산란 행렬 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{양자장론}}
{{양자역학}}
[[산란]] 이론에서 '''산란 행렬'''(散亂行列, {{llang|en|scattering matrix}}) 또는 '''S행렬'''이란 [[산란]] 과정을 겪는 [[소립자]]<ref>{{웹 인용 |url=http://www.scienceall.com/%EC%97%90%EC%8A%A4%ED%96%89%EB%A0%AC%EC%9D%B4%EB%A1%A0s-matrix-theory/ |제목=에스행렬이론(S-matrix theory)-사이언스피디아 |확인날짜=2018-03-01 |archive-date=2018-03-01 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180301224902/http://www.scienceall.com/%EC%97%90%EC%8A%A4%ED%96%89%EB%A0%AC%EC%9D%B4%EB%A1%A0s-matrix-theory/ |url-status= }}</ref> 또는 [[계 (물리학)|계]]의 초기 상태와 나중 상태를 연관짓는 [[유니터리 행렬]]이다. 기호는 ''S''. 이를 이용하여 [[산란 단면적]]이나 붕괴율 따위를 계산할 수 있다. [[양자장론]]에서는 산란 행렬을 [[파인먼 도형]]으로 계산할 수 있다.

== 정의 ==
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[복소수 힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math>
* [[자기 수반 작용소]] <math>H_0\colon\operatorname{dom}H_0\to \mathcal H</math>, <math>\operatorname{dom}H_0\subseteq\mathcal H</math>. 이를 '''자유 해밀토니언'''({{llang|en|free Hamiltonian}})이라고 하자.
* [[자기 수반 작용소]] <math>H\colon\operatorname{dom}H\to \mathcal H</math>, <math>\operatorname{dom}H\subseteq\mathcal H</math>. 이를 '''상호 작용 해밀토니언'''({{llang|en|interacting Hamiltonian}})이라고 하자.
[[복소수 힐베르트 공간]] 위의 임의의 자기 수반 작용소 <math>A</math>에 대하여, 그 [[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]]의 분해를 통해 <math>\mathcal H</math>를
:<math>\mathcal H=\mathcal H_{\text{ac},A}\oplus\mathcal H_{\text{sc},A}\oplus\mathcal H_{\text{pp},A}</math>
로 분해할 수 있다. 여기서
* <math>\mathcal H_{\text{ac},A}</math>는 완전 연속 스펙트럼({{llang|en|purely continuous spectrum}})에 대응한다.
* <math>\mathcal H_{\text{sc},A}</math>는 특이 연속 스펙트럼({{llang|en|singular continuous spectrum}})에 대응한다.
* <math>\mathcal H_{\text{pp},A}</math>는 순수 점 스펙트럼({{llang|en|purely point spectrum}})에 대응한다.
마찬가지로, 위 부분 공간들에 대한 [[사영 작용소]]
:<math>\operatorname{proj}_{\text{ac},A},\operatorname{proj}_{\text{sc},A},\operatorname{proj}_{\text{pp},A}\colon\mathcal H\to\mathcal H</math>
를 정의할 수 있다.

또한, [[자기 수반 작용소]]에 대한 보렐 범함수 미적분학({{llang|en|Borel functional calculus}})을 통해, <math>x\mapsto\exp(\mathrm itx)</math>는 [[유계 함수]]이므로, 임의의 <math>t\in\mathbb R</math>에 대하여 [[유니터리 작용소]]
:<math>\exp(\mathrm itH_0)\colon\mathcal H\to\mathcal H</math>
:<math>\exp(\mathrm itH)\colon\mathcal H\to\mathcal H</math>
를 정의할 수 있다.

