사영 선형군 문서 원본 보기

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[[군론]]과 [[사영기하학]]에서 '''사영 선형군'''(射影線型群, {{llang|en|projective linear group}})은 어떤 [[사영 공간]]의 [[자기 동형군]]이다. 즉, [[일반 선형군]]의, 그 [[군의 중심]]에 대한 [[몫군]]이다.

== 정의 ==
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[가군]] <math>V</math>의 사영 선형군 <Math>\operatorname{PGL}(V;K)</math>은 다음과 같은 [[짧은 완전열]]에 대한 [[몫군]]이다.
:<math>1\to K^\times\hookrightarrow\operatorname{GL}(V;K)\twoheadrightarrow \operatorname{PGL}(V;K)\to1</math>
여기서
* <math>K^\times</math>는 <math>K</math>의 [[가역원군]]이다.
* <math>K^\times\hookrightarrow\operatorname{GL}(V;K)</math>는 가환환의 원소의 작용 <math>a \mapsto a\operatorname{id}_V</math>이며, 그 [[상 (수학)|상]]은 <math>\operatorname{GL}(V;K)</math>의 [[군의 중심]]이다.

=== 사영 특수 선형군 ===
만약 <math>K</math>가 가환환이며 <math>V</math>가 유한 <math>n</math>차원 <math>K</math>-[[자유 가군]]일 때, [[특수 선형군]] <math>\operatorname{SL}(V;K)</math>를 정의할 수 있으며, 그 [[군의 중심|중심]]은
:<math>\operatorname Z(\operatorname{SL}(V;K)) = \operatorname Z(\operatorname{GL}(V;K)) \cap \operatorname{SL}(V;K) = \{a \in \mathbb K^\times \colon \exists b\in K^\times \colon b^n = a\}</math>
이다. '''사영 특수 선형군'''({{llang|en|projective special linear group}})은 특수 선형군의, 그 [[군의 중심|중심]]에 대한 [[몫군]]이다.
:<math>1\to\operatorname Z(\operatorname{SL}(V;K))\to\operatorname{SL}(V;K)\twoheadrightarrow \operatorname{PSL}(V;K)\to1</math>

== 성질 ==
[[가환환]] <Math>K</math> 및 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.
:<math>\begin{matrix}
1 & \to & K^\times & \to & \operatorname{GL}(n;K) & \to & \operatorname{PGL}(n;K) & \to & 1 \\
& & {\scriptstyle(-)^n}\downarrow{\color{White}\scriptstyle(-)^n} & & \downarrow & & \downarrow \\
1 & \to & \operatorname{SZ}(n;K) & \to & \operatorname{SL}(n;K) & \to & \operatorname{PSL}(n;K) & \to & 1 \\
\end{matrix}</math>
여기서 <math>\operatorname{SZ}(n;K)</math>는 <Math>n</math>차 거듭제곱근을 (하나 이상 갖는) <math>K</math>의 가역원들의 [[아벨 군]]이다.

만약 <math>K</math>에서 모든 <math>n</math> 차 거듭제곱근이 존재한다면, 즉 어떤 <math>n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여 
:<math>(-)^n\colon K^\times\to K^\times</math>
:<math>(-)^n\colon \alpha\mapsto \alpha^n</math>
가 [[전사 함수]]라면, <Math>\operatorname{PGL}(n;K)</math>와 <Math>\operatorname{PSL}(n;K)</math>는 서로 같다.

== 예 ==
=== 유한체 ===
[[유한체]] <math>\mathbb F_q</math> 위의 사영 선형군의 크기는 다음과 같다.
:<math>|\operatorname{PGL}(n;\mathbb F_q)| = \frac1{q-1}|\operatorname{GL}(n;\mathbb F_q)|=\frac1{q-1}\prod_{i=0}^{n-1}(q^n-q^i)</math>

또한, 다음과 같은 [[군의 동형]]이 존재한다.
:<math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb F_2) \cong \operatorname{Sym}(3)</math>
:<math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb F_3) \cong \operatorname{Alt}(4)</math>
:<math>\operatorname{PGL}(2;\mathbb F_3) \cong \operatorname{Sym}(4)</math>
여기서 <math>\operatorname{Sym}(-)</math>은 [[대칭군 (군론)|대칭군]]이며, <Math>\operatorname{Alt}(-)</math>는 [[교대군]]이다.

=== 모듈러 군 ===
{{본문|모듈러 군}}
정수 계수 2차 사영 특수 선형군 <math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)</math>는 [[모듈러 군]]이며, 이는 [[모듈러 형식]]의 이론에 중요한 역할을 한다.

== 같이 보기 ==
* [[가역원]]

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=projective general linear group|title=Projective general linear group}}
* {{nlab|id=projective special linear group|title=Projective special linear group}}

{{전거 통제}}

[[분류:리 군]]
[[분류:사영기하학]]