角分割範疇, {{llang|en|triangulated category}})는 [[유도 범주]] 및 [[안정 호모토피 범주]]와 유사한 성질을 가지는 [[범주 (수학)|범주]]이다. 이 위에 일반적인 코호몰로지 함자의 개념을 정의할 수 있다.

== 정의 ==
=== 삼각형 ===
범주 <math>\mathcal C</math> 위의 자기 [[범주의 동치|동치]] <math>\Sigma\colon\mathcal C\to\mathcal C</math>가 주어졌다고 하자. <math>(\mathcal C,\Sigma)</math> 위의 '''삼각형'''({{llang|en|triangle}})은 다음과 같은 꼴의 사상들이다.
:<math>X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ\xrightarrow h\Sigma X</math>
이를 <math>(f,g,h)</math>로 쓰자.

<math>(\mathcal C,\Sigma)</math> 속의 두 삼각형
:<math>X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ\xrightarrow h\Sigma X</math>
:<math>X'\xrightarrow{f'}Y'\xrightarrow{g'}Z'\xrightarrow{h'}\Sigma X'</math>
사이의 '''동형'''은 다음 조건을 만족시키는 [[동형 사상]]
:<math>i_X\colon X\to X'</math>
:<math>i_Y\colon Y\to Y'</math>
:<math>i_X\colon Z\to Z'</math>
이다.
:<math>f'=i_Y\circ f\circ i_X^{-1}</math>
:<math>g'=i_Z\circ g\circ i_Y^{-1}</math>
:<math>h'=\Sigma(i_Z)\circ h\circ i_Z^{-1}</math>

=== 삼각 분할 범주 ===
'''삼각 분할 범주'''는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* <math>\operatorname{Ab}</math>-[[풍성한 범주]] <math>\mathcal C</math>
* 자기 동치 <math>\Sigma\colon\mathcal C\to\mathcal C</math>
* 삼각형들로 구성된 [[모임 (집합론)|모임]]. 이 모임의 원소를 '''특별 삼각형'''({{llang|en|distinguished triangle}})이라고 한다.
이 데이터는 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다.
* <math>\mathcal C</math>는 [[유한 완비 범주]]이다. (즉, [[가법 범주]]이다.) 이에 따라 <math>\mathcal C</math>는 [[영 대상]]을 갖는다.
* 임의의 대상 <math>X</math>에 대하여, <math>X\xrightarrow{\operatorname{id}_X}X\to0\to\Sigma X</math>는 특별 삼각형이다.
* 임의의 사상 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, <math>X\xrightarrow f Y\to Z\to\Sigma X</math>와 같은 꼴의 특별 삼각형이 존재한다. 이 경우 <math>Z</math>를 <math>f</math>의 '''사상뿔'''({{llang|en|mapping cone}})이라고 한다.
* 특별 삼각형과 동형인 삼각형은 특별 삼각형이다.
* 특별 삼각형 <math>X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ\xrightarrow h\Sigma X</math>이 주어졌을 때, <math>Y\xrightarrow gZ\xrightarrow h\Sigma X\xrightarrow{\Sigma f}Y</math> 및 <math>Z\xrightarrow h\Sigma X\xrightarrow{\Sigma f}\Sigma Y\xrightarrow{\Sigma g}\Sigma Z</math> 역시 특별 삼각형이다.
* '''정팔면체 공리'''({{llang|en|octahedral axiom}})가 성립한다. 이에 따르면, 사상 <math>f\colon X\to Y</math> 및 <math>g\colon Y\to Z</math>가 주어졌을 때, <math>f</math>, <math>g</math>, <math>g\circ f</math>에 대한 세 개의 삼각뿔 <math>Z'</math>, <math>X'</math>, <Math>Y'</math>이 주어졌을 때 이들을 짜기워 특별 삼각형 <math>Z'\to Y'\to X'\to\Sigma Z'</math>을 만들 수 있다. 즉, 다음과 같은 정팔면체 그림이 존재한다.
*:<math>\begin{matrix}
X'&&\to&&Z\\
&\searrow&\scriptstyle\mathsf d&\nearrow\\
\downarrow&\scriptstyle\mathsf c&Y&\scriptstyle\mathsf c&\uparrow\\
&\swarrow&\scriptstyle\mathsf d&\nwarrow\\
Z'&&\to&&X
\end{matrix}
\qquad\begin{matrix}
X'&&\to&&Z\\
&\nwarrow&\scriptstyle\mathsf c&\swarrow\\
\downarrow&\scriptstyle\mathsf d&Y'&\scriptstyle\mathsf d&\uparrow\\
&\nearrow&\scriptstyle\mathsf c&\searrow\\
Z'&&\to&&X
\end{matrix}
</math>
위 그림은 정팔면체의 북반구와 남반구를 분리하여 그린 것이다. 여기서
* <math>\mathsf c</math>는 가환 삼각형을 나타낸다.
* <math>\mathsf d</math>는 특별 삼각형을 나타낸다.
* <math>Z'\to X</math>, <math>X'\to Y</math>, <math>Y'\to X</math>, <math>X'\to Z'</math>은 (특별 삼각형의 셋째 변이므로) 등급이 1이다. 즉, 사실 <math>Z'\to\Sigma X</math>와 같은 사상이다.

