사차 방정식 문서 원본 보기

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[[파일:Polynomialdeg4.png|섬네일|사차 함수의 그래프]]

'''사차 방정식'''(Quartic equation)이란, 최고차항의 차수가 4인 [[다항 방정식]]을 뜻한다. 일반적인 형태는

:<math>ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 , a\ne 0 </math>
와 같다.

여기에서 <math>a, b, c, d</math>는 각각 <math>x^4 , x^3 , x^2, x </math>의 [[계수]]라고 한다. <math>e</math>는 [[상수항]]이라고 부른다.

== 역사 ==
[[로도비코 페라리|페라리]]는 1540년에 해법을 발견하였지만, 그 해법은 중간에 [[삼차방정식]]을 푸는 과정을 포함하였고, 그리하여 즉시 발표할 수 없었다. 사차방정식의 해법은 삼차방정식의 해법과 함께 페라리의 스승인 [[지롤라모 카르다노|카르다노]]의 책에서 발표된다.

== 해법 ==
:<math>\textstyle a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0\   </math>

이 방정식에서 양변을 <math>x</math>의 최고차항인 <math>a</math>로 나눈 다음 <math>\textstyle x=y- {b \over 4a}</math> 라고 두면 <math>y^4 + p{y^2} + qy + r = 0</math> 꼴로 차 고차항을 [[치른하우스 변형]]으로 압축 정리(zipping)할 수 있다.

<math>y^4 +p{y}^2=  - qy - r </math>

한편, <math>( y^2 + p )^2 </math>의 완전제곱식을 풀면, <math>y^4 + 2py^2 + p^2  </math>이 되므로

:<math>y^4+py^2 </math>의 나머지인<math> py^2 + p^2</math>를 양변에 더해주어 좌변을 완전제곱식으로 만든다.
:<math> ( y^2 + p )^2 = p{y}^2 -qy + p^2 -r </math>이 된다.
이번에는 우변에 미지수 <math>t</math>를 제공하고 <math>y</math>와 <math>t</math>에 대해 정리하면,
:<math> \left(y^2+p+t \right)^2= \left(p+2t \right)y^2 -qy + \left(p^2+2pt  + t^2-r \right)</math>
우변 [[이차방정식]]의 [[판별식]], <math>D = q^2 -4 \left(p+2t\right) \left((p+ t)^2-r \right)=0 </math>이되면, 우변은 완전제곱식을 만족하겠다.

이것은 <math>t</math>에 대한 [[삼차방정식]]이므로 이것을 풀어 <math>t</math>의 3근 <math>t_1 ,t_2,t_3</math>를 구한다음 <math>t_1</math>을 대입한다.
:<math>D= q^2 -4 (p+2t_1) (p^2+2pt_1  + t_1 ^2-r) =0</math>  에 의해
:<math>{q^2 \over {4 (p+2t_1)}} = (p^2+2pt_1  + t_1 ^2-r) </math>  이므로,
:<math> \left(y^2+p+t_1 \right)^2= \left(p+2t_1 \right)y^2 -qy + \left( {q^2 \over {4 (p+2t_1)}}   \right)</math>
:<math>(y^2 +p+t_1)^2 = (p +2t_1) \left(y- {q \over {2(p+2t_1)}} \right)^2</math>이다.
이로써, 좌변과 우변 모두 완전제곱식이 되겠다.

이렇게, 사차방정식은 두 개의 [[완전제곱식]]의 [[이차방정식]]으로 분해된다.

양변에 제곱근을 주고, 이항시켜 정리하면,
<!--   (cur | prev) 07:28, 26 June 2017 75.37.29.3 (talk) 감사합니다, 75.37.29.3님-->
:<math> y^2 - \sqrt{p +2t_1}  y +\left( {q \over {2 \sqrt{p +2t_1}} } +p+t_1\right)=0</math>

근의 공식으로부터  <math>y = {{\sqrt{p +2t_1} \pm \sqrt{ {\left(-\sqrt{p+2t_1} \right)^2}   -4\left( {q \over {2 \sqrt{p +2t_1}}} +p+t_1  \right)}  } \over {2} }</math>

그리고, <math> x= y-{b \over 4a}</math>, 이므로

4근은,
:<math>x=  -{b \over 4a} + \left( {{\sqrt{p +2t_1} +\sqrt{  -3p - 2{t_1}   -{2q \over {\sqrt{p +2t_1}}}}  } \over {2} } \right)     ,  -{b \over 4a} + \left( {{\sqrt{p +2t_1} -\sqrt{ -3p - 2{t_1}  -{2q \over {\sqrt{p +2t_1}}}}  } \over {2} } \right) </math><br />
:<math> ,   -{b \over 4a} - \left( {{\sqrt{p +2t_1} +\sqrt{  -3p - 2{t_1}   -{2q \over {\sqrt{p +2t_1}}}}  } \over {2} } \right)
 ,   -{b \over 4a} - \left( {{\sqrt{p +2t_1} -\sqrt{  -3p - 2{t_1}   -{2q \over {\sqrt{p +2t_1}}}}  } \over {2} } \right)      </math>
이다.

