사영 극한 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서, '''사영 극한'''(射影極限, {{llang|en|projective limit}}) 또는 '''역극한'''(逆極限, {{llang|en|inverse limit}})은 [[하향 원순서 집합]]을 지표 범주로 하는 범주론적 [[극한 (범주론)|극한]]이다. (지표 범주는 흔히 [[상향 원순서 집합]]의 [[반대 범주]]로 나타낸다.) 기호는 <math>\varprojlim</math> 또는 <math>\projlim</math>. 모든 [[대수 구조 다양체]]는 사영 극한을 가지며, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주와 [[균등 공간]]의 범주에서도 사영 극한이 존재한다.

== 정의 ==
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math> 속의 '''여과 체계'''({{llang|en|filtered system}}) <math>((X_i)_{i\in I},(f_{ij})_{i\lesssim j})</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* [[상향 원순서 집합]] <math>(I,\lesssim)</math>
* 임의의 <math>i\in I</math>에 대하여, 대상 <math>X_i\in\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>
* 임의의 <math>i\lesssim j</math>에 대하여, 사상 <math>f_{ij}\colon X_j\to X_i</math>
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* [[함자 (수학)|함자]] <math>I^{\operatorname{op}}\to\mathcal C</math>를 이룬다. 즉, 다음 두 조건이 성립한다.
** 임의의 <math>i\in I</math>에 대하여, <math>f_{ii}=\operatorname{id}_{X_i}</math>
** 임의의 <math>i\lesssim j\lesssim k</math>에 대하여, <math>f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}</math>
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math> 속의 여과 체계 <math>((X_i)_{i\in I},(f_{ij})_{i\lesssim j})</math>의 '''사영 극한''' <math>(X,(\pi_i\colon X\to X_i)_{i\in I})</math>은 이 여과 체계의 [[극한 (범주론)|극한]]이다. 구체적으로, 이는 다음 데이터로 구성된다.
* 대상 <math>X\in\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>
* 임의의 <math>i\in I</math>에 대하여, 사상 <math>\pi_i\colon X\to X_i</math>
이는 다음 [[보편 성질]]을 만족시켜야 한다.
* 임의의 <math>i\lesssim j</math>에 대하여, <math>\pi_i=f_{ij}\circ\pi_j</math>
* 만약 <math>Y\in\operatorname{op}(\mathcal C)</math>와 <math>(\psi_i\colon Y\to X_i)_{i\in I}</math>가 임의의 <math>i\lesssim j</math>에 대하여 <math>\psi_i=f_{ij}\circ\psi_j</math>를 만족한다면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 사상 <math>u\colon Y\to X</math>가 존재한다.
** 임의의 <math>i\in I</math>에 대하여, <math>\psi_i=\pi_i\circ u</math>
[[파일:InverseLimit-01.svg|200px|center]]
보통 <math>X=\varprojlim X_i</math>로 쓴다.

== 예 ==
사영 극한을 갖는 범주의 예는 다음과 같다.

=== 대수 구조 다양체 ===
임의의 [[대수 구조 다양체]] <math>\mathcal V</math>에서, [[대수 구조]]와 [[준동형]]들의 여과 체계 <math>((A_i)_{i\in(I,\lesssim)},(\phi_{ij}\colon A_j\to A_i)_{i\lesssim j})</math>의 사영 극한은 [[직접곱]]의 부분 대수
:<math>\varprojlim A_i=\left\{a\in\prod_{i\in I}A_i\colon a_i=\phi_{ij}(a_j)\qquad(i\lesssim j)\right\}</math>
및 사영 함수
:<math>\varprojlim A_i\to A_i\qquad(i\in I)</math>
들로 주어진다.

=== 위상 공간 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 [[연속 함수]]의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Top}</math>에서, 여과 체계 <math>((X_i)_{i\in(I,\lesssim)},(f_{ij})_{i\lesssim j})</math>의 사영 극한은 [[집합]]의 [[대수 구조 다양체]]에서의 사영 극한 위에 [[곱위상]]의 [[부분공간 위상]]을 부여한 것이다.

만약 모든 <math>X_i</math>가 [[하우스도르프 공간]]이라면, 사영 극한은 [[곱공간]]의 [[닫힌집합]]이다. 특히, 만약 모든 <math>X_i</math>가 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이라면, 사영 극한 역시 콤팩트 하우스도르프 공간이며, 사영 극한이 [[공집합]]일 [[필요충분조건]]은 어떤 <math>X_i</math>가 공집합인 것이다.

=== 균등 공간 ===
마찬가지로, [[균등 공간]]과 [[균등 연속 함수]]들의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Unif}</math> 속 여과 체계 <math>((X_i)_{i\in(I,\lesssim)},(f_{ij})_{i\lesssim j})</math>의 사영 극한은 [[집합]]의 [[대수 구조 다양체]]에서의 사영 극한 위에 곱 균등 구조의 부분공간 균등 구조를 부여한 것이다.

만약 모든 <math>X_i</math>가 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[완비 균등 공간]]이라면, 사영 극한 역시 하우스도르프 완비 균등 공간이다. 그러나 이 경우에 모든 <math>X_i</math>가 [[공집합]]이 아니더라도 사영 극한이 공집합일 수 있다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
|성1=Bergman
|이름1=George M.
|제목=An invitation to general algebra and universal constructions
|언어=en
|판=2
|총서=Universitext
|출판사=Springer
|위치=Cham
|날짜=2015
|isbn=978-3-319-11477-4
|doi=10.1007/978-3-319-11478-1
|mr=3309721
|zbl=1317.08001
|lccn=2014954583
}}
* {{서적 인용
|성1=Bourbaki
|이름1=Nicolas
|제목=General topology. Chapters 1–4
|언어=en
|판=Reprint of the 1966 edition
|총서=Elements of Mathematics (Berlin)
|출판사=Springer-Verlag
|위치=Berlin
|날짜=1989
|isbn=3-540-19374-X
|mr=0979294
|zbl=0683.54003
}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Projective limit}}
* {{매스월드|id=InverseLimit|제목=Inverse limit}}
* {{매스월드|id=InverseSystem|제목=Inverse system}}
* {{nlab|id=directed limit|제목=Directed limit}}

[[분류:극한 (범주론)]]
[[분류:추상대수학]]
[[분류:일반위상수학]]