사원수 표현 문서 원본 보기

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[[군 표현론]]에서, '''사원수 표현'''(四元數表現, {{llang|en|quaternionic representation}}은 [[사원수 벡터 공간]] 위의 [[군의 표현]]이다.

== 정의 ==
사원수 표현의 개념은 [[사원수]]의 용어를 사용하여 간단히 정의될 수 있으며, 사원수를 사용하지 않고 순수하게 [[복소수]]만으로 정의될 수도 있다.

=== 사원수를 통한 정의 ===
군 <math>G</math>의 '''사원수 표현'''은 다음과 같은 꼴의 [[군 준동형]]이다.
:<math>\rho \colon G\to \operatorname{GL}(n;\mathbb H)</math>
여기서
* <math>\operatorname{GL}(n;\mathbb H)=\hom_{\mathbb H}(\mathbb H^{\oplus n},\mathbb H^{\oplus n})</math>은 <math>n</math>차원 [[사원수 벡터 공간]] 위의, 가역 사원수 [[선형 변환]]들의 [[리 군]]이다.

=== 복소수를 통한 정의 ===
군 <math>G</math>의 '''사원수 표현''' <math>(\rho, V, j)</math>은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 짝수 <math>2n</math> 차원 [[복소수 벡터 공간]] <math>V</math>
* [[군 준동형]] <math>\rho \colon G\to \operatorname{GL}(n;\mathbb H)</math>
* [[실수 선형 변환]] <math>j \colon V \to V</math>
이는 다음을 만족시켜야 한다.
* ([[대합 (수학)|대합]]) <math>j\circ j = \operatorname{id}_V</math>
* (반선형성) 임의의 복소수 <math>\lambda\in\mathbb C</math> 및 <math>v\in V</math>에 대하여, <math>j(\lambda v) = \bar\lambda j(v)</math>
* (군의 작용) 임의의 <math>g\in G</math> 및 <math>v\in V</math>에 대하여, <math>j(\rho(g)v) = \rho(g)j(v)</math>

== 예 ==
=== SU(2) 스피너 표현 ===
3차원 [[스핀 군]] <math>\operatorname{Spin}(3) \cong \operatorname{SU}(2)</math>의 복소수 2차원 스피너 표현은 사원수 표현을 이룬다. 사원수 표현으로서, 이 표현
:<math>\rho \colon \operatorname{Spin}(3) \to \operatorname{GL}(1;\mathbb H)</math>
의 [[상 (수학)|상]]은
:<math>\operatorname{im}\rho = \{x\in\mathbb H \colon \|x\|=1\}</math>
이다. 이는 유니터리 표현이다.

=== 콤팩트 단순 리 군의 사원수 표현 ===
[[연결 공간|연결]] [[단일 연결]] [[콤팩트 리 군]] 가운데, 사원수 기약 표현을 갖는 것들의 목록은 다음과 같다.
* <math>\operatorname{SU}(4n+2)</math> (즉, <math>\mathsf A_{4\bullet+1}</math>)
* <math>\operatorname{Spin}(n)</math>, <math>(n\bmod 8) \in \{3, 4, 5\}</math> (즉, <math>\mathsf B_{4\bullet+1}</math>, <math>\mathsf B_{4\bullet+1}</math>, <math>\mathsf D_{4\bullet+2}</math>)
* <math>\operatorname{USp}(2n)</math> (즉, <math>\mathsf C_\bullet</math>)
* <math>\mathsf E_7</math>

[[스핀 군]]의 경우, 사원수 기약 표현의 존재는 [[보트 주기성]]을 따른다.

== 같이 보기 ==
* [[심플렉틱 벡터 공간]]
== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://www.math.wisc.edu/~robbin/angelic/RCH-G.pdf | 제목=Real, complex, and quaternionic representations | 이름= J. W. | 성=Robbin | 날짜=2006-03-10 | 언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/47492/which-groups-have-only-real-and-quaternionic-irreducible-representations | 제목=Which groups have only real and quaternionic irreducible representations? | 출판사=Math Overflow | 언어=en }}

{{전거 통제}}
[[분류:표현론]]