사영 초공간 문서 원본 보기

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[[이론물리학]]에서, '''사영 초공간'''(射影超空間, {{llang|en|projective superspace}})은 8개의 초대칭을 갖는 [[양자장론]]을 편리하게 다루는 [[초공간]]이다. 일반 초공간과 [[사영 직선]]([[리만 구]])의 [[곱공간]]이다.

4차원에서, <math>\mathcal N\ge2</math> 초대칭의 경우, 일반적인 [[초공간]]을 사용한다면 두 가지의 문제가 발생한다.
* 반가환수 좌표가 너무 많아서, 초다중항이 지나치게 커지므로, 초장에 여러 개의 제약 또는 게이지 대칭을 임의로 가해야 한다.
* 이러한 제약을 가하려면, 일반적으로 [[운동 방정식]]을 사용해야 한다. 이 문제는 유한 개의 성분을 가지는 초장으로 해결할 수 없다.<ref>{{저널 인용|제목=Manifest realizations of extended supersymmetry|이름=K. S.|성=Stelle|url=http://inspirehep.net/record/215695/files/NSF-ITP-85-01.pdf | 날짜=1985 | 언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Supersymmetry at BLTP: how it started and where we are | 이름=E. A.|성=Ivanov | arxiv=hep-th/0609176 | 언어=en}}</ref>{{rp|§4}}
이를 해결하기 위하여, 무한 개의 성분을 가지는 초장을 사용해야 한다. (물리적으로, 이 성분들은 유한 개를 제외하고는 모두 [[보조장]]이다.) 사영 초공간에서, 이 성분들은 [[리만 구]] 위의 [[로랑 급수]]의 성분들로서 등장한다. <math>\mathcal N=2</math> 초대칭의 SU(2) [[R대칭]]은 [[리만 구]] 위의 [[뫼비우스 변환]]으로 표현된다.

== 정의 ==
4차원 시공간에서, <math>\mathcal N=2</math> 초대칭을 생각하자. 이 경우, 일반 초공간의 좌표는 다음 세 가지이다.
* <math>x^\mu</math>
* 스피너 좌표 <math>\theta^{\alpha a}</math>, <math>\bar\theta^{\dot\alpha a}</math>
여기서 <math>\alpha\in\{1,2\}</math> 및 <math>\dot\alpha\in\{1,2\}</math>는 왼손 · 오른손 스피너 지표이며, <math>a\in\{1,2\}</math>는 SU(2) [[R대칭]]의 기본 표현 지표이다.

사영 초공간은 여기에 추가 가환 좌표 <math>u\in\mathbb C^2\setminus\{0\}</math>를 갖는다. 좌표들의 표현은 다음과 같다.
:{| class=wikitable
! 좌표 || [[로런츠 군]] <math>\operatorname{SO}(3,1)</math> 표현 || [[R대칭]] <math>\operatorname{SU}(2)</math> 표현 (스핀 <math>j</math>)|| [[R대칭]] <math>\operatorname U(1)</math> 표현
|-
| <math>x^\mu</math> || (½,½) || 0 || 0
|-
| <math>u_a</math> || (0,0) || ½ || 1
|-
| <math>\theta^\alpha_a</math> || (½,0) || ½ || 1
|-
| <math>\bar\theta^{\dot\alpha}_a</math> || (0,½) || ½ || &minus;1
|}
여기서, <math>u</math>의 두 복소수 성분은 사실 [[리만 구]] <math>\operatorname{C\mathbb P}^1</math>의 [[동차 좌표]]로 여겨진다.

=== 공변 미분 ===
일반 초공간의 공변 미분
:<math>D_{\alpha a},\bar D_{\dot\alpha a}</math>
은 다음과 같은 리 괄호를 갖는다.
:<math>\{D_{\alpha a},D_{\beta b}\} = 0</math>
:<math>\{\bar D_{\dot\alpha a},\bar D_{\dot\beta b}\} = 0</math>
:<math>\{\bar D_{\dot\alpha a},D_{\beta b}\} = \mathrm i\delta_{ab}\partial_\mu\sigma_{\beta\dot\alpha}^\mu</math>
이제, 다음을 정의하자.
:<math>\nabla_\alpha = u_aD_{\alpha a}</math>
:<math>\bar\nabla_{\dot\alpha} = u_a\bar D_{\dot\alpha b}\epsilon_{ab}</math>

=== 사영 초장 ===
조화 초공간 위에 정의된 초장 <math>\Phi</math>가
:<math>\nabla\Phi=0</math>
:<math>\bar\nabla\Phi=0</math>
:<math>\frac{\partial}{\partial\bar u}\phi = 0</math>
를 만족시키며,
:<math>\phi(x,cu) = c^n \phi(x,u)\qquad(c\in\mathbb C^\times)</math>
를 만족시킨다면, 이를 무게 <math>n</math>의 '''사영 초장'''({{llang|en|projective superfield}})이라고 한다. 이는 이제 <math>\operatorname{\mathbb CP}^1</math> 위의 <math>n</math>만큼 뒤틀린 [[선다발]]의 해석적 단면으로 여겨질 수 있다. 또한, 사영 초장은 극점 및 기타 특이점을 가질 수 있다.

