산술-기하 평균 부등식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:AM_GM_inequality_visual_proof.svg|섬네일|산술-기하 평균 부등식의 [[시각적인 증명]]이다.<br style="margin-bottom:1ex;" />PR은 중심이 O인 원의 지름이며, 반지름 AO의 길이는 ''a''와 ''b''의 [[산술 평균]]이다. {{nowrap|[[사영 정리]]를 쓰면,}} {{nowrap|삼각형 PGR에서}} PR을 [[밑변]]으로 할 때의 [[높이 (삼각형)|높이]] GQ는 [[기하 평균]]이다. {{nowrap|''a'':''b''}}의 비와 상관 없이, {{nowrap|AO &#8805; GQ}}이다.]]
[[파일:AM GM inequality animation.gif|섬네일|{{math|(''x'' + ''y'')<sup>2</sup> ≥ 4''xy''}}의 [[시각적인 증명]]이다. 양변에 [[제곱근]]을 취하고 2로 나누면 산술-기하 평균 부등식이 된다.<ref>{{인용
 | last = Hoffman | first = D. G.
 | editor-last = Klarner | editor-first = David A. | editor-link = David A. Klarner
 | contribution = Packing problems and inequalities
 | doi = 10.1007/978-1-4684-6686-7_19
 | pages = 212–225
 | publisher = Springer
 | title = The Mathematical Gardner
 | year = 1981}}</ref>]]
[[수학]]에서 '''산술-기하 평균 부등식'''(算術幾何平均不等式, {{llang|en|arithmetic–geometric mean inequality}})은 [[산술 평균]]과 [[기하 평균]] 사이에 성립하는 [[부등식]]이다. 이에 따르면, 임의의 음수가 아닌 [[실수]]들에 대하여, 그 산술 평균은 그 기하 평균보다 크거나 같으며, 정확히 모든 실수들이 같은 경우에만 두 평균이 같다.

== 정의 ==
음이 아닌 실수들 <math>x_1, x_2, \ldots, x_n \ge 0</math>이 주어졌다고 하자. '''산술-기하 평균 부등식'''에 따르면, 다음이 성립한다.

:<math>\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}</math>

특히, 등호가 성립할 [[필요 충분 조건]]은, 모든 실수들이 같다는 것이다. 즉,

:<math>\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \iff x_1 = x_2 = \cdots = x_n</math>

== 증명 ==
=== 귀납적 증명 ===
음이 아닌 실수 <math>x_1, x_2, \cdots, x_n \ge 0</math> 및 그 산술 평균

:<math>x = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}</math>

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 산술-기하 평균 부등식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:<math>x^n \ge x_1x_2\cdots x_n</math>
:<math>x^n = x_1x_2\cdots x_n \iff x_1 = x_2 = \cdots = x_n</math>

이를 [[수학적 귀납법]]으로 증명할 수 있다.

우선, <math>n=1</math>인 경우 이는 자명하게 성립한다.

그 다음, <math>n</math>에 대하여 성립한다는 가정 아래, <math>n + 1</math>에 대한 산술-기하 평균 부등식

:<math>x^{n+1} \ge x_1x_2\cdots x_{n+1}</math>
:<math>x^{n+1} = x_1x_2\cdots x_{n+1} \iff x_1 = x_2 = \cdots = x_{n+1}</math>
:<math>x = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{n+1}}{n+1}</math>

을 보이자.

만약 <math>x_1 = x_2 = \cdots = x_{n+1}</math>라면, 자명하게 성립한다. 만약 그렇지 않다면, <math>x</math>보다 큰 수와 <math>x</math>보다 작은 수의 쌍이 적어도 하나 존재하며, <math>x_n > x > x_{n+1}</math>라고 하여도 무방하다. 그렇다면,

:<math>(x_n - x)(x - x_{n+1}) > 0</math> ①

이다. 또한, 양의 실수

:<math>y = x_{n} + x_{n+1} - x \ge x_n - x > 0</math>

를 정의하면, 다음에 따라, <math>x</math>는 <math>n</math>개의 음이 아닌 실수 <math>x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, y</math>의 산술 평균이기도 하다.

