삼각형의 외접원과 두 변에 접하는 원 문서 원본 보기

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[[파일:Mixtilinear Incircle definition.png|섬네일|Mixtilinear Incircle]]

아래는 '''삼각형의 [[외접원]]과 두 변에 접하는 원'''(Mixtilinear Incircle)에 대한 설명이다.

== 개요 ==
삼각형의 외접원과 두 변에 접하는 원은 3개가 있다. 그리고 이 원들의 두 변과의 접점의 중점이 삼각형의 내심이 된다. 또한 이 원들과 삼각형 외접원과의 접점과 마주보는 삼각형의 꼭짓점을 이은 세 개의 직선은 한 점에서 만나고, 이 점은 삼각형의 외심과 내심을 잇는 선 위에 있다.

== 기하학적 성질 ==

<math>O_a, O_b, O_c</math>를 각각 변 AB, CA에 접하고 삼각형 ABC의 외접원에 [[내접]](접점을 X라 하자)하는 원, 변 AB, BC에 접하고 삼각형 ABC의 외접원에 내접(접점을 Y라 하자)하는 원, 변 AC, BC에 접하고 삼각형 ABC의 외접원에 내접(접점을 Z라 하자)하는 원이라 하자.

=== 원의 위치 ===
[[파일:Mxl1.png|500px|Mxl1]]

* [[선분]] AX, BY, CZ는 한 점에서 만나고, 그 점은 직선 OI위의 점이다.(O는 외심, I는 내심)
점 A는 내심과 <math>O_a</math>의 중심의 R(내접원의 [[반지름]]):(<math>O_a</math>의 반지름) 외분점이다.(이는 닮음을 이용하여 쉽게 보일 수 있다.)

또한 X는 외심과 <math>O_a</math>의 중심의 r(외접원의 반지름):(<math>O_a</math>의 반지름) 외분점이다.(외접원과 <math>O_a</math>가 접하므로 자명)

그러므로 달랑베르 정리에 의해 O와 I의 R:r 외분점은 선분 AX위에 존재한다.

같은 방법으로 선분 AX, BY, CZ는 O와 I의 R:r 외분점을 지난다.

[[파일:Mxl2.png|500px|Mxl2]]

* 내심 I는 <math>B_a</math>(<math>O_a</math>와 변 AB의 접점)와 <math>C_a</math>(<math>O_a</math>와 변 AC의 접점)를 잇는 선분의 중점이다.
직선 <math>XC_a</math>와 외접원이 만나는 또 다른 점을 <math>C_1</math>이라 하자.

(외접원에서 열호 <math>AC_1</math>과 열호 <math>BX</math>의 원주각의 합)= <math>\angle BC_aX</math>=(<math>O_a</math>에서 열호 <math>C_aX</math>의 원주각)=(외접원에서 열호 <math>C_1X</math>의 원주각) 이므로

<math>C_1</math>은 열호 AB의 중점이 된다.

<math>\therefore</math>(<math>C_1</math>, <math>I</math>, <math>C</math>)<math>collinear</math>

<math>ISW</math> <math>(B_1,I,B)collinear</math>

이제 <math>A, B, B_1, X, C_1, C</math>에 대한 파스칼의 정리에 의하여 내심 I는 <math>B_a</math>와 <math>C_a</math>를 잇는 선분 위에 있다.

그런데 내심 I는 각 BAC의 이등분선 위에 있으므로

<math>\therefore</math>내심 I는 <math>B_a</math>와 <math>C_a</math>를 잇는 선분의 중점이다.

=== 원의 반지름 ===

* <math>O_a</math>의 반지름은 <math>\frac{r}{cos^2(\tfrac{\angle A}{2})}</math>이다.
<math>\overline{O_aB_a}=\frac{\overline{IB_a}}{cos(\frac{\angle A}{2})}=\frac{\overline{IB_0}}{cos^2(\frac{\angle A}{2})}=\frac{r}{cos^2(\frac{\angle A}{2})}</math>( <math>B_0</math> : 변 AC와 내접원의 접점)

* <math>C_a, B, X, I</math>는 한 원 위에 있다.
<math>\angle BIC_a=\angle ACI -\angle ABI=\frac{\angle C}{2}=\angle C_1XB</math>이므로 성립한다. 마찬가지로 <math>B_a, C, X, I</math>등도 한 원 위에 있다.

== 두 원의 근축에 대한 성질 ==
[[파일:Mxl3.png|500px|Mxl3]]

* 선분 XI는 각 BXC를 이등분한다.
<math>\angle BXI =\angle AC_aI=\frac{\angle B+\angle C}{2}=\frac{\angle BXC}{2}</math>

=== 세 원의 근심에 관한 성질 ===


[[파일:Mxl4.png|500px|Mxl4]]

* <math>A_1</math>(A를 포함하지 않는 호 BC의 중점)은 원 <math>O_b, O_c</math>의 근축 위의 점이다.
<math>\overline{A_1B}=\overline{A_1C}</math> 이므로 <math>\overline{A_1A_c}\overline{A_1Z}=\overline{A_1A_c}^2+\overline{A_1A_c}\overline{ZA_c}=\overline{A_1A_c}^2+\overline{BA_c}\overline{CA_c}=\overline{A_1B}^2=\overline{A_1C}^2</math>(<math>\because</math>스튜어트의 정리)이다.


마찬가지로 <math>\overline{A_1A_b}\overline{A_1Z}=\overline{A_1B}^2=\overline{A_1C}</math> 이므로 <math>A_1</math>은 원 <math>O_b, O_c</math>의 근축 위의 점이다.<ref>{{저널 인용|제목=On Mixtilinear Incircles and Excircles|저널=Forum Geometricorum|성=Khoa Lu Nguyen and Juan Carlos Salazar|이름=|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200601.pdf|날짜=|출판사=|access-date=2018-06-13|archive-date=2018-06-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20180619105352/http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200601.pdf|url-status=}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:삼각 기하학]]
[[분류:유클리드 평면기하학]]