이제, 이 극점 및 특이점을 피하는 [[리만 구]] 속의 [[폐곡선]] <math>\gamma</math>가 주어졌다고 하자. 이제, 4차원 <math>\mathcal N=2</math> 초대칭 이론의 '''라그랑지언''' <math>\mathcal L</math>은 무게 2의 사영 초장을 이루며, 이에 대한 [[작용 (물리학)|작용]]은 다음과 같다.
:<math>S = -\frac1{2\pi} \int_\gamma v\mathrm dv \int \mathrm d^4x\,\mathrm d^2\theta\,\mathrm d^2\bar\theta\,\nabla^a\nabla_a\bar\nabla_{\dot\beta}\bar\nabla^{\dot\beta}\mathcal L(z,v) </math>

== 예 ==
편의상, <math>\operatorname{\mathbb CP}^1</math>의 좌표 <math>\zeta=u^1/u^2</math>를 생각하자.

사영 초장은 다음과 같이 [[로랑 급수]]로 전개될 수 있다.
:<math>\Phi = \sum_{i=-\infty}^\infty \Phi_i\zeta^i</math>
스칼라 초다중항(4개 스칼라장과 1개 디랙 스피너장)의 경우, 보통 <math>\Phi</math>가 <math>\zeta=0</math>에서 [[정칙 함수]]인 것을 가정한다. 즉,
:<math>\Phi = \sum_{i=0}^\infty\Phi_i\zeta^i</math>
이다.

이제 [[초대칭 게이지 이론]]을 생각하자.<ref>{{저널 인용|이름=Ulf|성=Lindström|이름2=Martin|성2=Roček|doi=10.1007/BF02097052|제목=''N''&#x3D;2 super Yang-Mills theory in projective superspace|url=https://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104180310 | mr=1042450 | zbl=0825.58003|날짜=1990|저널=
Communications in Mathematical Physics |권= 128|호= 1 |쪽= 191-196|언어=en}}</ref> 위 스칼라 초장은 게이지 변환에 따라 다음과 같이 변환한다.
:<math>\Phi \mapsto \exp(\mathrm i\alpha)\Phi</math>
여기서 <math>\alpha</math>는 <math>\zeta</math>에 대하여 해석적인, 게이지 변환 매개 변수를 나타내는 초장이다.

게이지 초장(즉, 게이지 보손과 게이지노, 스칼라장을 포함하는 초다중항)은 다음과 같이, <math>\alpha</math>변환을 <math>\bar\alpha</math>변환으로 대응시켜, 게이지 불변 운동항을 적을 수 있게 한다.
:<math>\exp V = \exp(\mathrm i\bar\alpha) \exp V\exp(-\mathrm i\lambda)</math>
게이지 초장 <math>V</math> 역시 조화 초장이며, 이는 또한 다음과 같은 꼴의 [[로랑 급수]]를 갖는다.
:<math>V = \sum_{i=-2}^2\zeta^iV_i</math>
:<math>V_{-i} = (-)^i\bar v_i</math>

== 같이 보기 ==
* [[초공간]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{저널 인용 | 날짜=2010 | 제목= Lectures on nonlinear sigma-models in projective superspace | 이름=Sergei M. | 성=Kuzenko | doi=10.1088/1751-8113/43/44/443001 | bibcode=2010JPhA...43R3001K | arxiv=1004.0880 | 저널=Journal of Physics A | 권=43 | 쪽=443001 | 언어=en }}
* {{저널 인용 | arxiv= hep-th/0703181 | 저널 = Archivum Mathematicum | 권=43|날짜=2007|호=5| issn=1212-5059|url=http://www.emis.de/journals/AM/07-5/lind.pdf | 제목=Hyperkähler metrics from projective superspace | 이름=Ulf | 성=Lindström | 언어=en}}
* {{서적 인용|성=Galperin|이름=Alexander Samoilovich|이름2=E. A.|성2= Ivanov|이름3= V. I.|성3= Ogievetsky|이름4= E. S. |성4=Sokatchev|날짜=2001|제목=Harmonic superspace|출판사= Cambridge University Press|언어=en}}

[[분류:초대칭]]