:<math>\begin{align}
nx &= x_1 + x_2 + \cdots + x_{n-1} + x_n + x_{n+1} - x\\
    &= x_1 + x_2 + \cdots+ x_{n-1} + y
\end{align}</math>

귀납 가정에 따라,

:<math>x^{n+1} = x^nx \ge x_1x_2\cdots x_{n-1}yx</math> ②

이며, 또한 ①에 따라

:<math>yx - x_nx_{n+1} = (x_n + x_{n+1} - x)x  - x_nx_{n+1} = (x_n - x)(x - x_{n+1}) > 0</math>

이므로,

:<math>yx > x_nx_{n+1}</math> ③

이다. ②와 ③에 따라,

:<math>x^{n+1} = x^nx \ge x_1x_2\cdots x_{n-1}yx \ge x_1x_2\cdots x_{n-1}x_nx_{n+1}</math> ④

④에서, <math>x > 0</math>이므로, 만약 <math>x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}</math> 가운데 0이 있다면, 첫번째 부등호는 등호일 수 없다. 만약에 그들 가운데 0이 없다면, 두번째 부등호는 등호일 수 없다. 이렇게 <math>n + 1</math>에 대한 산술-기하 평균 부등식이 증명되었다.

=== 코시의 증명 ===
==== 모든 항이 같은 경우 ====
만약

:<math>x_1 = x_2 = \cdots = x_n</math>

이라면, 산술 평균과 기하 평균은 <math>x_1</math>로 같다.

==== 모든 항이 같지는 않은 경우 ====
만약 서로 다른 두 항이 존재한다면, 당연히 <math>n > 1</math>이다.

===== ''n'' = 2 =====
서로 다른 두 항 <math>x_1, x_2</math>가 주어지면,

:<math>\begin{align}
\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)^2-x_1x_2
&=\frac14(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-x_1x_2\\
&=\frac14(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2)\\
&=\left(\frac{x_1-x_2}{2}\right)^2>0
\end{align}</math>

이므로,

:<math>\frac{x_1 + x_2}{2} > \sqrt{x_1x_2}</math>

이다.

===== ''n'' = 2<sup>''k''</sup> =====
<math>n</math>이 2의 거듭제곱 꼴인 경우, <math>k</math>에 대한 수학적 귀납법을 이용하여 증명할 수 있다.

<math>k = 1</math>인 경우, 즉 <math>n = 2</math>인 경우는 이미 증명되었다.

<math>k - 1</math>에 대한 부등식의 가정 아래, <math>k</math>에 대한 부등식을 보이자.

:<math>\begin{align}
\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{2^k}}{2^k}
&{} = \frac{\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{2^{k-1}}}{2^{k-1}} + \frac{x_{2^{k-1} + 1} + x_{2^{k-1} + 2} + \cdots + x_{2^k}}{2^{k-1}}}{2}\\[7pt]
&\ge \frac{\sqrt[2^{k-1}]{x_1 x_2 \cdots x_{2^{k-1}}} + \sqrt[2^{k-1}]{x_{2^{k-1} + 1} x_{2^{k-1} + 2} \cdots x_{2^k}}}{2}\\[7pt]
&\ge \sqrt{\sqrt[2^{k-1}]{x_1 x_2 \cdots x_{2^{k-1}}} \sqrt[2^{k-1}]{x_{2^{k-1} + 1} x_{2^{k-1} + 2} \cdots x_{2^k}}}\\[7pt]
&= \sqrt[2^k]{x_1 x_2 \cdots x_{2^k}}
\end{align}</math>

여기서 첫번째 부등식에서 등호가 성립하려면, 그 양변에 걸친 두 쌍의 산술 및 기하 평균이 각각 같아야 하므로

:<math>x_1 = x_2 = \cdots = x_{2^{k-1}}</math>
:<math>x_{2^k+1} = x_{2^k+2} = \cdots = x_{2^k}</math>

이어야 한다.

두번째 부등식에서 등호가 추가적으로 성립하려면, 그 양변에 걸친 한 쌍의 산술 및 기하 평균이 같아야 한다. 즉, 전반 및 후반 항들의 기하 평균이 서로 같아야 한다. 따라서, 둘 다 등호이려면

:<math>x_1 = x_2 = \cdots = x_{2^k}</math>

이어야 한다. 그러나 서로 다른 항이므로, 둘 다 등호일 수 없다. 따라서,

:<math>\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{2^k}}{2^k} > \sqrt[2^k]{x_1 x_2 \cdots x_{2^k}}</math>

이다.