이 정팔면체 그림은 다음과 같이 나타낼 수도 있다.
:<math>\begin{matrix}
&&&&\scriptstyle\mathsf d\\
Z'&&\xrightarrow\exists&&Y'&&\xrightarrow\exists&&X'\\
&\scriptstyle\mathsf c&&\swarrow&\scriptstyle\mathsf d&\nwarrow&&\scriptstyle\mathsf c\\
\|&&X&&\to&&Z&&\|\\
&\nearrow&\scriptstyle\mathsf d&\searrow&\scriptstyle\mathsf c&\nearrow&\scriptstyle\mathsf d&\searrow\\
Z'&&\leftarrow&&Y&&\leftarrow&&X'
\end{matrix}
\qquad
</math>
여기서 맨 위의 <math>\mathsf d</math>는 이 그림의 둘레를 따르는 삼각형 <math>Z'\to Y'\to X'\to\Sigma Z'</math>이 특별 삼각형임을 뜻한다. 이 그림에서 사각형
:<math>\begin{matrix}
Y&\to&Z\\
\downarrow&&\downarrow\\
Z'&\to&Y'
\end{matrix}</math>
및
:<math>\begin{matrix}
Y'&\to&X\\
\downarrow&&\downarrow\\
X'&\to&Y
\end{matrix}</math>
역시 가환 사각형을 이루어야 한다.

또한, 이 정팔각형 그림은 다음과 같이 나타낼 수도 있다.<ref name="May"/>
:<math>
\begin{matrix}
X\\
\downarrow&\searrow\\
Y&\to&Z\\
\downarrow&&\downarrow&\searrow\\
Z'&\overset\exists\to&Y'&\overset\exists\to&X'\\
&\searrow&\downarrow&&\downarrow&\searrow\\
&&\Sigma X&\to&\Sigma Y&\to&\Sigma Z'
\end{matrix}</math>
이 그림에서는 모든 삼각형·사각형이 가환 다각형이다.

== 성질 ==
삼각 분할 범주에서, 모든 [[단사 사상]]은 [[분할 단사 사상]]이며 모든 [[전사 사상]]은 [[분할 전사 사상]]이다.

삼각 분할 범주 위에서 [[코호몰로지]]의 개념을 정의할 수 있다.

삼각 분할 범주에서 두 특별 삼각형 <math>X\to Y\to Z\to\Sigma X</math> 및 <math>X'\to Y'\to Z'\to\Sigma X'</math> 및 처음 두 꼭짓점들 사이의 사상 <math>X\to X'</math>, <math>Y\to Y'</math>이 주어졌을 때, 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 사상 <math>Z\to Z'</math>이 존재한다.
:<math>\begin{matrix}
X&\to&Y&\to&Z&\to&\Sigma X\\
\downarrow&&\downarrow&&{\scriptstyle\exists}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\Sigma\\
X'&\to&Y'&\to&Z'&\to&\Sigma X'
\end{matrix}</math>
이 성질은 베르디에의 원래 논문<ref name="Verdier"/>에서 삼각 분할 범주의 4개의 공리 가운데 셋째(TR3)로 제시되었으나, 이후 존 피터 메이({{llang|en|Jon Peter May}})가 셋째 공리를 다른 공리들로부터 유도할 수 있음을 보였다.<ref name="May">{{저널 인용|이름=Jon Peter|성=May|제목=The additivity of traces in triangulated categories|저널=Advances in Mathematics|권=163|날짜=2001-10-15|쪽=34–73|url=http://www.math.uchicago.edu/~may/PAPERS/AddJan01.pdf|doi=10.1006/aima.2001.1995|언어=en}}</ref>{{rp|41, Lemma 2.2}}

