사유한군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''사유한군'''(射有限群, {{llang|en|profinite group}})은 [[유한군]]의 [[사영 극한]]으로 얻어지는 [[위상군]]이다.

== 정의 ==
[[위상군]] <math>G</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상군을 '''사유한군'''이라고 한다.<ref name="NeukirchSchmidtWingberg2008">{{서적 인용|성1=Neukirch|이름1=Jürgen|저자링크1=위르겐 노이키르히|성2=Schmidt|이름2=Alexander|성3=Wingberg|이름3=Kay|제목=Cohomology of number fields|언어=en|판=2|총서=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften|권=323|출판사=Springer|위치=Berlin|날짜=2008|isbn=978-3-540-37888-4|issn=0072-7830|doi=10.1007/978-3-540-37889-1|mr=2392026|zbl=1136.11001|lccn=2008921043}}</ref>{{rp|5, Proposition 1.1.3}}
* [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[완전 분리 공간|완전 분리]] [[위상군]]이다. 즉, [[스톤 공간]]인 [[위상군]]이다.
* [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[위상군]]이며, [[열린집합|열린]] [[부분군]]들로 구성된 <math>1\in G</math>의 [[국소 기저]]가 존재한다.
* [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[위상군]]이며, [[열린집합|열린]] [[정규 부분군]]들로 구성된 <math>1\in G</math>의 [[국소 기저]]가 존재한다.
* [[이산 공간|이산]] [[유한군]]들의 [[사영 극한]]과 [[동형]]이다.
{{증명|부제=넷째 조건 ⇒ 첫째 조건}}
다음 사실들로부터 따라온다.
* [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[위상군]]들의 [[사영 극한]]은 [[직접곱]]의 닫힌 부분군이며, 여기에 [[곱위상]]의 [[부분 공간 위상]]을 준다.
* [[콤팩트 공간]]의 [[곱공간]] 및 [[닫힌집합]]은 콤팩트 공간이다.
* [[완전 분리 공간]]의 [[곱공간]] 및 부분 집합은 완전 분리 공간이다.
* 유한 [[이산 공간]]은 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[완전 분리 공간]]이다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=첫째 조건 ⇒ 둘째 조건}}
[[위상군]] <math>G</math>가 [[하우스도르프 공간]]이며, [[콤팩트 공간]]이며, [[완전 분리 공간]]이라고 하자. 임의의 [[열린 근방]] <math>O\ni1</math>에 대하여, <math>H\subseteq O</math>인 열린 부분군 <math>H</math>를 찾으면 충분하다. [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[완전 분리 공간]]의 [[작은 귀납적 차원]]은 0이므로, <math>G</math>는 [[열린닫힌집합]]들로 구성된 [[기저 (위상수학)|기저]]를 가지며, <math>1\in U\subseteq O</math>인 [[열린닫힌집합]] <math>U</math>가 존재한다. 이제,
:<math>H=\{g\in G\colon Ug=U\}</math>
라고 하자. 자명하게 <math>H\subseteq U</math>이며 <math>H\le G</math>이므로, <math>H</math>가 [[열린집합]]임을 보이면 충분하다.
:<math>H=V\cap V^{-1}</math>
:<math>V=\{g\in G\colon Ug\subseteq U\}</math>
이므로, <math>V</math>가 [[열린집합]]임을 보이면 충분하다. <math>V</math>의 정의에 따라, 임의의 <math>u\in U</math> 및 <math>v\in V</math>에 대하여, <math>uv\in U</math>이므로, <math>U_{uv}V_{uv}\subseteq U</math>인 [[열린 근방]] <math>U_{uv}\ni u</math> 및 <math>V_{uv}\ni v</math>가 존재한다. <math>\{U_{uv}\colon u\in U\}</math>는 <math>U</math>의 <math>X</math>에서의 [[열린 덮개]]이며, <math>U</math>는 [[콤팩트 공간]]의 [[닫힌집합]]이므로 콤팩트 공간이다. 따라서, 유한 부분 덮개 <math>\{U_{u_1v},\dots,U_{u_{n_v}v}\}</math>가 존재한다. 그렇다면,
:<math>V_v=V_{u_1v}\cap\cdots\cap V_{u_{n_v}v}</math>
는 [[열린집합]]이며, <math>v\in V_v\subseteq V</math>이다. 즉, <math>V</math>는 [[열린집합]]이다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=둘째 조건 ⇒ 셋째 조건}}
임의의 열린 부분군 <math>H\le G</math>에 대하여,
:<math>G=\bigsqcup_{gH\in G/H}gH</math>
이며, <math>G</math>가 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[위상군]]이므로, <math>H</math>의 [[부분군의 지표|지표]]는 유한하다. <math>H</math>의 켤레 부분군들의 수는 <math>H</math>의 [[정규화 부분군]]의 [[부분군의 지표|지표]] <math>|G:\operatorname N_G(H)|</math>이므로, 역시 유한하다. 이제,
:<math>N=\bigcap_{g\in G}gHg^{-1}</math>
라고 하자. <math>N</math>은 <math>G</math>의 [[정규 부분군]]이며, <math>N\subseteq H</math>이다. 또한, 유한한 수의 [[열린집합]]의 [[교집합]]이므로, 열린집합이다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=셋째 조건 ⇒ 넷째 조건}}
<math>\mathcal N</math>이 <math>G</math>의 열린 정규 부분군들의 집합이라고 하자. 가정에 따라, <math>\mathcal N</math>은 1의 [[국소 기저]]이다. 임의의 <math>N\in\mathcal N</math>에 대하여, 몫군 <math>G/N</math>은 [[몫위상]]을 주었을 때 [[위상군]]을 이룬다. <math>G/N</math>은 [[콤팩트 공간]]의 연속적 상이므로 콤팩트 공간이며, <math>N\in G/N</math>의 원상 <math>N\subseteq G</math>가 [[열린집합]]이므로 [[이산 공간]]이다. 특히, <math>G/N</math>은 유한군이다. 또한, <math>\mathcal N</math>은 (포함 관계에 대하여) [[하향 원순서 집합]]을 이루므로, 표준적인 [[전사 함수|전사]] [[연속 함수|연속]] [[군 준동형]]
:<math>\phi_{NN'}\colon G/N'\to G/N\qquad(N'\subseteq N)</math>
들을 사용하여 [[사영 극한]]
:<math>\varprojlim_{N\in\mathcal N}G/N</math>
을 정의할 수 있다.