===== ''n'' < 2<sup>''k''</sup> =====
<math>n</math>이 2의 거듭제곱 꼴이 아닌 경우, <math>n</math>보다 큰, 2의 거듭제곱 꼴의 수 <math>m</math>을 취할 수 있다.

음이 아닌 실수 <math>x_1, x_2, \cdots, x_n</math> 및 그 산술 평균 <math>x</math>가 주어졌다고 하고, 그 항들을 다음과 같이 <math>m</math>개로 확장하자.

:<math>x_{n+1} = x_{n+2} = \cdots = x_m = x</math>

그렇다면, 이미 증명한 <math>m</math>에 대한 부등식에 따라,

:<math>\begin{align}
x & = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \\[6pt]
&= \frac{\frac{m}{n} (x_1 + x_2 + \cdots + x_n)}{m} \\[6pt]
&= \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n + \frac{m-n}{n}(x_1 + x_2 + \cdots + x_n)}{m} \\[6pt]
&= \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n + (m-n) x}{m} \\[6pt]
&= \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n + x_{n+1} + \cdots + x_m}{m} \\[6pt]
&> \sqrt[m]{x_1 x_2 \cdots x_n x_{n+1} \cdots x_m} \\[6pt]
&= \sqrt[m]{x_1 x_2 \cdots x_n x^{m-n}}
\end{align}</math>

따라서,

:<math>x^m > x_1 x_2 \cdots x_n x^{m-n}</math>

즉,

:<math>x > \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}</math>

이다.

=== 미분을 통한 증명 ===
우선, <math>n=1,2</math>인 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다.

이제, <math>n>1</math>에 대하여 성립한다는 가정 아래, <math>n+1>2</math>에 대하여 증명하자. 모든 항이 같은 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다. 모든 항이 같지는 않을 경우, 당연히 <math>x_1 \ne x_2</math>이라고 전제하여도 무방하다. 이 경우, 다음 식을 증명하여야 한다.

:<math>\frac{x_1 + \cdots + x_n + x_{n+1}}{n+1} - (x_1 \cdots x_n x_{n+1})^{\frac{1}{n+1}} > 0</math>

이는 음이 아닌 실수 <math>x_1, \dots, x_n \ge 0</math>을 고정하고, 함수

:<math>f(t)=\frac{x_1 + \cdots + x_n + t}{n+1} - (x_1 \cdots x_n t)^{\frac{1}{n+1}} \qquad (t \ge 0)</math>

를 정의하였을 때, 다음을 증명하여야 한다는 것과 같다.

:<math>f(x_{n+1}) > 0</math>

[[극값]]을 구하기 위해, <math>f</math>의 [[미분]]을 취하자.

:<math>f'(t) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+1}(x_1 \cdots x_n)^{\frac{1}{n+1}}t^{-\frac{n}{n+1}}</math>

따라서, <math>f</math>는 다음과 같은 [[임계점 (수학)|임계점]]을 갖는다.

:<math>f'(t_0)=0 \iff t_0 = (x_1 \cdots x_n)^{\frac{1}{n}}</math>

따라서, <math>f</math>의 가능한 극값은 다음과 같다.

:<math>f(0) = \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n+1} > 0</math>
:<math>
\begin{align}
f(t_0) & = \frac{x_1 + \cdots + x_n + ({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}{n}}}{n+1} - ({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}{n+1}}(x_1 \cdots x_n)^{\frac{1}{n(n+1)}} \\
        & = \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n+1} + \frac{1}{n+1}({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}n} - ({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}n} \\
        & = \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n+1} - \frac{n}{n+1}({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}n} \\
        & = \frac{n}{n+1}\left(\frac{x_1 + \cdots + x_n}n - ({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}n}\right) \\
        & > 0
\end{align}
</math>
:<math>\lim_{t\to\infty}f(t)=\infty>0</math>

여기서, <math>f(t_0) = 0</math>일 수 없는 이유는, 이미 <math>x_1 \ne x_2</math>이라고 전제하였기 때문이다. 모든 극값이 0보다 크므로, 임의의 <math>t
 \ge 0</math>에 대하여,

:<math>f(t)>0</math>

이다. 특히, <math>t=x_{n+1}</math>일 경우,

:<math>f(x_{n+1})>0</math>

이다. 이렇게 <math>n+1</math>에 대한 산술-기하 평균 부등식이 증명되었다.

