산술-기하 수열 문서 원본 보기

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[[수학]]에서, 산술-기하 수열은 [[등차수열]]의 항과 대응하는 [[등비수열]]의 항을 항별로 곱한 수열이다.  더 쉽게 말해서, 산술-기하 수열의 n항은 등차수열의 n항과 등비수열의 n항의 곱이다. 산술-기하 수열은 [[확률론]]에서 [[기댓값]]을 계산하는 것과 같은 다양한 응용에서 나타난다. 예를 들어, 수열

: <math>\dfrac{\color{blue}{0}}{\color{green}{1}}, \ \dfrac{\color{blue}{1}}{\color{green}{2}}, \ \dfrac{\color{blue}{2}}{\color{green}{4}}, \ \dfrac{\color{blue}{3}}{\color{green}{8}}, \ \dfrac{\color{blue}{4}}{\color{green}{16}}, \ \dfrac{\color{blue}{5}}{\color{green}{32}}, \cdots </math>

은 산술-기하 수열이다. 산술 성분은 분자에 나타나고 (파란색), 기하 성분은 분모에 나타난다. (초록색)

이것은 등차수열과 등비수열의 특징을 둘 다 나타내는 다른 대상들에 적용될 수 있다. 예를 들어 [[:fr:Suite arithmético-géométrique|산술-기하 수열]]의 프랑스식 개념은 <math>u_{n+1}=a u_n+b</math>와 같은 형태로 나타나는 수열을 의미하는데, 이는 등차수열과 등비수열의 일반화이다. 이러한 수열은 [[Linear difference equation|선형 계차 방정식]]의 특별한 경우이다.

== 수열의 항 ==
공차가 <math>d</math>이고 초항이 <math>a</math>인 [[등차수열]](파란색)과 초항이 <math>b</math>이고 공비가 <math>r</math>인 [[등비수열]]로 이루어진 산술-기하 수열의 처음 몇 개의 항은 다음과 같이 주어진다:<ref name="RHB118">{{서적 인용|제목=Mathematical methods for physics and engineering|url=https://archive.org/details/mathematicalmeth00rile_192|성=K. F. Riley|성2=M. P. Hobson|연도=2010|판=3rd|출판사=Cambridge University Press|쪽=[https://archive.org/details/mathematicalmeth00rile_192/page/n147 118]|isbn=978-0-521-86153-3|성3=S. J. Bence}}</ref>

: <math>
\begin{align}
t_1 & =\color{blue}a \color{green}b \\
t_2 & =\color{blue}(a+d) \color{green}br \\
t_3 & =\color{blue}(a+2d)\color{green} br^2 \\
& \ \,\vdots \\
t_n & =\color{blue}[a+(n-1)d]\color{green} br^{n-1}
\end{align}
</math>

=== 예 ===
예를 들어, 수열

: <math>\dfrac{\color{blue}{0}}{\color{green}{1}}, \ \dfrac{\color{blue}{1}}{\color{green}{2}}, \ \dfrac{\color{blue}{2}}{\color{green}{4}}, \ \dfrac{\color{blue}{3}}{\color{green}{8}}, \ \dfrac{\color{blue}{4}}{\color{green}{16}}, \ \dfrac{\color{blue}{5}}{\color{green}{32}}, \cdots </math>

은 <math>d=b=1</math>, <math>a=0</math>, <math>r=\frac 12</math>에 의해 정의된다.

== 부분합 ==
산술-기하 수열의 첫 {{수학|''n''}}개 항의 합은 다음 형태를 가진다.

: <math>
\begin{align}
S_n & = \sum_{k = 1}^n t_k = \sum_{k = 1}^n \left[a + (k - 1) d\right] br^{k - 1} \\
& = ab + [a + d] br + [a + 2 d] br^2 + \cdots + [a + (n - 1) d] br^{n - 1} \\
& = A_1G_1 + A_2G_2 + A_3G_3 + \cdots + A_nG_n,
\end{align}
</math>

이 때 <math>A_i</math>와 <math>G_i</math>는 등차수열과 등비수열의 ''i''항을 각각 의미한다.

이 합은 다음과 같은 [[Closed-form expression|닫힌 형태 표현]]을 갖는다.

: <math>
\begin{align}
S_n & = \frac{ab - (a+nd)\,br^n}{1 - r}+\frac{dbr\,(1 - r^n)}{(1-r)^2}\\
    & = \frac{A_1G_1 - A_{n+1}G_{n+1}}{1 - r}+\frac{dr}{(1-r)^2}\,(G_1 - G_{n+1}).
\end{align}
</math>

=== 증명 ===
다음에 r을 곱한 다음,<ref name="RHB118">{{서적 인용|제목=Mathematical methods for physics and engineering|url=https://archive.org/details/mathematicalmeth00rile_192|성=K. F. Riley|성2=M. P. Hobson|연도=2010|판=3rd|출판사=Cambridge University Press|쪽=[https://archive.org/details/mathematicalmeth00rile_192/page/n147 118]|isbn=978-0-521-86153-3|성3=S. J. Bence}}</ref>

: <math>S_n = ab + [a + d] br + [a + 2 d] br^2 + \cdots + [a + (n - 1) d] br^{n - 1}</math>

{{수학|''rS<sub>n</sub>''}} 을 {{수학|''S<sub>n</sub>''}}에서 빼고 [[망원급수|망원 급수]]의 기법을 이용하면 다음을 얻는다.