이제, 표준적인 전사 연속 군 준동형
:<math>\phi_N\colon G\to G/N</math>
을 생각하자. [[사영 극한]]의 [[보편 성질]]에 따라, 연속 군 준동형
:<math>\phi\colon G\to\varprojlim_{N\in\mathcal N}G/N</math>
:<math>\pi_N\circ\phi=\phi_N\qquad\forall N\in\mathcal N</math>
이 존재한다. <math>\phi</math>가 위상군의 [[동형]]임을 보이면 충분하다. 그런데 <math>G</math>와 <math>\varprojlim_{N\in\mathcal N}G/N</math> 모두 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이므로, <math>\phi</math>가 [[전단사 함수]]임을 보이면 충분하다.
* <math>\phi</math>는 [[단사 함수]]
** <math>\ker\phi=\bigcap_{N\in\mathcal N}N</math>이다. <math>\mathcal N</math>이 1의 [[국소 기저]]이며, <math>G</math>가 [[하우스도르프 공간]]이므로, <math>\ker\phi=\{1\}</math>이다.
* <math>\phi</math>는 [[전사 함수]]
** 임의의 <math>x=(x_N)_{N\in\mathcal N}\in\varprojlim_{N\in\mathcal N}G/N</math>에 대하여, <math>\phi^{-1}(x)=\bigcap_{N\in\mathcal N}\phi_N^{-1}(x_N)</math>이다. 모든 <math>\phi_N^{-1}(x_N)</math>은 [[콤팩트 공간]] <math>G</math>의 [[닫힌집합]]이다. 임의의 [[유한 집합]] <math>\{N_1,\dots,N_n\}\subseteq\mathcal N</math>에 대하여, <math>N=N_1\cap\cdots\cap N_n</math>이며 <math>x_N=\phi_N(g)</math>이라고 하자. 그렇다면, 임의의 <math>i=1,\dots,n</math>에 대하여, <math>\phi_{N_i}(g)=\phi_{N_iN}(\phi_N(g))=\phi_{N_iN}(x_N)=x_{N_i}</math>이다. 즉, <math>\phi_{N_1}^{-1}(x_{N_1})\cap\cdots\cap\phi_{N_n}^{-1}(x_{N_n})\ne\varnothing</math>이며, <math>\phi_N^{-1}(x_N)</math>들은 [[유한 교집합 성질]]을 만족시킨다. 따라서, <math>\phi^{-1}(x)\ne\varnothing</math>이다.
{{증명 끝}}