=== 볼록성을 통한 증명 ===
산술-기하 평균 부등식은 양의 실수들 <math>x_1,x_2\dots,x_n>0</math>에 대한 다음과 같은 항등식과 동치이다.

:<math>\ln\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}n>\frac1n(\ln x_1+\ln x_2+\cdots+\ln x_n)\qquad(\lnot x_1=x_2=\cdots=x_n)</math>

이는 [[로그]] 함수의 [[옌센 부등식]]이므로, 로그 함수가 [[엄격 오목 함수]]임을 보이기만 하면 된다. 이는 [[이계 도함수]] 판정법

:<math>(\ln x)''=\left(\frac1x\right)'=-\frac1{x^2}<0\qquad(x>0)</math>

에 따라 성립한다.

== 관련 정리 ==
=== 가중 산술-기하 평균 부등식 ===
[[가중 산술 평균]]과 [[가중 기하 평균]] 사이에도 비슷한 부등식이 성립한다. ''n''개의 음수가 아닌 실수들 ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub>과 그에 대응하는 가중치 &alpha;<sub>1</sub>, &alpha;<sub>2</sub>, …, &alpha;<sub>''n''</sub>가 있을 때, 가중치의 합 <math>\alpha = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n</math>이라 하면 다음이 성립한다.
: <math>\frac{\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_n x_n}{\alpha} \geq \sqrt[\alpha]{x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n}}</math>
마찬가지로 이 부등식은 모든 ''x''<sub>''k''</sub>들이 같을 때 등식이 된다.

=== 가중 산술-기하 평균 부등식의 증명 ===
<math>\alpha_k=0(k=0, 1, \cdots, n)</math>를 가중치로 갖는 <math>x_k</math>은 전체 식에 영향을 주지 않으므로 배제하고 생각하면, 증명에서 다루는 모든 <math>\alpha_k</math>는 양수라고 가정할 수 있다.

<math>f(x)=lnx</math>에서 젠센 부등식을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.

<math>x>0</math>일 때 <math>f(x)=lnx</math>는 오목함수, 즉 위로 볼록한 함수이므로
:<math>\begin{align}
\ln\Bigl(\frac{\alpha_1x_1+\cdots+\alpha_nx_n}\alpha\Bigr) & >\frac{\alpha_1}\alpha\ln x_1+\cdots+\frac{\alpha_n}\alpha\ln x_n \\
& =\ln \sqrt[\alpha]{x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n}}.
\end{align}</math>

이다. <math>f(x)=lnx</math>는 단조증가함수이므로

: <math>\frac{\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_n x_n}{\alpha} \geq \sqrt[\alpha]{x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n}}</math>

가 성립함이 증명된다.

=== 제곱-산술-기하-조화 평균 부등식 ===
산술-기하 평균 부등식에 [[제곱 평균]]과 [[조화 평균]]에 대한 결론을 추가할 수 있다. 음이 아닌 실수 <math>x_1, x_2, \dots, x_n \ge 0</math>에 대하여, 다음이 성립한다.

:<math>\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}
\le \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}
\le \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}
\le \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots x_n^2}{n}}</math>

특히, 각각의 부등호가 등호가 될 성립할 [[필요 충분 조건]]은, 모든 실수들이 같다는 것이다. 즉,

:<math>\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}
< \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}
< \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}
< \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots x_n^2}{n}}
\qquad (\lnot x_1 = x_2 = \cdots = x_n)</math>
:<math>\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}
= \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}
= \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}
= \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots x_n^2}{n}}
\qquad (x_1 = x_2 = \cdots = x_n)</math>

=== 기타 ===
이 부등식의 다른 일반화된 형태로는 [[뮤어헤드 부등식]]과 [[일반화된 평균|일반화된 평균 부등식]]이 있다.

== 같이 보기 ==
* [[영의 부등식]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{수학노트|title=산술기하조화평균과 부등식}}
* {{매스월드|id=Arithmetic-Logarithmic-GeometricMeanInequality|title=Arithmetic-logarithmic-geometric mean inequality}}
* {{proofwiki|id=Cauchy%27s_Mean_Theorem|title=Cauchy's mean theorem}}

[[분류:부등식]]
[[분류:평균]]