==일반적인 경우==
:<math>\textstyle a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0\   </math>

양변을 <math>x</math>의 최고차항인 <math>a</math>로 나눈 다음 <math>\textstyle x=y- {b \over 4a}</math> 라고 두고 <math>y^4 + p{y^2} + qy + r = 0</math> 형태로 정리한다.<br />
:<math>{a \over a}x^4 + {b \over a} x^3 + {c \over a} x^2 +{d \over a}x+ {e \over a} = 0 </math><br />

여기서,  <math>{a \over a} = 1, {b \over a}= a,{c \over a}=b,{d \over a}=c,{e \over a}= d</math>, 치환 <br />

:<math>x^4 + a x^3 + b x^2 +cx+ d = 0 </math><br />
:<math>\left( y-{a \over 4} \right)^4+ a \left( y-{a \over 4} \right)^3+b \left( y-{a \over 4} \right)^2+c \left( y-{a \over 4} \right)+d=0 </math>
전개하면, <br />
:<math> y^4 + \left( {-3a^2   \over 8 } +b \right) y^2 + \left(   +{ a^3  \over 8}-{ba \over 2} +c   \right) y+ \left(  -{a^4 \over 64}+{a^4 \over 256}+{ba^2\over 16}-{ca \over 4} +d \right)   = 0</math><br />
여기서,  <math>{a \over a} = 1, {b \over a}= a,{c \over a}=b,{d \over a}=c,{e \over a}= d</math>, 치환 한것을<br />
:<math>x^4 + {b \over a} x^3 + {c \over a} x^2 +{d \over a}x+ {e \over a }= 0 </math> , 풀어주면<br />

:<math>y^4 + \left( {-3b^2 \over 8a^2}  +  {c \over a} \right) y^2 + \left(+ \left( {b^3 \over 8a^3} \right)  -  \left({bc \over 2a^2} \right)+ {d \over a} \right)y+ \left(- \left( {3b^4 \over 256a^4} \right)    +  \left( {cb^2 \over 16a^3} \right)  - {bd \over 4a^2}  + {e \over a} \right)= 0</math>
:<math>p= \left(  {-3b^2 \over 8a^2}  +  {c \over a}  \right) </math>
:<math>q=\left(   + \left( {b^3 \over 8a^3} \right)  -  \left({bc \over 2a^2} \right)+ {d \over a}   \right) </math>
:<math>r=\left(  - \left( {3b^4 \over 256a^4} \right)    +  \left( {cb^2 \over 16a^3} \right)  - {bd \over 4a^2}  + {e \over a}  \right) </math>


[[근과 계수의 관계]]에서, <br />
:<math>y=u+v+w</math>를 대입하면,  <br />
:<math>(u+v+w)^4 + p(u+v+w)^2+ q(u+v+w)+r = 0</math> <br />
:<math>u^2+v^2+w^2=- { p \over 2}</math>
:<math>u^2v^2+v^2w^2+w^2u^2={ p^2 \over 16} - { r \over 4} </math>
:<math> u^2v^2w^2= \left(-{ q \over 8} \right)^2  </math>
:<math>uvw = \left( -{ q \over 8} \right)  </math>
따라서, z로 3차방정식을 가정하여 정리하면, <br />
:<math>z^3 -(  u^2+v^2+w^2  )z^2 +(u^2v^2+v^2w^2+w^2u^2)z-(u^2v^2w^2)=0</math>
이것의 3차방정식을 풀면 근은 각 각 <math>u^2 , v^2 , w^2 </math>이고, <br />

다시 이것의 제곱근 <math> u,v,w</math>가 서로 곱해서, <br />

<math>uvw = -{q \over 8}</math>가 되는 값이 각각 근의<math> u,v,w</math>가 되고, <br />

이어서, <br />
<math>u v w = (-)u (-)v w = u (-)v (-)w = (-)u v (-)w</math>가 되고,<br />

이것으로<math> y = (u \cdot v \cdot w) ,( -u \cdot  -v \cdot  w),( u \cdot  -v \cdot -w),(-u \cdot  v \cdot -w)</math>가 되겠다.<br />

끝으로 정리하면, 4차방정식의 네근 <math>x =  y-{b \over 4a}</math>에 의해 , <br />
<math>(u \cdot v \cdot w)-{b \over 4a},  ( -u \cdot  -v \cdot  w)-{b \over 4a}, ( u \cdot  -v \cdot -w) -{b \over 4a}, (-u \cdot  v \cdot -w) -{b \over 4a}</math>가 되겠다. <br />