== 성질 ==
다음 성질들이 성립한다.
* (무한할 수도 있는 개수의) 사유한군들의 ([[곱위상]]이 주어진) [[직접곱]]은 사유한군이다. 사유한군의 [[닫힌집합|닫힌]] 부분군은 사유한군이다.
* 사유한군의 부분군이 [[열린집합]]일 [[필요충분조건]]은 이 부분군이 유한 [[부분군의 지표|지표]]의 [[닫힌집합]]이라는 것이다.
{{증명}}
[[콤팩트 공간]]의 [[곱공간]] 및 [[닫힌집합]]은 콤팩트 공간이다. [[하우스도르프 공간]]이나 [[완전 분리 공간]]의 [[곱공간]] 및 임의의 부분 집합은 하우스도르프 공간이나 완전 분리 공간이다. 따라서, 사유한군들의 [[직접곱]] 및 닫힌 부분군은 사유한군이다.

[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[위상군]]에서, 열린 부분군은 유한 지표 닫힌 부분군과 [[동치]]이다. 특히, 이는 사유한군에서도 성립한다.
{{증명 끝}}

=== 사유한 완비화 ===
임의의 [[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 '''사유한 완비화'''(射有限完備化, {{llang|en|profinite completion}}) <math>\widehat G</math>는 다음과 같다.
:<math>\widehat G=\varprojlim_{{\scriptstyle N\vartriangleleft G\atop\scriptstyle[G:N]<\aleph_0}}G/N</math>
즉, <math>G</math>의 모든 유한 [[부분군의 지표|지표]] [[정규 부분군]] <math>N</math>에 대한 [[몫군]]들의 [[사영 극한]]이다. <math>\widehat G</math>는 자연스럽게 사유한군을 이룬다. 또한, 자연스러운 [[군 준동형]] <math>G\to\widehat G</math>가 존재하며, 이 준동형의 [[상 (수학)|상]]은 <math>\widehat G</math>의 [[조밀 집합]]이다. 일반적으로 이는 [[단사 사상]]이 아니다.

또한, 일반적으로 사유한 완비화 연산은 [[멱등법칙|멱등]]이 아니다. 즉, <math>\widehat{\widehat G}\not\cong\widehat G</math>일 수 있다.

사유한 완비화는 사유한군의 범주 <math>\widehat\operatorname{Grp}</math>와 [[군 (수학)|군]]의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math> 사이의 [[망각 함자]]
:<math>F\colon\widehat\operatorname{Grp}\to\operatorname{Grp}</math>
의 [[왼쪽 수반 함자]]
:<math>\widehat{\phantom G}\colon\operatorname{Grp}\to\widehat\operatorname{Grp}</math>
:<math>\widehat{\phantom G}\vdash F</math>
를 이룬다.<ref name="Horel">{{저널 인용
|이름=Geoffroy
|성=Horel
|제목=Profinite completion of operads and the Grothendieck-Teichmüller group
|언어=en
|저널=
|권=321
|쪽=326-390
|날짜=2017
|issn=0001-8708
|doi=10.1016/j.aim.2017.09.030
|mr=3715714
|zbl=1385.55007
|arxiv=1504.01605
}}</ref>{{rp|345}}
{{증명|제목=함자의 구성}}
사유한 완비화 <math>\widehat G</math>는 다음 조건을 만족시키는 원소
:<math>(g_NN)_N\in\prod_{{\scriptstyle N\vartriangleleft G\atop\scriptstyle[G:N]<\aleph_0}}G/N</math>
들로 구성된 ([[이산 위상]]의 [[곱위상]]의 [[부분공간 위상]]을 부여한) [[위상군]]으로 여길 수 있다.
* 임의의 유한 [[부분군의 지표|지표]] [[정규 부분군]] <math>N\subset N'\subset G</math>에 대하여, <math>g_NN'=g_{N'}N'</math>
그렇다면, 사유한 완비화 함자에서, [[군 준동형]]
:<math>\phi\colon G\to H</math>
의 [[상 (수학)|상]]은 다음과 같은 위상군의 사상이다.
:<math>\widehat\phi\colon\widehat G\to\widehat H</math>
:<math>\widehat\phi\colon(g_NN)_N\mapsto(\phi(g_{\phi^{-1}(N')})N')_{N'}</math>
{{증명 끝}}

