산술종수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]에서 '''산술 종수'''(算術 種數, {{llang|en|arithmetic genus}})는 [[대수다양체]]의 특징적 수의 하나다.

== 정의 ==
<math>n</math>차원 복소 [[대수다양체]]의 [[호지 수]](Hodge number)가 <math>h^{p,q}</math>라고 하자. 이 대수다양체의 '''산술 종수''' <math>p_a</math>는 다음과 같다.
:<math>p_a=h^{n,0}-h^{n-1,0}+h^{n-2,0}-\dotsb+(-1)^{n-1}h^{1,0}</math>.
마지막 항 <math>(-1)^nh^{0,0}</math>을 포함하지 않는다. 이는 [[리만 곡면]]의 종수의 정의와 호환되게 하기 위해서다.

== 성질 ==
[[체의 표수|표수]] 0인 [[대수적으로 닫힌 체]] 위의 [[비특이 대수다양체]]의 산술 종수는 [[쌍유리 불변량]]이다.<ref name="hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=Algebraic geometry|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|413, Remark V.5.6.1}} 임의의 표수의 대수적으로 닫힌 체 위에서, 고전적으로는 3차원 이하의 [[비특이 대수다양체]]의 산술 종수 역시 [[쌍유리 불변량]]이라는 사실이 알려져 있었다. 임의의 표수 및 임의의 차원의 비특이 대수다양체의 산술종수가 쌍유리 불변량이라는 사실은 최근에 증명되었다.<ref>{{저널 인용|arxiv=0911.3599|제목=Higher direct images of the structure sheaf in positive characteristic|이름=Andre|성=Chatzistamatiou|이름2=Kay|성2=Rülling|저널=Algebra and Number Theory|doi=10.2140/ant.2011.5.693|권=5|호=6|날짜=2011|쪽=693–775|issn=1937-0652|bibcode=2009arXiv0911.3599C|언어=en}}</ref>

특이점을 갖는 대수다양체의 경우, 산술 종수는 쌍유리 불변량이 아니다. 예를 들어, 특이점을 갖는 [[대수 곡선]]에서 특이점을 [[부풀리기|부풀리면]] 산술 종수는 감소한다.<ref name="hartshorne"/>{{rp|393, Example V.3.9.2}}

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 |last1=Griffiths |first1=Philip |저자링크=필립 오거스터스 그리피스 |last2=Harris |first2=Joseph | title=Principles of algebraic geometry | series=Wiley Classics Library | publisher= Wiley | 날짜=1994-08 | isbn=978-0-471-05059-9 | doi=10.1002/9781118032527|판=2|zbl=0836.14001|mr=1288523 |언어=en }}

== 같이 보기 ==
* [[기하종수]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Arithmetic genus}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수기하학]]