이제, <math>H_0</math>와 <math>H</math>에 대한 '''파동 연산자'''(波動演算子, {{llang|en|wave operator}})는 (만약 존재한다면) 다음과 같은 극한이다.<ref name="Yafaev">{{저널 인용|날짜=2004|arxiv=math/0403213|제목=Lectures on scattering theory|이름=Dmitri|성=Yafaev|bibcode=2004math......3213Y|언어=en}}</ref>{{rp|Definition 1.1}}
:<math>\operatorname W_\pm(H,H_0)\colon\mathcal H\to\mathcal H</math>
:<math>\operatorname W_\pm(H,H_0)=\lim_{t\to\infty}\exp(\pm\mathrm iHt)\exp(\mp\mathrm iH_0t)\operatorname{proj}_{\text{ac},H_0}</math>
여기서 [[극한]]은 점별 (노름) 수렴 위상에 대한 것이다. 부호가 −인 경우는 들어오는 파동, +인 경우는 나가는 파동에 해당한다. 만약 <math>W_\pm(H,H_0)</math>의 [[치역]]이 <math>\mathcal H_{\text{ac},H}</math>라면 파동 연산자를 '''완비 파동 연산자'''(完備波動演算子, {{llang|en|complete wave operator}})라고 하며,<ref name="Yafaev"/>{{rp|Definition 1.2}} 이는 <math>\mathcal H_{\text{ac},H_0}</math>와 <math>\mathcal H_{\text{ac},H}</math> 사이의 [[복소수 힐베르트 공간]] 동형 사상([[전단사 함수|전단사]] [[유니터리 작용소]])을 정의한다.

<math>H_0</math>와 <math>H</math>에 대한 '''산란 연산자'''(散亂演算子, {{llang|en|scattering operator}}) 또는 '''산란 행렬'''은 다음과 같다.<ref name="Yafaev"/>
:<math>\operatorname S(H,H_0)\colon\mathcal H\to\mathcal H</math>
:<math>\operatorname S(H,H_0)=\operatorname W_+^*(H,H_0)\operatorname W_-(H,H_0)</math>
만약 ± 파동 연산자가 둘 다 완비 파동 연산자라면, 이는 [[전단사 함수|전단사]] [[유니터리 변환]]
:<math>(\operatorname S(H,H_0)\restriction\mathcal H_{\text{ac},H_0})\colon \mathcal H_{\text{ac},H_0}\to \mathcal H_{\text{ac},H}</math>
를 정의한다.

간혹 '''T 연산자'''를
<math>\operatorname T(H,H_0)=-\mathrm i(\operatorname S(H,H_0)-\operatorname{proj}_{\text{ac},H_0})</math>
로 정의한다. 즉, <math>\mathcal H_{\text{ac},H_0}</math>에 제한하면, <math>\operatorname S=\mathrm iT</math>이다. 이는 산란 과정 가운데 관측할 수 있는 부분 (초기 상태와 다른 부분)을 나타낸다.

== 성질 ==
파동 연산자는 (만약 존재한다면) 다음과 같은 성질을 만족시킨다.
:<math>\operatorname W_\pm(H,H_0)H_0=H\operatorname W_\pm(H,H_0)</math>
산란 연산자는 (만약 존재한다면) 자유 해밀토니언 연산자와 가환한다.
:<math>\operatorname S(H,H_0)H_0=H_0\operatorname S(H,H_0)</math>

[[위그너 정리]]에 따라, 만약 <math>\operatorname W_\pm(H,H_0)</math>가 둘 다 완비라면,
:<math>\operatorname S(H,H_0)\restriction\mathcal H_{\text{ac},H_0}</math>
는 <math>\mathcal H_{\text{ac},H_0}\to \mathcal H_{\text{ac},H_0}</math> [[유니터리 작용소]]이다.

=== 존재 조건 ===
[[르베그 공간]] <math>\mathcal H=\operatorname L^2(\mathbb R^n;\mathbb C)</math> 위의 다음과 같은 두 [[자기 수반 작용소]]를 생각해보자.
:<math>H_0=\Delta+V_0(x)</math>
:<math>H_0=\Delta+V_0(x)+V(x)</math>
:<math>V_0,V\in\operatorname L^\infty(\mathbb R^n;\mathbb R)</math>
:<math>\sup_{x\in\mathbb R^n}V(x)(1+x^2)^{k/2}<\infty</math>
여기서 <math>k\in\mathbb R</math>는 어떤 실수이며, <math>\textstyle\Delta=-\sum_{i=1}^n\partial^2/\partial x_i^2</math>는 [[라플라스 연산자]]이다.

위와 같은 경우, 다음 조건 아래 완비 과거·미래 파동 연산자 및 산란 연산자가 존재한다.
* <math>k>n</math><ref name="Yafaev"/>{{Rp|Theorem 1.7}}
* <math>V_0=0</math>이며, <math>k>1</math><ref name="Yafaev"/>{{rp|Theorem 2.4}}

반면, 예를 들어 <Math>V_0=0</math>, <math>V(x)=(1+x^2)^{-2}</math>일 때는 파동 연산자가 존재하지 않는다.<ref name="Yafaev"/>{{rp|§3.1}}

== 응용 ==
[[하이젠베르크 묘사]]를 쓰자. [[민코프스키 공간]]에서 [[질량 간극]]을 갖는 양자장론의 경우 점근적인 초기 및 나중 상태는 [[포크 공간]]을 이룬다. 따라서 초기 상태의 포크 공간 <math>\mathcal H_\text{I}</math>와 나중 상태의 포크 공간 <math>\mathcal H_\text{F}</math>를 다음과 같이 적을 수 있다.