== 예 ==
모든 [[이산 공간|이산]] [[유한군]]은 사유한군이다.

[[p진 정수]] <math>\mathbb Z_p</math>는 사유한군을 이룬다. 이는 순환군 <math>\mathbb Z/p^n</math>들의 [[사영 극한]]으로 정의된다. [[정수]]군 <math>\mathbb Z</math>의 사유한 완비화는 모든 [[p진 정수]]군의 [[직접곱]]과 [[동형]]이다.
:<math>\widehat\mathbb Z=\varprojlim_{n\in\mathbb N}\mathbb Z/n\mathbb Z\cong\prod_p\mathbb Z_p</math>

사유한군은 [[갈루아 이론]]에서 등장한다. 구체적으로, [[갈루아 확대]] <math>L/K</math>가 주어지면 <math>K</math>를 고정시키는 체 [[자기 동형 사상]]들의 군 <math>\operatorname{Gal}(L/K)</math>는 사유한군이다. 이는 유한 갈루아 확대 <math>F/K</math>들의 [[사영 극한]]이다. 모든 사유한군은 갈루아 확대의 갈루아 군과 동형이다.<ref>{{저널 인용
 | last = Waterhouse | first = William C.
 | doi = 10.2307/2039560
 | issue = 2
 | journal = Proceedings of the American Mathematical Society
 | pages = 639–640
 | title = Profinite groups are Galois groups
 | volume = 42
 | year = 1974
 | jstor = 2039560 | zbl=0281.20031
 | publisher = American Mathematical Society
 | 언어=en
}}</ref>

[[대수기하학]]의 [[에탈 기본군]]은 사유한군이다. (그러나 [[대수적 위상수학]]의 [[기본군]]들은 일반적으로 사유한군이 아니다.)

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용| 성=Fried | 이름=Michael D. | 이름2=Moshe | 성2=Jarden | title=Field arithmetic | edition=3판 | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge | volume=11 | publisher=Springer-Verlag | year=2008 | isbn=978-3-540-77269-9 | zbl=1145.12001  | 언어=en | id={{구글 도서 식별자|FNkMaZrvpvsC}} }}
*{{저널 인용
 | last = Nikolov | first = Nikolay
 | 이름2 = Dan |성2=Segal
 | arxiv = math/0604399
 | title = On finitely generated profinite groups. I. Strong completeness and uniform bounds
 | 날짜 = 2006 | 언어=en}}
*{{저널 인용
 | last = Nikolov | first = Nikolay
 | 이름2 = Dan |성2=Segal
 | arxiv = math/0604400
 | title = On finitely generated profinite groups. II. Products in quasisimple groups
 | 날짜 = 2006 | 언어=en}}
*{{서적 인용
 | last = Serre | first = Jean-Pierre | authorlink = 장피에르 세르
 | mr = 1324577 | zbl=0812.12002 | 언어=fr
 | isbn = 978-3-540-58002-7
 | publisher = Springer-Verlag
 | series = Lecture Notes in Mathematics
 | title = Cohomologie galoisienne
 | volume = 5
 | 판 = 5 | doi=10.1007/BFb0108758
 | 날짜 = 1994}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Profinite group}}
* {{nlab|id=profinite group|제목=Profinite group}}
* {{nlab|id=profinite completion of a group|제목=Profinite completion of a group}}
* {{nlab|id=profinite completion of the integers|제목=Profinite completion of the integers}}
* {{groupprops|제목=Profinite group}}
* {{groupprops|제목=Profinite completion}}
* {{groupprops|제목=Profinite completion of the integers}}

{{전거 통제}}

[[분류:위상군]]
[[분류:대수적 수론]]