== 예 ==
=== 벡터 공간 ===
체 <math>K</math> 위의 [[벡터 공간]]들의 범주 <math>\operatorname{Vect}_K</math> 위에 다음과 같이 삼각 분할 범주의 구조를 줄 수 있다.
* 자기 동치는 항등 함자 <math>\Sigma=\operatorname{Id}</math>이다.
* 특별 삼각형은 [[완전열]] <math>U\to V\to W\to U\to V</math>이다.

=== 아벨 범주의 유도 범주 ===
[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 호모토피 범주 <math>\mathcal K(\mathcal A)</math> (즉, 대상은 [[사슬 복합체]], 사상은 사슬 사상의 호모토피류)는 삼각 분할 범주를 이룬다. 이 경우 특별 삼각형은 [[호몰로지 대수학]]에서의 사상뿔과 동형인 삼각형이다.

[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>의 호모토피 범주 <math>\mathcal K(\mathcal A)</math>의 [[약한 동치]]를 국소화하면 [[유도 범주]] <math>\operatorname D(\mathcal A)</math>를 얻는다. 이 역시 삼각 분할 범주를 이룬다. 이는 [[약한 동치]]의 국소화가 삼각 분할 구조와 호환되기 때문이다.

=== 안정 호모토피 범주 ===
[[스펙트럼 (위상수학)|스펙트럼]]들로 구성된 안정 호모토피 범주 역시 삼각 분할 범주를 이룬다. 자기 동치 <math>\Sigma</math>는 스펙트럼의 [[현수 (위상수학)|현수]]이다.

== 역사 ==
[[장루이 베르디에]]가 1963년 박사 학위 논문에서 [[유도 범주]]와 함께 정의하였다.<ref name="Verdier">{{저널 인용  | last=Verdier | first=Jean-Louis | 저자링크=장루이 베르디에|title=Des catégories dérivées des catégories abéliennes | publisher=Société Mathématique de France | 언어 = fr | 저널=Astérisque | issn=0303-1179 | 권=239 | mr=1453167 | 날짜=1996 }}</ref> 베르디에는 유도 범주에서 등장하는 특별 삼각형들의 성질들을 공리화하여 삼각 분할 범주의 개념을 추출하였다.

== 같이 보기 ==
* [[D가군]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|성=Weibel|이름= Charles A.|날짜=1994|제목=An introduction to homological algebra|url=http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Hbook-corrections.html|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics |권=38|출판사=Cambridge University Press|isbn=978-0-52143500-0|oclc=36131259|mr=1269324|zbl=0797.18001|doi=10.1017/CBO9781139644136|언어=en}}
* {{서적 인용 | last=Gelfand | first=Sergei I. | 공저자 = [[유리 마닌|Yuri Ivanovich Manin]] | title=Homological algebra | isbn=978-3-540-65378-3 | year=1999 | publisher=Springer | location=Berlin|언어=en}}
* {{서적 인용|성=Neeman|이름=A.|날짜=2001|제목=Triangulated Categories|url=https://archive.org/details/triangulatedcate0000neem|총서=Annals of Mathematics Studies|출판사=Princeton University Press|isbn=978-0691086866|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=triangulated category|title=Triangulated category}}
* {{nlab|id=t-structure}}
* {{nlab|id=enhanced triangulated category|title=Enhanced triangulated category}}
* {{nlab|id=tensor triangulated category|title=Tensor triangulated category}}
* {{nlab|id=spectrum of a tensor triangulated category|title=Spectrum of a tensor triangulated category }}
* {{nlab|id=pretriangulated dg-category|title=Pretriangulated dg-category}}
* {{nlab|id=n-angulated category}}
* {{nlab|id=triangulated categories of sheaves|title=Triangulated categories of sheaves}}
* {{nlab|id=well-generated triangulated category|title=Well-generated triangulated category}}
* {{nlab|id=compactly generated triangulated category|title=Compactly generated triangulated category}}

[[분류:호몰로지 대수학]]