:<math>\mathcal H_\text{I}= \operatorname{span}\{ \left| k_1\ldots k_n \right\rangle = a_i^\dagger (k_1)\cdots a_i^\dagger (k_n)\left| I, 0\right\rangle_\text{I}\}</math>
:<math>\mathcal H_\text{F}= \operatorname{span}\{ \left| p_1\ldots p_n \right\rangle = a_f^\dagger (p_1)\cdots a_f^\dagger (p_n)\left| F, 0\right\rangle_\text {F}\}</math>
이들은 자유 해밀토니언 <math>H_0</math>의 고유 벡터 기저를 정의한다.

따라서 산란 연산자 <math>S</math>는 다음과 같이 표현된다.
:<math>\left \langle\beta \right |_\text{I}S\left |\alpha\right\rangle_\text{I} = S_{\alpha\beta} = \left \langle \beta |_\text{F}|\alpha\right\rangle_\text{I}</math>.

양자장론에서는 산란 연산자를 보통 [[상관함수]]를 통한, [[LSZ 축약 공식]]이라는 [[점근적 급수]]로 나타낼 수 있다. [[상관함수]]는 [[파인먼 도형]]으로 계산할 수 있다.

또한, 양자장론에서 산란 연산자는 보통 다음 조건들을 만족시킨다.
* <math>S\left|0\right\rangle = \left|0\right\rangle</math> ([[진공]]에서의 [[항등 함수|항등성]])
* <math>S\left| k\right\rangle=\left| k\right\rangle</math> (단입자 상태에서의 항등성)
이는 물론 물리학적으로 하나의 입자만이 존재하면 산란이 일어나지 않음을 뜻한다.

== 역사 ==
산란 행렬의 개념은 1937년에 [[존 휠러]]가 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=John Archibald|성=Wheeler|저자링크=존 휠러|제목=On the mathematical description of light nuclei by the method of resonating group structure|url=https://archive.org/details/sim_physical-review_1937-12-01_52_11/page/n27|저널=Physical Review|권=52|호=11|쪽=1107–1122|날짜=1937|doi=10.1103/PhysRev.52.1107|bibcode=1937PhRv...52.1107W|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=Dmitry R.|성=Yafaev|제목=Mathematical scattering theory: the general theory|출판사=American Mathematical Society|날짜=1995|총서=Translations of Mathematical Monographs|url=http://bookstore.ams.org/mmono-105-s/|isbn=978-0-8218-0951-8|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Dmitry R.|성=Yafaev|제목=Mathematical scattering theory: analytic theory|출판사=American Mathematical Society|날짜=2010|총서=Mathematical Surveys and Monographs|권=158|doi=10.1090/surv/158|언어=en}}
* {{서적 인용|총서=Operator theory: advances and applications|권=9|날짜=1983|제목=Mathematical Scattering Theory|이름=Hellmut|성=Baumgärtel|이름2=Manfred|성2=Wollenberg |isbn=978-3-0348-5442-9 |언어=en}}
* {{서적 인용|장url=http://www.math.caltech.edu/SimonPapers/R16.pdf|장=An overview of rigorous scattering theory|이름=Barry|성=Simon|제목=Atomic scattering theory: mathematical and computational aspects|출판사=University of West Ontario|editor1-first=J.|editor1-last=Nuttal|날짜=1978|쪽=1–24|언어=en}}
* {{서적 인용|이름1=Michael|성1=Reed|이름2=Barry|성2=Simon|제목=Scattering Theory|총서=Methods of Modern Mathematical Physics|권=3|출판사=Academic Press|날짜=1979|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[파인먼 도형]]
* [[LSZ 축약 공식]]
* [[윅의 정리]]
* [[S행렬이론]]

{{전거 통제}}

[[분류:수리물리학]]
[[분류:양자역학]]
[[분류:양자장론]]
[[분류:함수해석학]]
[[분류:산란 이론]]