== 특수한 경우 ==
=== [[복이차방정식]] ===
사차 방정식 중 홀수 차수의 계수가 모두 0인, 즉 짝수 차수 항만 있는 방정식을 [[복이차방정식]](Biquadratic equations)이라고 한다.
<math>x^2=X</math>으로 [[치환]]해 이차방정식의 풀이를 이용해 푼다.
:<math>ax^4+bx^2+c = 0 \; , \; X=x^2</math>
:<math>aX^2+bX+c = 0 \; </math>

=== [[상반방정식]] ===
계수가 대칭적인 형태로 되어 있는 방정식을 '''[[상반방정식]]'''(Symmetric equations)이라고 한다. '''즉 방정식의 x의 n제곱 항 옆에 있는 계수를 거꾸로 읽어도 똑같다는 것이다.''' 사차방정식의 경우는 다음과 같다.
:<math>a_0 x^4 + a_1 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0</math><br />

이 경우 양변을 <math>x^2</math>으로 나누어 <math>{x + {1  \over x}}</math>를 <math>y</math>로 치환해주면 이차방정식으로 변환된다.<br />

<math>{ x^2}+{x^1} + 1 + {1 \over x^1} +{1 \over x^2} =0 </math><br />
<math>{ x^2}+{1 \over x^2}  + \left({x^1} + {1 \over x^1} \right)  + 1=0 </math><br />
<math> y^2 + y - 1 = 0</math><br />
이차방정식 근의 공식으로부터,<br />
<math> y = {{-1\pm \sqrt 5 } \over 2}</math> , 이고<br />
<math>{x} + {1 \over x}  = y </math>,  이므로<br />

<math> yx= \left( x  + {1 \over x } \right)x </math><br />

<math> yx ={x  x } + {1 \over x}x </math>, <br />

<math> x^2 + {1x \over x}  -yx  = 0 </math>, <br />

<math>x^2  -yx + {x \over x} = 0 </math>, <br />

<math>x^2  -yx + 1 = 0 </math><br />
따라서, 역시 근의 공식을 적용하면,<br />
<math>x = {{y\pm \sqrt {y^2-4}}\over 2}</math> 이므로, 여기에<math> y = {{-1\pm \sqrt 5 } \over 2}</math>를 대입하여 정리하면, <br />
<math>{1 \over 4}   \left( {-1\pm \sqrt 5 } \pm {{2 \sqrt{ -10 \pm2 \sqrt 5 }} \over 2}  \right)  </math><br />

<math>={1 \over 4} \left(  -1 + \sqrt 5 + i \sqrt {10+2 \sqrt 5}  \right),
{1 \over 4} \left(  -1 + \sqrt 5 - i \sqrt {10+2 \sqrt 5}  \right),{{1 \over 4} \left(  -1 - \sqrt 5 + i \sqrt {10-2 \sqrt 5}  \right)} ,{{1 \over 4} \left(  -1 - \sqrt 5 - i \sqrt {10-2 \sqrt 5}  \right)} </math>의 4근을 갖는다.<br />



좀 더 일반적으로 준상반방정식(Quasi-symmetric equations)
:<math>a_0 x^4 + a_1 x^3 + a_2 x^2 + a_1 m x + a_0 m^2 = 0</math>
의 경우 <math>x + {m\over x}</math>으로 치환해주면 된다.

=== [[이항방정식]] ===
<math>x^4 +a = 0</math>의 꼴이다.

특히  <math>x^4  = 1</math>의 경우는,  근의 계수 <math>\omega</math>를 교착해서 4개의 근이 구해진다.([[근]]은 [[1]], [[-1]], [[허수|i]], [[복소수|-i]]이다.)

=== 인수분해 ([[곱셈공식]] 적용) ===
:<math>x  = a</math>로 예약했을때,
:<math>\, a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)  </math>
:<math>\, x^4+x^2+1 =(x^2+x+1)(x^2-x+1)  </math>
:<math>\, a^4+b^4 = (a^2+b^2)^2-2a^2b^2 </math>
:<math>\, a^4+b^4+c^4 = (a^2+b^2+c^2)^2-2 \left( (ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c) \right) </math>
꼴로 인수분해와 2차방정식으로 풀수있다.
<!-- ===인수분해  ===
<math>x^4 +x^3+x^2+x+a = 0</math>
최고차항의 계수분에 상수항의 값의 약수들중에서 (x-a)꼴의 인수를 찾을수있다.
조립제법으로 확인
 -->

