사인-고든 방정식 문서 원본 보기

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수학 및 [[물리학]]에서 '''사인-고든 방정식'''({{llang|en|sine–Gordon equation}})은 [[솔리톤]] 해를 가지는 비선형 쌍곡 [[편미분 방정식]]으로, [[적분가능계]]를 대표하는 예이다.

이 방정식은 [[단진자]] 운동 <math>\frac{d^2\theta}{dt^2}+ \sin\theta = 0</math>을 2차원 시공간으로 확장한 것으로도 볼 수 있다.

== 역사와 어원 ==
1862년에 에드몽 부르({{llang|fr|Edmond Bour}})가 최초로 연구하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Edmond |성=Bour|title= Théorie de la déformation des surfaces|저널=Journal de l’École impériale polytechnique |volume=39|pages= 1–48 |날짜=1862|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k433694t/f5.image|언어=fr}}</ref> 1939년에 야코프 프렌켈({{llang|ru|Яков Ильич Френкель}})과 콘토로바({{llang|ru|Т. М. Конторова}})가 재발견하였다.<ref>{{저널 인용|성=Френкель|이름=Я. И.|공저자=Т. М. Конторова|날짜=1939|제목= К теории пластической деформации и двойникования|저널=Физический журнал|권=1|쪽=137–149|언어=ru}}</ref>

"사인-고든"이라는 이름은 [[클라인-고든 방정식]]에 빗댄 말장난인데, 이는 사인고든 방정식이 클라인-고든 방정식 중 질량항을 [[사인 함수]] 모양 퍼텐셜로 바꾼 꼴이므로, "클라인"을 [[각운]](脚韻)이 같은 "사인"으로 대체한 것이다.

== 정의 ==
2차원 [[시공간]] <math>(t,x)\in\mathbb R^2</math>에서, '''사인-고든 방정식'''은 다음과 같다.
:<math>\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}-\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\sin\phi=0</math>
(※ <math>\phi=\phi(t,x)</math>를 뜻한다.)

이는 다음과 같은 [[라그랑지언]] 밀도로부터 유도할 수 있다.
:<math>\mathcal L=\frac12\left[\left(\frac{\partial\phi}{\partial t}\right)^2-\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)^2\right]-1+\cos\phi</math>
즉, 퍼텐셜이
:<math>V(\phi)=1-\cos\phi</math>
인 스칼라 장론이다.

== 공식 ==
<math>\phi_1</math>이 사인고든방정식을 만족하는 답이면 아래 공식을 통해 또다른 답 <math>\phi_2</math>을 구할 수 있다.
:<math>\frac{\partial\phi_2}{\partial t}=\frac{\partial\phi_1}{\partial x}+\left(a-\frac1a\right)\cos\frac{\phi_1}2\sin\frac{\phi_2}2+\left(a+\frac1a\right)\sin\frac{\phi_1}2\cos\frac{\phi_2}2 </math>
:<math>\frac{\partial\phi_2}{\partial x}=\frac{\partial\phi_1}{\partial t}+\left(a+\frac1a\right)\cos\frac{\phi_1}2\sin\frac{\phi_2}2+\left(a-\frac1a\right)\sin\frac{\phi_1}2\cos\frac{\phi_2}2 </math>
(※ a는 상수)

위 공식은 아래 식들을 통해 만들어진다.
:<math>\left(\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial t}\right)(\phi_2-\phi_1)=2a\sin\frac{\phi_2+\phi_1}2</math>
:<math>\left(\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial t}\right)(\phi_2+\phi_1)=\frac2a\sin\frac{\phi_2-\phi_1}2</math>