: <math>\begin{align}
(1 - r) S_n = {} & \left[ab + (a + d) br + (a + 2 d) br^2 + \cdots + [a + (n - 1) d] br^{n - 1}\right] \\[5pt]
& {} - \left[a br + (a + d) br^2 + (a + 2 d) br^3 + \cdots + [a + (n - 1) d] br^n\right] \\[5pt]
= {} & ab + d b\left(r + r^2 + \cdots + r^{n-1}\right) - \left[a + (n - 1) d\right] br^n \\[5pt]
= {} & ab + d b\left(r + r^2 + \cdots + r^{n-1}+r^n\right) - \left(a + n d\right) br^n \\[5pt]
= {} & ab + d br \left(1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-1}\right) - \left(a + nd\right) br^n \\[5pt]
= {} & ab + \frac{d br (1 - r^n)}{1 - r} - (a + nd) br^n, \end{align}
</math>

이 때 마지막 등식은 [[등비수열|등비수열의 합]]으로부터 얻어진다. 마지막으로 {{수학|1 − ''r''}} 을 나누면 결론을 얻는다.

== 급수 ==
만일 −1 < ''r'' < 1이면, 산술-기하 [[급수 (수학)|급수]] ''S''는 말하자면 무한히 많은 항들을 더해서 얻은 것인데, 이는 다음과 같이 주어진다.<ref name="RHB118">{{서적 인용|제목=Mathematical methods for physics and engineering|url=https://archive.org/details/mathematicalmeth00rile_192|성=K. F. Riley|성2=M. P. Hobson|연도=2010|판=3rd|출판사=Cambridge University Press|쪽=[https://archive.org/details/mathematicalmeth00rile_192/page/n147 118]|isbn=978-0-521-86153-3|성3=S. J. Bence}}</ref>

: <math>
\begin{align}
S &= \sum_{k = 1}^\infty t_k = \lim_{n \to \infty}S_{n} \\
  &= \frac{ab}{1-r}+\frac{dbr}{(1-r)^2}\\
  &= \frac{A_1G_1}{1 - r}+\frac{dG_1r}{(1-r)^2}.
\end{align}
</math>

만일 ''r'' 이 위의 범위를 벗어나면, 급수는 다음 둘 중 하나이다.

* [[발산 급수|발산한다]] (''r'' > 1 또는 ''r'' = 1이고 등차수열의 ''a''와 ''d''가 모두 0이 아닌 경우. 만일 후자의 경우 ''a''와 ''d''가 모두 0이면, 급수의 모든 항이 0이 되어 급수는 상수가 된다.)
* 또는 [[교대급수]] (when ''r'' ≤ −1).

=== 예 : 기댓값에 대한 응용 ===
예를 들어, 합

: <math>S=\dfrac{\color{blue}{0}}{\color{green}{1}}+\dfrac{\color{blue}{1}}{\color{green}{2}}+\dfrac{\color{blue}{2}}{\color{green}{4}}+\dfrac{\color{blue}{3}}{\color{green}{8}}+\dfrac{\color{blue}{4}}{\color{green}{16}}+\dfrac{\color{blue}{5}}{\color{green}{32}}+\cdots </math>,

는 <math>d=b=1</math>, <math>a=0</math>, <math>r=\frac 12</math>로 정의된 산술-기하 급수인데, 이는 <math>S=2</math>로 수렴한다.

이 수열은 "뒷면"을 얻기까지 예상되는 [[동전 던지기]]의 기댓값과 관련있다. ''k''번째 동전 던지기에서 처음으로 뒷면을 얻을 확률 <math>T_k</math>는 다음과 같다:

: <math>T_1=\frac 1{2}, \ T_2=\frac 1{4},\dots, T_k = \frac 1{2^k}</math>.

따라서 동전 던지기의 기댓값은

: <math>\sum_{k=1}^{\infty} k T_k = \sum_{k=1}^{\infty} \frac {\color{blue}k}{\color{green}2^k} = S = 2</math> .

== 각주 ==
{{각주}}

== 더 읽을거리 ==
* {{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=5OffscY1FGYC&pg=SA10-PA8|제목=The Pearson Guide to Mathematics for the IIT-JEE, 2/e (New Edition)|성=D. Khattar|출판사=Pearson Education India|쪽=10.8|isbn=81-317-2876-5}}
* {{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=rQtlgvS598MC&pg=PA380|제목=Comprehensive Mathematics XI|성=P. Gupta|출판사=Laxmi Publications|쪽=380|isbn=81-7008-597-7}}

[[분류:급수]]