== 근과 계수의 관계 ==
{{참고|근과 계수의 관계}}
사차방정식 <math>\textstyle ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e=0 </math>의 네 근을 <math>\textstyle \alpha, \beta, \gamma, \delta</math>라고 하면, 방정식의 계수와 근들은 다음의 관계가 성립한다.
:<math>\textstyle \alpha + \beta + \gamma + \delta = - {b \over a} </math>
:<math>\textstyle \alpha \beta + \alpha \gamma + \alpha \delta + \beta \gamma + \beta \delta + \gamma \delta = {c \over a}</math>
:<math>\textstyle \alpha \beta \gamma + \alpha \beta \delta + \alpha \gamma \delta + \beta \gamma \delta = - {d \over a}</math>
:<math>\textstyle \alpha \beta \gamma \delta = {e \over a}</math>

이것은   [[이차 방정식#이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수의 관계 증명 2|이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수와의 관계증명]]을 사용하면, [[대수학의 기본정리]]에 따라 <math>n</math>차방정식은 <math>n</math>개의 근을 갖고,
따라서, <math>4</math>개의 근 <math>\alpha,\beta,\gamma,\delta </math>를 예정하고,
이를 <math>4</math>차방정식의 인수분해식으로 놓으면, <math>(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)(x-\delta)=0 </math>이 되고,
다항식으로 전개하면, <math>x^4 - (\alpha + \beta + \gamma + \delta)x^3 + (\alpha \beta + \alpha \gamma + \alpha \delta + \beta \gamma + \beta \delta + \gamma \delta)x^2 - (\alpha \beta \gamma + \alpha \beta \delta + \alpha \gamma \delta + \beta \gamma \delta)x +\alpha \beta \gamma \delta =0  </math>이고, 일반항의 최고차항의 계수인 'a'로 양변을 나누면,
: <math>\textstyle {x^4 }+ {b   \over a}x^3+{ c  \over a}x^2 + {d  \over a}x + {e  \over a}=0 </math>

이므로, 서로 근의 정보와 계수 정보와의 상관관계를 보여주고 있다.

==  사차방정식의 판별식 ==
사차방정식의 [[판별식]]은 16개항으로 이루어져 있다.

[[실베스터 행렬]]의 [[종결식]]을 사용한 [[소행렬식]]의 [[라플라스 전개]]로 사차방정식의 판별식 유도가 가능하다.
:<math>ax^4+bx^3+cx^2+dx+e </math>을
:<math>a_4 x^4+a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0  </math>으로 계수를 예약했을때, [[실베스터 행렬]] <math>M=(2n-1)\cdot(2n-1)</math>
<!--:<math>a_4 x^4+a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0=0  </math>으로 계수를 가정했을때,  [[실베스터 행렬]] <math>M=(2n-1)\cdot(2n-1)</math> -->


:<math>
M=\begin{bmatrix}
a_4   &  a_3   &  a_2    &  a_1   &  a_0   &  0    &   0     \\
0     &  a_4   &  a_3    &  a_2   &  a_1   &  a_0  &   0     \\
0     &   0    &  a_4    &  a_3   &  a_2   &  a_1  &  a_0    \\
4a_4  &  3a_3  &  2a_2   &  1a_1  &  0a_0  &  0    &   0     \\
0     &  4a_4  &  3a_3   &  2a_2  &  1a_1  &  0a_0 &   0     \\
0     &    0   &  4a_4   &  3a_3  &  2a_2  &  1a_1 &  0a_0   \\
0a_0  & 0      &    0    &  4a_4  &  3a_3  &  2a_2 &  1a_1   \\
\end{bmatrix}</math>
:<math> D= (-1)^{n(n-1)\over 2} a_n^{-1} M </math>
:<math> D= (-1)^{4(4-1)\over 2} a_4^{-1} M </math>
:<math> D= (-1)^{12\over 2} a_4^{-1} M </math>
:<math> D= (-1)^{6} a_4^{-1} M </math>
<!-- :<math> D= (b^2 c^2 d^2 -b^3 4d^3 -a c^3 4d^2+abc18d^3-a^2 27d^4 +a^3 256e^3)</math><math>+e(-b^2 4c^3+b^3 c 18d+a 16c^4  - a b c^2 80d-a b^2 6d^2+a^2 c 144d^2  )</math><math>+e^2(-27b^4+a b^2 144c-a^2 128c^2-a^2 b 192d)     </math>  -->
:<math> D= -27a^2 d^4 +18abcd^3 -4a c^3 d^2 +16a c^4 e- 80a b c^2 d e
</math>
:<math>+144a^2 c d^2 e  -6a b^2 d^2 e-4b^3 d^3 +b^2 c^2 d^2 -4b^2 c^3 e </math>
:<math>+18b^3 c d e  -27b^4 e^2 +144a b^2 c e^2-192a^2 b d e^2   -128a^2 c^2  e^2
   +256a^3 e^3   </math>

== 같이 보기 ==
* [[일차 방정식]]
* [[이차 방정식]]
* [[삼차 방정식]]
* [[오차 방정식| 5차 방정식]]
* [[6차 방정식]]
[[분류:방정식]]