사영 공간 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''사영 공간'''(射影空間, {{llang|en|projective space}})은 [[벡터 공간]]의 원점을 지나는 직선들의 집합이다. [[평행선]]들이 만나는 장소인 [[무한원직선]]이나 [[무한원평면]] 등의 개념을 엄밀히 다루기 위해 만들어진 개념이다. 사영 공간의 기하학을 다루는 학문인 [[사영기하학]]은 현대 [[대수기하학]]의 기초가 되었으며, 사영 공간 및 이를 확장한 개념인 [[그라스만 다양체]]와 [[깃발 다양체]]는 [[위상수학]], [[리 군론]], [[대수군론]] 및 이 대상들의 [[표현론 (수학)|표현론]]에서 중요한 역할을 한다.

== 정의 ==
음이 아닌 정수 <math>n\in\mathbb N</math>이 주어졌다고 하자.
정수 계수의 <math>n</math>차원 '''사영 공간''' <math>\mathbb P^n_{\mathbb Z}</math>은 다음과 같다.
:<math>\mathbb P^n_{\mathbb Z}=\operatorname{Proj}\mathbb Z[x_0,x_1,\dots,x_n]</math>
여기서 <math>\mathbb Z[x_0,x_1,\dots,x_n]</math>은 ([[등급환]]인) 정수 계수 [[다항식환]]이며, <math>\operatorname{Proj}</math>는 [[사영 스펙트럼]]이다.

임의의 [[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math>에 대하여, <math>X</math> 좌표의 <math>n</math>차원 '''사영 공간''' <math>\mathbb P_X^n</math>은 다음과 같다.
:<math>\mathbb P^n_X=\mathbb P^n_{\mathbb Z}\times X</math>
여기서 <math>\times</math>는 스킴의 범주의 [[곱 (범주론)|곱]]을 뜻한다.

만약 <math>R</math>가 [[가환환]]이라면, 다음이 성립한다.
:<math>\mathbb P^n_{\operatorname{Spec}R} = \operatorname{Proj}R[x_0,x_1,\dotsc,x_n]</math>

<math>K</math>가 [[대수적으로 닫힌 체]]라고 하자. 그렇다면, <math>\mathbb P^n_K</math>의 닫힌 점들은 다음과 같이 구체적으로 정의할 수 있다. <math>K^{n+1}\setminus\{(0,0,\dots,0)\}</math>에 다음과 같은 [[동치 관계]]를 주자.
:<math>(a_0,a_1,\dots,a_n)\sim(\lambda a_0,\lambda a_1,\dots,\lambda a_n)\qquad\forall\lambda\in K^\times</math>
그렇다면 <math>\mathbb P^n_K</math>의 닫힌 점들은 동치류 집합 <math>(K^{n+1}\setminus\{(0,0,\dots,0)\})/{\sim}</math>에 대응한다. 이 경우, <math>(a_0,\dots,a_n)</math>을 '''[[동차좌표]]'''라고 한다.

== 성질 ==
임의의 스킴 <math>S</math>에 대하여, 다음과 같은 표준적인 [[닫힌 몰입]]이 존재하며, 이를 '''세그레 사상'''({{llang|en|Segre morphism}})이라고 한다.
:<math>\mathbb P^m_S \times_S \mathbb P^n \to \mathbb P_S^{(m+1)(n+1)-1}</math>
<math>S</math> 위의 세그레 사상은 물론 (정수환 계수의) 절대적 세그레 사상의 올곱이다.
:<math>\mathbb P^m_{\mathbb Z} \times \mathbb P^n_{\mathbb Z} \to \mathbb P^{(m+1)(n+1)-1}_{\mathbb Z}</math>
구체적으로, 이는 동차 좌표에 대하여 다음과 같이 정의된다.
:<math>\left([x_0:x_1:\dotsb:x_m],[y_0:y_1:\dotsb:y_n]\right) \mapsto [x_0y_0:x_0y_1:\dotsb:x_0y_n:x_1y_0:x_1y_1:\dotsb:x_my_n]</math>
즉, 사영 사상
:<math>\pi_1 \colon \mathbb P^m_{\mathbb Z} \times \mathbb P^n_{\mathbb Z} \to \mathbb P^m_{\mathbb Z}</math>
:<math>\pi_2 \colon \mathbb P^m_{\mathbb Z} \times \mathbb P^n_{\mathbb Z} \to \mathbb P^n_{\mathbb Z}</math>
을 생각하면, [[가역층]]
:<math>\pi_1^* \mathcal O_{\mathbb P^m_{\mathbb Z}}(1) \otimes \pi_2^* \mathcal O_{\mathbb P^n_{\mathbb Z}}(1)</math>
을 취할 수 있으며, 이 가역층은 위와 같이 <math>(m+1)(n+1)</math>개의 단면 <math>x_iy_j</math> (<math>i\in\{0,\dotsc,m\},j\in\{0,\dotsc,n\}</math>)을 가지며, 이는 사영 공간 <math>\mathbb P^{(m+1)(n+1)-1}_{\mathbb Z}</math>로의 사상을 정의한다.

이를 통해, 사영 대수다양체의 곱이 사영 대수다양체임을 보일 수 있다.

== 예 ==
1차원 복소수 사영 공간 <math>\mathbb P^1_{\mathbb C}</math>은 [[복소다양체]]로 여겼을 때 [[리만 구]]가 된다.

== 역사 ==
세그레 사상은 [[코라도 세그레]]가 발견하였다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Projective space}}
* {{eom|title=Projective plane}}
* {{eom|title=Projective line}}
* {{매스월드|id=ProjectiveSpace|title=Projective space}}
* {{매스월드|id=ProjectivePlane|title=Projective plane}}
* {{nlab|id=projective space|title=Projective space}}
* {{nlab|id=projective plane|title=Projective plane}}
* {{nlab|id=projective line|title=Projective line}}

== 같이 보기 ==
* [[사영 스펙트럼]]
* [[아핀 공간]]
* [[사영 대수다양체]]
* [[유리 다양체]]

{{전거 통제}}

[[분류:사영기하학]]
[[분류:대수기하학]]
[[분류:공간 (수학)]]