== 솔리톤 해 ==
사인-고든 방정식은 다음과 같은 솔리톤 해를 갖는다.
:<math>\phi(t,x)=4\arctan\exp\left(\frac{x-x_0-vt}{\sqrt{1-v^2}}\right)</math>
이는 속도 <math>v</math>로 움직이고, 초기 위치가 <math>x_0</math>인 솔리톤을 나타낸다.
=== 1-솔리톤 풀이 ===
<math>\frac{\partial\phi}{\partial t}=0</math>일때는
:<math>\frac{d^2\phi}{dx^2}=\sin\phi</math>
이니, 양변에다 <math>\frac{d\phi}{dx}</math>를 곱한 뒤 적분하면
:<math>\frac12\left(\frac{d\phi}{dx}\right)^2=2m-(1+\cos\varphi)</math>
:<math>=2\left(m-\cos^2\frac{\phi}2\right)</math>
(※ m은 상수)

이 되어, 이걸 2로 나눠주면 사인고든 방정식이
:<math>\left(\frac d{dx}\frac{\phi}2\right)^2=m-\cos^2\frac{\phi}2</math>
으로 바뀐다.

그다음 <math>\sin\frac{\phi-\pi}2=-\cos\frac{\phi}2=\sqrt mf</math>로 잡으면 <math>\sin\frac{\phi}2\times\frac d{dx}\frac{\phi}2=\sqrt m\frac{df}{dx}</math>이니, 양변에 <math>\sin^2\frac{\phi}2</math>를 곱하고 정리해보면 [[야코비 타원함수]] sn에 대한 방정식
:<math>\left(\frac{df}{dx}\right)^2=(1-f^2)(1-mf^2)</math>
이 나와
:<math>f(x)=\operatorname{sn}(x,m)</math>
임을 알수있고 이걸 아까 바꾸는 식에다 넣고 정리하면
:<math>\phi(x)=\pi+2\arcsin\sqrt m\operatorname{sn}(x,m)</math>
이 된다.

이 식에서 m=1로 놓고 정리한 뒤 로런츠 변환을 시키면 위에서 말한 식이 나온다.

=== 2-솔리톤 풀이 ===

== 양자화 ==
사인-고든 모형은 [[양자화 (물리학)|양자화]]할 수 있다.<ref name="Faddeev1978">{{저널 인용
 | 성 = Faddeev
 | 이름 = L. D.
 | 저자링크 = 류드비크 파데예프
 | 공저자 = V. E. Korepin
 | 제목 = Quantum theory of solitons
 | 저널 = Physics Reports
 | 권 = 42
 | 호 = 1
 | 쪽 = 1–87
 | 날짜 = 1978
 | doi = 10.1016/0370-1573(78)90058-3
 | bibcode = 1978PhR....42....1F
 | 언어 = en
}}</ref> 양자화하면 [[플랑크 상수]]에 해당하는 매개변수가 하나 더 추가되며, 이에 따라서 입자 스펙트럼이 달라진다. 이 모형의 [[산란 행렬]]은 해석적으로 계산 가능하며, 이는 [[티링 모형]]과 [[S-이중성]]을 통해 동형이다.<ref>{{저널 인용
 | 성 = Coleman
 | 이름 = Sidney
 | 저자링크 = 시드니 콜먼
 | 제목 = Quantum sine–Gordon equation as the massive Thirring model
 | 저널 = Physical Review D
 | 권 = 11
 | 호 = 8
 | 쪽 =  2088–2097
 | 날짜 = 1975
 | doi = 10.1103/PhysRevD.11.2088
 | bibcode = 1975PhRvD..11.2088C
 | 언어 = en
}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[조지프슨 효과]]
* [[플럭손]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|first=Paul M.|last=Sutcliffe|title=Classical and quantum kink scattering|journal=Nuclear Physics B|volume=393|issue=1–2|date=1993-03-22|pages=211–224|doi=10.1016/0550-3213(93)90243-I||bibcode=1993NuPhB.393..211S|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Sine-GordonEquation|title=Sine-Gordon equation}}
* {{수학노트|title=사인-고든 방정식}}

{{전거 통제}}

[[분류:편미분 방정식]]
[[분류:양자장론]]
[[분류:물리학 방정식]]
[[분류:수리물리학]]